2024年廣東汕頭市高考數(shù)學二模模擬試卷試題（含答案）

汕頭市2024屆普通高考第二次模擬考試

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.拋物線爐=-16y的準線方程是（）

A.y=4B.y=8C.y=-8D.y=-4

2.（3+2%）"展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則〃的值為（）

A.8B.7C.6D.5

3.設xeR,貝卜x<0”是“In（x+l）<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

4.若實數(shù)。，〃滿足且。+人=1,則下列四個數(shù)中最大的是（）

A.—B.aC.2abD.a?+

2

5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球，有放回地從中任取一個小球，直到紅、黃兩個小

球都取到才停止，用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率.用1、2、3、4分別代

表紅、黃、黑、白四個小球，利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，以每三個

隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)

341332341144221132243331112

342241244342142431233214344

由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為（）

1125

A.一B.-C.—D.—

69918

6.已知兩個等差數(shù)列2,6,10,202及2,8,14,....200,將這兩個等差數(shù)列的公共

項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（）

A.1678B.1666C.1472D.1460

7.己知三棱錐P—ABC的四個頂點都在球。的表面上，上4,平面ABC,AB±BC,且

PA=8,AC=6,則球。的表面積為（）

A.lCbrB.25TTC.50TTD.lOCbr

8.己知函數(shù)/（九）=加=hu-在區(qū)間（1,3）上單調遞減，則實數(shù)a的最大值為（

1111

A.-B.——?D

e3ev

二.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某校高三年級選考生物科的學生共1000名,現(xiàn)將他們該科的一次考試分數(shù)轉換為等級分,

已知等級分X的分數(shù)轉換區(qū)間為［30,100］,若等級分X?N（80,25）,則（）

參考數(shù)據(jù)：P（〃—cr<X<〃+cr）=0.6827；P（〃—2cr<XW〃+2cr）=0.9545；

P（/7-3cr<X<〃+3cr）=0.9973.

A.這次考試等級分的標準差為25

B.這次考試等級分超過80分的約有450人

C.這次考試等級分在［65,95］內(nèi)的人數(shù)約為997

D.P（70<X<75）=0.1359

10.如圖，函數(shù)/（X）=6tan（2x+[），9]<、的部分圖象與坐標軸分別交于點。、E、

7T

F,且△。跖的面積為一，則（）

4

A.點。的縱坐標為1

B./（x）在］4總上單調遞增

C.點是/（%）圖象的一個對稱中心

D./（力的圖象可由y="anx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)?/p>

（第10題圖）

171

原來的一（縱坐標不變），再將圖象向左平移一個單位得到

26

11.用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到

不同的截口曲線，也即圓錐曲線.探究發(fā)現(xiàn)：當圓錐軸截面的頂角為2a時，若截面與軸

所成的角為夕，則截口曲線的離心率6=上叱.例如，當。=，時，e=l,由此知截口

cosa

曲線是拋物線.如圖，圓錐SO中，M.N分別為S。、SO的中點，AB.為底面

的兩條直徑，且ABLCD、AB=4,SO=2.現(xiàn)用平面/截該圓錐，貝!I（）

屋若MNuy,則截口曲線為圓

（第11題圖）

B.若7與SO所成的角為60。，則截口曲線為橢圓或橢圓的一部分

C.若M、A、Bey,則截口曲線為拋物線的一部分

D.若截口曲線是離心率為0的雙曲線的一部分，則Oe7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.第14題第一空2分，第二空3分.

12.寫出一個滿足(l+i).zeR,且忖>2的復數(shù)z,z=.

13.己知直線x+y=a與圓x2+/=4交于A/B兩點，且—,(。為

坐標原點)，則實數(shù)。的值為.

14.已知數(shù)列G：0,2,0,2,0,現(xiàn)按規(guī)則/：每個0都變?yōu)椤?,0,2”，每個2都變?yōu)椤?,

2,0”對該數(shù)列進行變換，得到一個新數(shù)列，記數(shù)列G+1=/(5),左eN*,貝|J數(shù)列G

的項數(shù)為,設Q的所有項的和為S”，則邑“=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.

(I)^FSinAsinB+sirLBsinC+cos2B=l,C=——，求一的值;

4b

a2-b1_sin(A-B)

(2)求證:

c2sinC

16.(本小題滿分15分)

設"是由滿足下列條件的函數(shù)〃尤)構成的集合：①方程/(%)-%=0有實根;

②/(%)在定義域區(qū)間。上可導，且/'(%)滿足0</'(x)<1.

⑴判斷g(x)=]—竽+3,無e(l,+8)是否是集合M中的元素，并說明理由；

(2)設函數(shù)/(%)為集合/中的任意一個元素，證明：對其定義域區(qū)間。中的任意a、

夕，都有卜㈤-〃⑶閆a-風

17.(本小題滿分15分)

2023年，我國新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過60%,中國成為世界第一大汽車出口

國.某汽車城統(tǒng)計新能源汽車從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)》與銷售總量y(單位：輛)，采集

了一組共20對數(shù)據(jù)，并計算得到回歸方程y=0.67x+54.90,且這組數(shù)據(jù)中，連續(xù)的營業(yè)

天數(shù)x的方差s；=200,銷售總量y的方差￡=90.

(1)求樣本相關系數(shù)廠，并刻畫y與x的相關程度；

(2)在這組數(shù)據(jù)中，若連續(xù)的營業(yè)天數(shù)x滿足2.2x104,試推算銷售總量y的

平均數(shù)y.

附：經(jīng)驗回歸方程y=其中人=,a=y-bx.

El-x

樣本相關系數(shù)r=際標2.236.

18.（本小題滿分17分）

如圖，矩形48?！?gt;中，|/回=4,忸。|=2.

A、耳、人、不分別是矩形四條邊的中點，設

OR=AOA1,4^=（1-^）AC（O<2<1）.

（1）證明：直線gR與52T的交點M在橢

圓K：-----Hy2=l上；

4-

（2）已知PQ為過橢圓K的右焦點R的弦，直線M0與橢圓K的另一交點為N,若

MN//PQ,試判斷歸。|、|舷小同闋是否成等比數(shù)列，請說明理由.

19.（本小題滿分17分）

日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，比如月餅盒.烘焙店在售賣月餅時，為

美觀起見，通常會用彩繩對月餅盒做一個捆扎，常見的捆扎方式有兩種，如圖（A）、（B）

所示，并配上花結.

(A)（B）

（第19題圖）

圖（A）中，正四棱柱A3CO—4501。的底面ABCD是正方形，且AB=3,A&=L

（1）若AH=AE=B]E]=B[F]=CF=CG=DC[=[Hi=1,記點H關于平面

F/GGi的對稱點為6,點H關于直線4G1的對稱點為P2.

（i）求線段期的長；

（ii）求直線《鳥與平面ABC。所成角的正弦值.

（2）據(jù)烘焙店的店員說，圖（A）這樣的捆扎不僅漂亮，而且比圖（B）的十字捆扎更

節(jié)省彩繩.你同意這種說法嗎？請給出你的理由.（注意，止匕時AH、AE,與片、B￡、CF、

CG、Dg、2Hl這8條線段可能長短不一）

數(shù)學參考答案

題號1234567891011

答案ACBDDBDCCDABCBCD

1?【解析】

拋物線焦點在y軸負半軸，且^=4,故準線方程為y=4.

2?【解析】

由二項展開式性質知，〃為偶數(shù)，且,+1=4,故〃=6.

2

3?【解析】

ln(x+l)<OoO<x+l<lo—1<尤<0,故光<0是ln(x+l)<0的必要不充分條件.

4.【解析】

1(II)]

9：Q<a<b,.\l=a+b>2a,即a</；2ab<2x]——I,

/+/2=口,當且僅當a=b時,取等號，故/+〃最大.

22

5?【解析】

18組數(shù)據(jù)中，只有221、132、112、241、142表示恰好抽取三次就停止，故概率為名?

18

6.【解析】

第一個數(shù)列的公差為4,第二個數(shù)列的公差為6,故公共項按從小到大的順序組成一個等差

數(shù)列，且首項為2,公差是4和6的最小公倍數(shù)12,其通項公式為12w-10.

-11-11去

令12〃—10W200,得〃W17,從而=17x2+xl2=1666.

2

7.【解析】

依題意，三棱錐P-A5C為“鱉膈”，從而其最長的棱PC為外接球直徑，進而由尸。=10

得：球0的表面積為S=萬?PC3=I。。萬.

8.【解析】

依題意，r(x)=ae'—在區(qū)間(1,3)上恒成立，即

xxex

令g(x)=A，則且，(1)=若"『，

又xe(l,3),所以g'(x)<0,從而g(x)=」一在(1,3)為減函數(shù)，(也可由丫=工、y=—

xexxex

在(1,3)上都遞減，且函數(shù)值均為正，得8(%)=’在(1,3)上遞減)

xex

進而g(x)>g⑶=Jy，所以

3e3e

9?【解析】

由題設，均值〃=80,方差。2=25,所以標準差為5,故A錯誤;

產(chǎn)(X>80)=0.5,所以1000x0.5=500人，故B錯誤；

P(65<X<95)=P(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9973,貝U1000x0.9973笈997人，故C

正確；

P(〃-2cr<X<〃+2cr)-P(〃-<7<X<〃+cr)

P(70<XW75)==0.1359，故

2

D正確.

10.【解析】

由T=W得|ER|=W，又SADEF=g|Eb|"OD|=￡」OD|=￡，從而|8|=1，故A正

確；

令x=0得tan°=又|夕|〈三，從而夕=工.故/(x)=J^tan(2x+工]

J26<6J

當時，2x+ge[-而y=tanx[-上遞增，故B正確；

由=J^tan%=0知，C正確；

依題意，y=Ktanx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓?縱坐標不變)，得到曲線

-2

y=6tan2x,再將圖象向左平移看個單位，得到曲線y=J^tan2、+胃]，故D錯誤.

1L【解析】

對于A：過的平面與底面不一定平行，故A錯誤；

JT|

對于B：易知NOSD=—,所以e=7<l,故B正確;

4V2

對于C：易知ABL平面S。，所以SQLAB,又SDLOM,從而平面跖W,

JT

進而了與S。所成的角為NSOM=j所以e=l,故C正確；

對于D：由小2=拒得cos,=1,尸=0,所以y〃OS.故D正確.

cosa

第n卷

題號121314

答案2-2i（答案不唯一）±2

53-、5-32"-1+1

12?【解析】

由（1—，）（1+，）=2,|1—，|=后知：可取z=a—出（4>血）

13.【解析】

由|萬4+31|0A-0B|.知ZAOB=90°,故圓心0到直線x+y=a的距離d=卓廠，

即量=后,從而。=+2.

14?【解析】

因為G共5項，在/作用下，每個項都變?yōu)?個項，所以C“的項數(shù)是首項為5,公比為3

的等比數(shù)列，所以C“的項數(shù)為5?3"T；

根據(jù)變換規(guī)則，因為G中2比。少1個，所以。2中2比。多1個，以此類推，數(shù)列中

2比0多1個，所以S2,=(5-32"T—1)+2=5-32"-1+1.

15.【答案】

(1),/sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,/.sinB(sinA+sinC)=2sin2B(1分)

,/BG(0,7i),sinB^O,(2分)

/.sinA+sinC=2sinB,(3分)

故在AA5c中，由正弦定理得：a+c=2b,(4分)

在AABC中，由余弦定理得：c2=a1+b2-labcosC,(5分)

(2Z?—a)?=a?+Z??+（6分）

整理得：3b2=（4+叵）ab,（7分）

a_3_12-3V2

（8分）

b-4+V2-14

sin(A—3)sinAcosB-cosAsinB

⑵法一:（9分）

sinCsinC

a1+c2-b1_b1+c2-a2

------------------b..........---------

（11分）

2a2-lb1_cr-b1

（分）

-2^=—~?13

a2-b2a2-(a2+c2-2accosB)2acosB-c

（9分）

2sinAcosB-sinC_2sinAcosB-sin(A+B)

（11分）

sinCsinC

sinAcosB-cosAsinB_sin(A-B)

（13分）

sinCsinC

a2—b。sin2A-sin2B

法二:（9分）

si,n2C

c.A+BA-BA+B.A-B

(sinA+sin3)(sinA-sin8)zsin—cos---2cos—sin

2222(11分)

si,n2Csin2C

sin(A+B)sin(A-B)_sinCsin(A—B)_sin(A—B)

(13分)

sin-Csin2CsinC

16.【答案】

，/、111乙,八、

(l)vg(%)=---=-1一一,(1刀)

22x21x)

.?.當xe(l,+oo)時，g'(x)e[0,￡|u(0,l),滿足條件②；(3分)

XInx

令_F(九)=且(九)一]=—5———+3,xG(l,+oo),(4分)

5e2

則歹(e)=—萬e+萬〉。，F(xiàn)(eo2)=-^-+2<0,(6分)

廠（x）在［e,e2］上存在零點,

即方程g（x）—x=0有實數(shù)根，滿足條件①,（7分）

綜上可知，g（x）^M;（8分）

(2)不妨設￡</7,

?.-故＞0,/（%）在D上單調遞增,（10分）

.-./(?)</(/?)-即/(，)—/(*0.①（11分）

令h{x}=/(x)-x,（12分）

則〃（X）=/'（%）—1<0,/z（x）在￡）上單調遞減，（13分）

:即/（尸）一/（0）?力一。，②（14分）

由①②得：I/（a）-/（/?）\<\a-/3\.（15分）

說明：利用拉格朗日中值定理證明，不能給滿分.

不妨設（9分）

由拉格朗日中值定理知：3^e（?,/7）,/，?/⑷-（色分）

a-p

?/VXGD,0</'（X）<1,0<<1,0<f（a）—"夕）<1,（11分）

a-p

9<1,即"…如

<1（12分）

a-P\a-[5\

^l/（?）-/（/?）l<l?-Z？l.（13分）

17.【答案】

20__20_

Za—x)(x—y)b-^C^-x)2

i=li=l

Z20Z（2分）

20_2202

Wa.-以￡(%-y)2J￡(X,.-X)J(X-^)

i=li=li=li=l

（4分）

=0.67x呼=0-67；2亞-0.9987,（6分）

V903

可以推斷連續(xù)的營業(yè)天數(shù)與銷售總量這兩個變量正線性相關,（7分）

且相關程度很強.（8分）

120_120__2

⑵???S：=京2區(qū)一x)2=-+x)（9分）

2Ui=i2x),=i

i/20_2020.

-2

X(10分)

；；

ZU1\/=1i==1l7i==1l

120_

1292

（11分）

=看7

=1100-?=200,（12分）

x=30,

而3=y-bx,從而y=bx+a=0.67x30+54.90=75.（15分）

18.【答案】

(1)設M(x,y),依題意，7?(22,0),7(2,1-2),4(0,—1),§2（0,1），則（2分）

直線與R的方程為y+l=^x,①

（3分）

24

直線82T的方程為y—1=—（九，②（4分）

1y

①X②得：y2—1=—即__+y2=1,（6分）

丫2

故直線B】R與B2T的交點M在橢圓K:亍+y2=1上；（7分）

（2）依題意，直線PQ、的斜率均不為零，故設直線PO的方程為％=陽+百，直線

的方程為x=2y,（9分）

匚2=1

由4y一得：（m2+4）y2+l^tny-1=0,

x=my+V3

2-V3m1

?,?%+%=——2~~7，%>2=-（11分）

〃r+4m2+4

2?m、4(1)_4(m2+1)

.'.IPQ\=Vl+m2I必-%1=&+病

、m2+4^(m2+4ym2+4

'-22

由JH+V=1得、=±^^,（14分）

Tm2+4

x-my

（15分）

IA41=4,,-.\MN\2=\PQ\\A4I.（16分）

即IPQ、I政vi、1441成等比數(shù)列.（17分）

19?【答案】

（1）⑴如圖，以為原點，直線RA、QG，。。分別為X、y、Z軸，建立空間直角坐標系,

則”(2,0,1),Gt(0,1,0),耳(2,3,0),G(0,2,l),（1分）

HG=(-2,2,0),麗=(0,1,