2023-2024學(xué)年山東省臨沂市莒南縣高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年山東省臨沂市莒南縣高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.sin81°cos51°?cos81°sin51°=(

)A.?32 B.32 2.下列幾個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)有(

)

(1)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身(2)復(fù)數(shù)的實(shí)部是實(shí)數(shù)，虛部是虛數(shù)

(3)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)(4)復(fù)數(shù)i是最小的純虛數(shù)A.0 B.1 C.2 D.33.若a=(1,3)，|b|=3，|A.150° B.120° C.60° D.30°4.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=3?i，則復(fù)數(shù)|z?|=A.2 B.5 C.225.已知|a|=6，|b|=3，a?b=?12，則向量A.23a B.13a C.6.f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<π2)的最大值是3，f(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，其相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2A.π2 B.π C.2+π4 7.如圖，圓M為△ABC的外接圓，AB=3，AC=5，N為邊BC的中點(diǎn)，則AN?AM=A.7B.152

C.8D.8.德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金△ABC中，BCAC=5?12A.1?254 B.3+58二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=2+i，z1=x+yi(x,y∈R)(i為虛數(shù)單位)，z?為z的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.z?的虛部為?i

B.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

C.|z?||z|=1

D.10.已知f(x)=sin(3π2A.f(x)是奇函數(shù) B.f(x)的最小正周期是2π

C.f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(π2,0) 11.已知a,b是單位向量，則下列命題正確的是(

)A.若a=(?32,t)，則t=?12

B.若a,b不共線，則(a+b)⊥(a?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)，將f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且g(x)在(π10,π413.在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD=2DC，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M，N與點(diǎn)B，C不重合)，設(shè)AB=xAM,14.某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量四門(mén)通天銅雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共線三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得銅雕頂端P處仰角分別為π6，π4，π3，且AB=BC=20m，則四門(mén)通天銅雕的高度為_(kāi)_____四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=sinx?cosx(x∈R)．

(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)?f(π?x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)求函數(shù)y=f16.(本小題15分)

近年來(lái)，我國(guó)逐漸用風(fēng)能等清潔能源替代傳統(tǒng)能源，目前利用風(fēng)能發(fā)電的主要手段是風(fēng)車(chē)發(fā)電.如圖，風(fēng)車(chē)由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為2π3，現(xiàn)有一座風(fēng)車(chē)，塔高100米，葉片長(zhǎng)40米.葉片按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，并且每5秒旋轉(zhuǎn)一圈，風(fēng)車(chē)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車(chē)的最低點(diǎn)(此時(shí)P離地面60米).設(shè)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)t(秒)后離地面的距離為S(米)，則S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)．

(1)求S(t)的解析式；

(2)求葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于80米的時(shí)長(zhǎng)．17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且(a?c)(sinA+sinC)=(b?c)sinB．

(1)求A；

(2)設(shè)向量m=(?1,0)，n=(2cos218.(本小題17分)

向量是研究幾何的一個(gè)重要工具，在證明某些幾何結(jié)論時(shí)會(huì)大大簡(jiǎn)化證明過(guò)程.請(qǐng)用向量法解決解決以下問(wèn)題：

(1)證明△ABC的三條高線AD、BE、CF交于一點(diǎn)；

(2)已知矩形MNPQ，G為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：|GM|2+|GP|2=|GN|2+|GQ|2；

(3)如圖，已知圓O：x2+y19.(本小題17分)

復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，即a=rcosθb=sinθ，其中r為復(fù)數(shù)z的模，θ叫做復(fù)數(shù)z的輻角，我們規(guī)定0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，記作argz，r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角形式．

z1±z2：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

z1?z2：(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(bc+ad)i

z1z2：a+bic+di=ac+bdc2+d2=bc?cdc2+d2i(c+di≠0)

(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1=r1(cosα+isinα)，z2=r2(cosβ+isinβ)，求z1?z2，z1

參考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.D

8.C

9.BCD

10.AC

11.BC

12.3

13.3214.1015.解：(Ⅰ)函數(shù)y=f(x)?f(π?x)

=(sinx?cosx)[sin(π?x)?cos(π?x)]

=(sinx?cosx)(sinx+cosx)

=sin2x?cos2x=?cos2x，

令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+π2，k∈Z，

所以函數(shù)y=f(x)?f(π?x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ,kπ+π2]，k∈Z．

(Ⅱ)函數(shù)y=f2(x)+f(2x?π4)

=(sinx?cosx)216.解：(1)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

當(dāng)t=0時(shí)，風(fēng)車(chē)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車(chē)的最低點(diǎn)，設(shè)為P0，則P0(0,60)，

由題意得，ω=2π5，且A+B=100+40?A+B=100?40S(0)=Asinφ+B=60，

解得A=40B=100φ=?π2，

所以S(t)=40sin(2π5t?π2)+100；

(2)令S(t)≥80，則S(t)=40sin(2π5t?π2)+100≥80，

即cos17.解：(1)∵(a?c)(sinA+sinC)=(b?c)sinB，

∴(a?c)(a+c)=(b?c)b，即b2+c2?a2=bc，

∴cosA=b2+c2?a22bc=12，

∵0<A<π2，∴A=π3；

(2)由(1)知，A=π3，則B+C=2π3，

cosC=cos(2π18.(1)證明：設(shè)AD，BE交于點(diǎn)H，

因?yàn)锳D⊥BC，BE⊥CA，則有AH?CB=0，BH?CA=0，

又(CH?CA)?CB=CH?CB?CA?CB=0，①

(CH?CB)?CA=CH?CA?CB?CA=0，②，

①?②，可得CH?(CB?CA)=0，即CH?AB=0.所以CH⊥AB，即CH⊥AB，

又因?yàn)镃F⊥AB，則C，H，F(xiàn)三點(diǎn)共線，

所以AD，BE，CF相交于一點(diǎn)．

(2)解：以M點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系：

19.解：(1)z1?z2=r1(cosα+isinα)?r2(cosβ+isinβ)

=r1r2[cosαcosβ?sinasinβ+i(sinαcosβ+cosαsinβ)]

=r1r2[cos(α+β)+isin(α+β)]，

z1z2=r1(cosα+isinα)r2(cosβ+isinβ)=r1(cosα+isinα)(cosβ?isinβ)r2(cosβ+isinβ)(cosβ?isinβ)

=r1[cosαcosβ+sinαsinβ