2024年江西中考數(shù)學一輪復習：特殊的四邊形 學案（含答案）

構(gòu)建2特殊的四邊形

命題分析

特殊的四邊形是初中階段重要的幾何內(nèi)容，包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形，它們既有性質(zhì)又有判

定，既可以和三角形全等、三角形相似結(jié)合，又可以與圓的有關(guān)知識相結(jié)合，內(nèi)容多,考查面，難度中等或偏難，是

江西中考必考內(nèi)容.

【知識清單】

知識點1特殊四邊形的定義及性質(zhì)

四條邊相等,對邊平

邊對邊①______對邊相等且平行四條邊②,對邊③—

行

四個角④四個角相等（都是直

角兩組對角分別相等兩組對角分別相等

（都是直角）角）

互相平分且垂直，相

性質(zhì)對角線互相平分互相平分且相等互相⑤______平分⑥_____

等,平分一組對角

既是中心對稱圖形，既是中心對稱圖形，

既是中心對稱圖形,也是軸

對稱性中心對稱圖形也是軸對稱圖形，有2也是軸對稱圖形，有4

對稱圖形，有2條對稱軸

條對稱軸條對稱軸

對稱中心對角線的交點

周長C=2(a+b)C=2(a+b)C=4aC=4tz

面積S=ahS=abS=ah=-mnS=a2=-m2

22

知識點2特殊四邊形之間的關(guān)系

一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直

有一例是直角則角線相等許

平行一組鄰邊相等且有一個角是直角或?qū)蔷€相等且互相垂直

正方形

四邊形

對角線互相垂直或一組鄰邊相等對角線相等或有一個角是直角

1

知識點3中點四邊形

任意四邊形的中點四邊形為矩形的中點四邊形為菱形的中點四邊形為正方形的中點四邊形為

⑦______________⑨________⑩__________

對龜線相等的四邊形的對角線垂直的四邊形的對角線垂直且相等的四邊形的

中點四邊脖為?中點四邊形為?中點四邊形為?

溫馨提示：（1）判斷一個四邊形的中點四邊形形狀的關(guān)鍵是判斷其?；

（2）中點四邊形的周長是原四邊形兩條對角線的長度之和；

（3）中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

【參考答案】①相等且平行②相等③平行④相等⑤平分且垂直

⑥一組對角⑦平行四邊形⑧菱形⑨矩形⑩正方形

?盤形矩形正方形兩條對角線的位置和數(shù)量關(guān)系

【自我診斷】

1.如圖，在平行四邊形A3C。中，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AO=CO

B.AB=DC

C.ZDAB=ZBCD

D.AC=BD

2.如圖，在中對角線則的面積為（）

A.20B.24C.40D.48

3.如圖，在矩形中,對角線相交于點。，若4與=2,2493=60。,則47的長度為（）

2

A.2B.3C.4D.6

4.下列說法：

(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；

(2)對角線相等的平行四邊形是矩形；

(3)對角線互相垂直平分的四邊形是正方形;

(4)兩組對角相等的四邊形是平行四邊形；

其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.小琦在復習幾種特殊四邊形的關(guān)系時整理如圖,(1)(2)(3)(4)處需要添加相應的條件，則下列條件添加錯誤的是

)

B

A.(l)處可填NA=90。

B.(2)處可填AD=AB

C.⑶處可填DC=CB

D.(4)處可填

【參考答案】LD2.B3.C4.B5.D

【真題精粹】

考向1平行四邊形的性質(zhì)與判定(6年2考)

1.(2021.江西)如圖，將。ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處,CE交A。于點尸，若

ZB=S0°,ZACE=2ZECD,FC=a,FD=bM=ABCD的周長為.

3

E

I)

B'

考向2矩形的性質(zhì)與判定（6年3考）

2.（2018.江西）如圖,在矩形ABCO中/。=3,將矩形ABC。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG,點B的對應點E

落在CD上，且DE=EF,則AB的長為.

3.（分類討論）（2020.江西）如圖，矩形紙片48CD的長4。=8cm,寬48=4cm,折疊紙片,使折痕經(jīng)過點交4。邊

于點E,點A落在點處，展平后得到折痕BE,同時得到線段R41EA；不再添加其他線段.當圖中存在30。角時

的長為cm.

4.（2019?江西）如圖，在四邊形ABC。中A8=CDAD=BC,對角線AC,B。相交于點。，且OA=OD求證:四邊形

ABCD是矩形.

考向3菱形的性質(zhì)與判定（必考，常在圓的綜合題中或幾何探究題中出現(xiàn)）

5.（2022.江西）如圖,四邊形A8C。為菱形，點E在AC的延長線上,N4co=NA8E.

4

⑴求證:△ABC^/XAEB.

(2)當AB=6AC=4時，求AE的長.

6.（2023?江西）課本再現(xiàn)

思考

我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來,對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

定理證明

⑴為了證明該定理,小明同學畫出了圖形（如圖1）,并寫出了“已知''和"求證”,請你完成證明過程.

已知:在-ABCD中,對角線5D_LAC,垂足為O.

求證:。48co是菱形.

知識應用

（2）如圖2,在。A8CD中,對角線AC和8。相交于點OAD=5AC=S,BD=6.

①求證:。ABC。是菱形.

②延長BC至點E,連接OE交CD于點F,若NES/ACD,求歡的值.

2EF

5

考向4正方形的性質(zhì)與判定（6年3考）

7.（數(shù)學文化X2019?江西）我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》有估算方法:“方五，邪（通“斜”）七.見方求斜，七之，五而

一.”譯文:如果正方形的邊長為五，則它的對角線長為七已知正方形的邊長，求對角線長，則先將邊長乘以七再除

以五.若正方形的邊長為1,由勾股定理得對角線長為VZ依據(jù)《孫子算經(jīng)》的方法，則它的對角線的長

是.

8.（分類討論）（2018?江西）在正方形A8CD中48=6,連接4cBD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點，若PD=2AP,則

AP的長為______________________

考向5中點四邊形

9.（拓展）如圖,在任意四邊形A8C。中,分別是A8,8C,CDQA上的點，對于四邊形EFGH的形狀，某班學

生在一次數(shù)學活動課中,通過動手實踐，探索出如下結(jié)論,其中錯誤的是（）

A.當EFG,H是各邊中點，且AC=B。時,四邊形EFGH為菱形

B,當E,F,G,H是各邊中點，且AC±BD時,四邊形EFGH為矩形

C.當E,F,G,77不是各邊中點時,四邊形EFGH可以為平行四邊形

D.當E,F,G,H不是各邊中點時,四邊形EFGH不可能為菱形

【參考答案】1.40+2。2.3V23.越或4舊或（8-4舊）4.略

3

5.⑴略（2）AE=96.（1）略（2）①略②2￡=￡

EF8

7.1.48.2或2舊或舊-加9.D

【核心突破】

考點1平行四邊形的性質(zhì)與判定

例題1如圖「A3CD的對角線AUBO相交于點O,BD=2AB八E〃BD,OE〃AB4O=4,S+“““=4舊，則3D的

四邊形A.DUL

長為?

6

變式特訓1.如圖，在。ABCD中，點E,F分別在ADBC上,DE=BF=3,EF±AD,^EF=8,AE=9,貝UAB的長為

)

AED

BF

A.6B.V73C.9D.10

2.如圖，在。ABCO中，點區(qū)尸分別在AD,BC上，連接

(1)探究四邊形BEDF的形狀，并說明理由.

(2)連接AC,分別交8EQ尸于點G,H,連接BD交AC于點。若也=Z1AE=4,求BC的長.

0G3

考點2矩形的性質(zhì)與判定

例題2如圖，在△ABC中，8=AC>AEJ_BGA。平分NFAC,CD_LA￡>于點D求證:四邊形AECD是矩形.

7

變式特訓3.如圖,0為矩形A8CD對角線的交點8cm48=6cm,將△480向右平移得到△DCE,則△480

向右平移的過程中掃過的面積是(

A.12cm2B.24cm2

C.48cm2D.60cm2

4.如圖1,已知AD〃BO1B〃DC,NB=NC.

(1)求證:四邊形ABC。為矩形.

(2)如圖2M為4。的中點N為A8的中點，連接CN,CM、MN,BN=2.若NBNC=2NDCM,束BC的長.

考點3菱形的性質(zhì)與判定

例題3如圖,在矩形ABCO中AGB。相交于點。八E〃BD,BE〃AC.

(1)求證:四邊形4E80是菱形.

(2)若A8=03=2,求四邊形AEBO的面積.

8

變式特訓5.如圖，菱形A8CD的對角線4c,8。相交于點O,OE_LAD,垂足為E4C=8,8D=6,則0E的長

為.

6.如圖，在菱形A8CO中,E尸是A8的垂直平分線,NFBA=50。,則NACB的度數(shù)為.

7.如圖，在等腰三角形ABC中/。平分頂角/8AC,交底邊BC于點H點E在A。上,8E=BD求證:四邊形BDCE

是菱形.

考點4正方形的性質(zhì)與判定

例題4如圖，在正方形ABCD中，點E.F分別在邊BC和CD上，且滿足4AEF是等邊三角形，連接AC交EF

于點G.

⑴求證:CE=CK

(2)若等邊的邊長為2,求AC的長.

9

變式特訓8.如圖，在正方形ABCD中48=4cm,延長AB至點E,使BE=8cm,F是DE的中點，求線段8尸的長

度.

9.（過程性學習）問題解決:一節(jié)數(shù)學課上，老師提出了這樣一個問題:如圖LP是正方形ABC。內(nèi)一

點，尸4=1,PB=2,PC=3.你能求出NAP8的度數(shù)嗎？

小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一:將△BPC繞點、B逆時針旋轉(zhuǎn)90。,得到△BPA,連接PP；求出N4PB的度數(shù).

思路二:將△APB繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到△CP3,連接PP；求出NAPB的度數(shù).

請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程.

類比探究:如圖2,若尸是正方形ABCO外一點，尸4=5『8=2,乙4尸3=45。,求尸（7的長.

方法提煉

矩形、菱形、正方形的解題策略：

1.判斷一個四邊形是矩形、菱形和正方形時，要注意題中給出的前提條件是平行四邊形還是任意四邊形.

2.已知矩形、菱形和正方形，根據(jù)它們的性質(zhì)，可以得到線段或角的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

3.在解決矩形、菱形和正方形的問題時，注意對全等三角形的性質(zhì)和判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定的使用.

4.注意根據(jù)矩形、菱形和正方形的對稱性來解決問題.

考點5中點四邊形

10

例題5如圖,四邊形ABC。四條邊上的中點分別為區(qū)尸,6,目,順次連接所,尸6,6",/汨,得到四邊形￡7?7（即

四邊形ABCD的中點四邊形）.

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足的條件時,四邊形EFGH是矩形.

（3）當四邊形ABCD的對角線滿足的條件時,四邊形EFGH是菱形.

⑷當四邊形ABCD的對角線滿足的條件時，四邊形EFGH是正方形，證明你的結(jié)論.

變式特訓10.（2023?山西）閱讀與思考

下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務.

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊A8,8C,CD,D4的中點，順次連接E,F,G,H,得到的

四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料,得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁（Varingnon,Pierre1654-

1722）是法國數(shù)學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時,瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明:如圖2,連接AC,分別交EH,FG于點P,Q,過點D作DM±AC于點/交HG于點N.

,：H,G分別為AD,CD的中點,，HG〃4C,HG=%1C,（依據(jù)1）

2

：心=9?：DG=GC,：.DN=NM=、DM.