2024年30屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽模擬試題

30屆全國中學(xué)生物理競賽（復(fù)賽）模擬試題（二）第壹題（18分）。19由斯圖爾特和道爾曼初次測(cè)定了以勻角加速度運(yùn)動(dòng)的圓線圈中產(chǎn)生的電流。每壹匝圓線圈電流設(shè)為I。在圓中心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=μ0I/2r（r為圓半徑）第二題（20分）。1個(gè)球形肥皂泡，質(zhì)量為m，其內(nèi)充有空氣（不計(jì)空氣質(zhì)量），泡外為真空，平衡時(shí)半徑為r0，由于受到擾動(dòng)，肥皂泡做微小的徑向振動(dòng)，求振動(dòng)周期。（設(shè)振動(dòng)過程中泡內(nèi)空氣溫度保持不變；肥皂膜的表面張力系數(shù)為α）第三題（20分）假設(shè)大氣的折射率n與空氣密度的關(guān)系為：n-1=aρ0e-(r-r0)/b式中a為常數(shù)，ρ0為地球表面的大氣密度，r0=6400km.b=8772m大氣折射率隨高度的增長而遞減，為使光線能沿著地球表面的圓弧彎曲傳播，地表的空氣密度應(yīng)是實(shí)際密度的多少倍？已知地表空氣的實(shí)際折射率n0=1.0003(取ex=1+x)第四題（20分）。如大家所知，海洋的潮汐基本上來自月球的引力作用，而在較小某些的程度上也來自太陽的引力作用。為使問題簡化，作如下假設(shè)：a）地球和月球構(gòu)成1個(gè)封閉系統(tǒng)；b）月球到地球的距離為1個(gè)常量；c）地球完全由海洋覆蓋；d）不計(jì)地球的自轉(zhuǎn)。1、試求月球在地球上任意位置對(duì)單位質(zhì)量的海水產(chǎn)生的潮汐力。設(shè)月球質(zhì)量為M，地月中心間距離為r，萬有引力常量為G，地球半徑為R。2、求地球上任意位置處的水位變化h（θ）第五題（21分）已知停靠在公路邊的1輛大卡車全長為5m，設(shè)有長度為10m的飛船隊(duì)從近旁飛過。在地面參照系中觀測(cè)，飛船前端通過車頭A的同步，飛船的後端剛好通過車尾B，試問：1、在地面參照系K中觀測(cè)，飛船飛行的速度有多大？2、從飛船參照系K′中觀測(cè)，A與B相距多遠(yuǎn)？3、在K′系觀測(cè)飛船前、後端與否同步分別通過A、B？4、在K系中測(cè)得飛船的長度不是10m，從K′系來看，在K系中的觀測(cè)有什么問題？應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行修正？第六題（25分）壹物體質(zhì)量為m=1.0kg，置于水平面上，物體與水平面間的靜摩擦系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為μ=0.4，如圖所示，在原點(diǎn)有壹完全彈性的墻，且物體壹直受到F=－20x(N)的水平力，x的單位為米（m）?，F(xiàn)將物體于x0=1.1m處靜止釋放，求：1、物體從靜止釋放到停止運(yùn)動(dòng)，共用了多少時(shí)間？2、物體最終停在什么位置？3、物體克服摩擦力做了多少功？（g取10m/s2）第七題（26分）用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算氫原子：1、玻爾半徑；2、基態(tài)能量；3、若被激發(fā)到高能態(tài)的電子在10－8s內(nèi)就躍回基態(tài)過程中發(fā)出的光波波長λ0的不確定量。30屆全國中學(xué)生物理競賽（復(fù)賽）模擬試題（二）參照解答第壹題：現(xiàn)考察1個(gè)均勻的細(xì)金屬導(dǎo)線（單位長度的電阻等于ρ0）做成的1個(gè)圓環(huán)，圍繞其中心進(jìn)行勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度為β。試計(jì)算在環(huán)中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值（電子電荷為e，質(zhì)量為m）取與金屬環(huán)上壹小段孤長壹起做加速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系與構(gòu)成金屬晶格的離子相連。在該坐標(biāo)中，電子受慣性力作用，切向大小為mrβ，法向慣性力對(duì)本題無實(shí)質(zhì)意義，不考慮。最終由于電子與晶格的作用，當(dāng)?shù)竭_(dá)某狀態(tài)時(shí)，電子受力平衡而做穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)，從而在其中發(fā)既有電流，雖然在導(dǎo)線中并沒加電動(dòng)勢(shì)。 電子所有切向慣性力可以用1個(gè)假想的電場力做類比，設(shè)此電場強(qiáng)度為E，則 eE=mrβ 又由電阻定律R=ρl/s單位長度的電阻ρ0=R/l=ρ/s 因此I=U/R=E/ρ0mrβ/ρ0e 這圓環(huán)中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B=μ0I/2r=μ0mβ/2ρ0e第二題：如圖a所示，1個(gè)肥皂泡內(nèi)外氣體壓強(qiáng)分別為p1、p2，則:p1-p2=4a/r.對(duì)本題外界為真空，則泡內(nèi)壓強(qiáng)為p=4a/r。平衡時(shí)泡內(nèi)氣壓為p0，泡半徑為r0，如圖b所示，當(dāng)受到擾動(dòng)，肥皂泡作徑向振動(dòng)。設(shè)振動(dòng)泡半徑為r，r=r0+x(x<<r0)時(shí)，泡內(nèi)氣壓為p，則有p0=4a/r0由等溫變化規(guī)律：pv=p0v0因此p=p0v0/v=(r0/r)3p0則整個(gè)泡在振動(dòng)中受到的徑向合外力為 因此周期第三題：如圖所示，O為地心，r0為地球半徑，地表有1個(gè)薄環(huán)形層為光的圓折射通道，由惠更斯原理，波前與波線處正交，因此波前形狀保持徑向不變，故有其中，為地表處大氣折射率，n為距地心r處的大氣折射率。 又由題設(shè) 其中是所能發(fā)生圓折射的地球表面的空氣密度。 取，得 即 而，有 ①對(duì)地表大氣：②對(duì)比①、②兩式得 第四題：1.地球壹月球系統(tǒng)繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)連接于地心的轉(zhuǎn)動(dòng)參照系，分析地球表面上任壹點(diǎn)P處的水粒m運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)于地面上任意壹點(diǎn)P處的水粒m，其受力為月球的萬有引力和慣性離心力，則在x方向的合力為（如圖所示）（由于a很小） 因此單位質(zhì)量物質(zhì)位于P處受到的潮汐力為（x分量） 同理，得y方向的潮汐力為： 因此 2．如圖所示，考察壹水粒（質(zhì)量為m）被潮汐力從D點(diǎn)帶到任意點(diǎn)P的過程中所做的功 由，得第五題：分析：本題屬狹義相對(duì)論運(yùn)動(dòng)學(xué)中時(shí)空觀和時(shí)空間隔變換問題。1、設(shè)K′系相對(duì)于K系的速率為V，已知飛船的本征長度l0=10m，非本征長度為l=5m，根據(jù)動(dòng)桿縮短公式l=l0EQ\r(,1-(v/c)2)可得v=cEQ\r(,1-(l/l0)2)=cEQ\r(,1-(5/10)2)≈0。87c ①2、已知卡車的本征長度為l0=5m，K與k/的相對(duì)速率v=0.87c，根據(jù)動(dòng)桿縮短公式可得l/=l0/EQ\r(,1-(v/c)2)=2.5m②3、已知K系中，飛船前端通過A（坐標(biāo)為x2），後墻通過B（坐標(biāo)為x1）。這兩件事發(fā)生于同壹時(shí)刻t，根據(jù)時(shí)空間隔變換式，這兩事件在飛船參照系K′中并非同步發(fā)生，時(shí)間差為：t/2-t/1=-γ（v/c）2(x2-x1)=-EQ\r(,3)/（2c）s③t/2<t/1即K′系中觀測(cè)的成果是A通過飛船前端早于B通過飛船後端EQ\r(,3)/（2c）換言之，B還需時(shí)EQ\r(,3)/（2c）s才能通過飛船後端。4、在K系中測(cè)得飛船長度為5m，就K系而言，這是對(duì)的的。但從K′系看來，K系中的測(cè)量存在兩個(gè)問題：其壹，大卡車的長度不是5m，而是2.5m；其二，A通過飛船前端早于B通過飛船後端EQ\r(,3)/（2c）s，而不是同步通過！在|t/2-t/1|=EQ\r(,3)/（2c）s時(shí)間內(nèi)，大卡車朝飛船後端移動(dòng)了距離：v|t/2-t/1|=7.5m ④其車尾B才通過飛船後端，K系的觀測(cè)遺漏了這段距離，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)加上。這樣，從飛船參照系K′來說，K系對(duì)飛船長度的測(cè)量值5m，應(yīng)修正為：2.5+7.5=10（m）⑤這正是飛船的本征長度。評(píng)分原則：①、②、③各4分；④6分；⑤4分。第六題：本題中，物體受耗散力的作用，做減幅振動(dòng)。物體在水平方向僅受彈性力F=-20x和摩擦力、合力為：F合=-20x±μmg物體向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二項(xiàng)取正號(hào)，向右運(yùn)動(dòng)取負(fù)號(hào)，設(shè)彈性力與滑動(dòng)摩擦力平衡時(shí)的位置為a.-20a±μmg=0,a=±0.2m.顯然，物體速度為零時(shí)的位置在0≤x≤0.2m區(qū)間時(shí)，靜摩擦力能與彈性力平衡，物體將靜止。1、開始時(shí)，物體從x0向左運(yùn)動(dòng)，受力為：F合=-20x±μmg=-20(x-a)由此可知，物體從x0→0是作平衡點(diǎn)為x=a的簡諧振動(dòng)的壹部分，振幅和周期分別為：A1=x0-a=0.9mT=2πEQ\r(,m/k)=1.4s從x0→0運(yùn)動(dòng)時(shí)間為△t1，如圖所示，物體在x=0處反彈，速度大小不變，方向相反。2、物體向右運(yùn)動(dòng)受力為：F合=-20x-μmg=-20(x+a)因此物體向右運(yùn)動(dòng)可當(dāng)作是平衡點(diǎn)為x=－a的簡諧振動(dòng)的壹部分，周期不變：T=2πEQ\r(,m/k)=1.4s3、由于在x=0，振動(dòng)的總能量對(duì)于平衡點(diǎn)為a和－a的振動(dòng)是相等的，因此兩振動(dòng)的振幅同樣，即物體從x=0向右運(yùn)動(dòng)到x1=A1-a=x0-2a=0.7m處再向左運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為△t2（如圖）。顯然，△t1+△t2=T/2①同理，物體從x1=0.7m處向左運(yùn)動(dòng)（振幅A2=x1-a）經(jīng)碰撞後向右運(yùn)動(dòng)至x2=x1-2a=0.3m時(shí)間仍為半個(gè)周期②從x2=0.3m再向左運(yùn)動(dòng)，其振幅為A3=x2-a=0.1m，以x=a=0.2為平衡點(diǎn)，因此運(yùn)動(dòng)至x=0.1m處物體停止，這壹段時(shí)間也是半個(gè)周期。③因此物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為:△t=3×T/2=2.1s ④物體克服摩擦力做功為：A=kx02/2-kx2/2=12J⑤評(píng)分原則：成果①、8分；②、4分；③、4分；④、4分；⑤、5分。第七題：1、氫原子由原子核和1個(gè)電子構(gòu)成，電子的總能量E為：E=p2/2me-e2/4πε0r①式中p為電子動(dòng)量，me為電子本征質(zhì)量，r氫原子半徑。電子在原子內(nèi)坐標(biāo)的不確定量可用r估計(jì)，電子在原子內(nèi)動(dòng)量的不確定量可用p估計(jì)，則由不確定關(guān)系，得： ②將②代入①，得③式中r是待求的，只有能使E具有極小值的r才能形成穩(wěn)定的氫原子系統(tǒng)。取E(r)-r曲線斜率為零的r=r1處的E=E1，有也許是E的極小值。考慮總能變化量為： ④由于是小量，在估算中可忽視，因此上式可近似寫為：⑤令可得： ⑥2、將⑥代入③可得：⑦這壹成果與玻爾理論得到的壹致。3、原子發(fā)出光波的波長由下式?jīng)Q定：⑧即波長的不確定