專題10 平行四邊形中的幾何變換三大題型（人教版）（解析版）-八年級數(shù)學下冊

專題18.10平行四邊形中的幾何變換三大題型【人教版】考卷信息：本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對平行四邊形中的幾何變換三大題型的理解！【題型1平移】1．（2024八年級上·山東濟南·期中）如圖，點A的坐標為(1,3)，點B在x軸上，把△OAB沿x軸向左平移得到△ECD，若四邊形ABDC的面積為15，則點C的坐標為（

）A．(?3,3) B．?154,3 C．(?4,3)【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，坐標與平移．熟練掌握平移的性質，得到四邊形ABDC為平行四邊形，是解題的關鍵．根據(jù)平移的性質，得到四邊形ABDC為平行四邊形，進而得到四邊形ABDC的面積=BD?yA，進而求出BD的長，即可得到平移距離，即可得到點【詳解】解：∵把△OAB沿x軸向左平移到△ECD，∴AC∥BD,AC=BD，∴四邊形ABDC為平行四邊形，∴四邊形ABDC的面積=BD?y∵點A的坐標為1,3，∴BD?y∴BD=5，∴△OAB沿x軸向左平移5個單位得到△ECD，點C為點A平移后的對應點，∴C1?5,3即：C?4,3故選：C．2．（2024八年級下·吉林·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為3,0，點B在y軸上，AB=5，將△OAB沿x軸向右平移，當點B落在直線y=2x?8上時，線段AB掃過的面積為．

【答案】24【分析】根據(jù)勾股定理得出OB=AB2?OA【詳解】解：∵點A的坐標為3,0，∴OA=3，根據(jù)勾股定理可得：OB=A把y=4代入y=2x?8得：4=2x?8，解得：x=6，∴△OAB沿x軸向右平移了6個單位長度，B′根據(jù)平移的性質可得，∴BB′=AA′∴四邊形BAA∴線段AB掃過的面積=AA故答案為：24．

【點睛】本題主要考查了平移的性質，平行四邊形的判定，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握，平移前后，對應點連線平行（或在同一直線上）且相等；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．3．（2024八年級下·陜西商洛·期中）如圖，在平面直角坐標系中，?ABCD的兩個頂點在x軸的正方向上，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(5,2)，直線y=?12x?1以每秒1個單位長度的速度向上平移，經過m秒該直線可將【答案】7【分析】確定AC的中點F，根據(jù)平行四邊形的性質，當直線經過點F時，把四邊形面積等分，設平移n個單位長度，則直線解析式為y=?12x?1+【詳解】因為點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(5,2)，所以AC的中點F的坐標為(3,1)，根據(jù)平行四邊形的性質，當直線經過點F時，把四邊形面積等分，設平移n個單位長度，則直線解析式為y=?所以1=?1解得n=72所以運動時間m=72故答案為：72【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，熟練掌握平行四邊形的性質，一次函數(shù)的平移是解題的關鍵．4．（2024八年級上·浙江紹興·期中）如圖，在平面直角坐標系中，將△OAB沿x軸向右平移后得到△O'A'B'，點A的坐標為（0，4），點A的對應點A在直線y=54x﹣1上，點B在∠A'AO的角平分線上，若四邊形AA'B'B的面積為4，則點B的坐標為【答案】（5，3）【分析】根據(jù)平移的性質可得點A′的坐標為（4，4），∠A'AO＝90°，A'A＝B'B，A'A∥B'B，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點A′的坐標為（4，4），證明四邊形AA'B'B是平行四邊形，△ACB是等腰直角三角形，根據(jù)四邊形AA'B'B的面積為4求出AC＝BC＝1，即可得出點B′的坐標．【詳解】解：延長B′B交y軸于點C，∵△OAB沿x軸向右平移得到△O′A′B′，點A的坐標為（0，4），∴∠A'AO＝90°，點A′的縱坐標為4，∵點A′在直線y＝54x∴54x解得x＝4，∴點A′的坐標為（4，4），∵點B在∠A'AO的角平分線上，∴∠A'AB＝∠OAB＝45°，∵將△OAB沿x軸向右平移后得到△O'A'B'，∴A'A＝B'B，A'A∥B'B，∴四邊形AA'B'B是平行四邊形，∠ACB＝180°?∠A'AO＝90°，∴B'B＝A'A＝4，△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵四邊形AA'B'B的面積為4，∴BB′?AC＝4，∴AC＝BC＝1，∴OC＝4?1＝3，B′C＝BC＋B′B＝1＋4＝5，∴點B′的坐標為（5，3）．故答案為：（5，3）．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化?平移，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．5．（2024八年級下·廣東江門·期中）如圖，在?ABCD中，小平行四邊形沿對角線AC平移兩次就到了圖中的位置（陰影部分），若小平行四邊形的面積是2，則?ABCD面積是．

【答案】18【分析】過A作AK⊥BC，過F作FH⊥NC，根據(jù)平移得到AB=3EC，AK=3FH，然后根據(jù)平行四邊形面積公式求解．【詳解】解：過A作AK⊥BC，過F作FH⊥NC，∵在?ABCD中，小平行四邊形沿對角線AC平移兩次就到了圖中的位置（陰影部分），∴AB=3EC，AK=3FH，∵小平行四邊形的面積是2，∴NC?FH=2，∴BC?AK=3CN?3FH=18，故答案為：18．

【點睛】此題主要考查平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的面積公式是解題的關鍵．6．（2024八年級下·湖北恩施·期中）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A?1,3、B1,1、C5,1．規(guī)定“把平行四邊形ABCD先沿y軸翻折，再向下平移1個單位”為一次變換．如此這樣，連續(xù)經過2017次變換后，平行四邊形ABCD的頂點D

【答案】?3【分析】根據(jù)已知條件得到D3，3，得到規(guī)律D【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，A?1,3、B1,1、∴D3,3把?ABCD先沿y軸翻折，再向下平移1個單位后，∴D?3觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：D03，3，D1?3,2，∴D2n3，∴D2017故答案為：?3，【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、坐標與圖形變化中的平移與對稱以及規(guī)律型中的坐標的變化規(guī)律，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是關鍵．7．（2024八年級下·廣西南寧·期中）如圖①，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為?2,0，4,0，現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度，分別得到點A，B的對應點C，D，連接：AC，BD，CD．

(1)點C的坐標是______，點D的坐標是______，S四邊形(2)在y軸上是否存在一點E，連接EA，EB，使S△EAB=S(3)如圖②，點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合），求證：∠DCP+∠BOP∠CPO【答案】(1)0,4，6,4，24；(2)0,8或(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質求出點C，D的坐標，再證明四邊形ABDC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；（2）設E坐標為0,m，列出方程求出（3）作PF∥CD，根據(jù)平移的性質可得CD∥PF∥【詳解】（1）解：∵點A，B的坐標分別為?2,0，4,0，將點A，B分別向上平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度，分別得到點A，B的對應點C，D，∴點C?2+2,0+4即C0,4，點D4+2,0+4即D6,4，AB=4??2∴OC=4，四邊形ABDC是平行四邊形，∴S四邊形（2）存在，設E坐標為0,∵S∴12解得m=±8∴E點的坐標為0,8或（3）證明：如圖，作PF∥

由平移可知：CD∥∴CD∥∴∠DCP=∠FPC，∠BOP=∠EPO，∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO，∴∠DCP+∠BOP∠CPO=1，即【點睛】本題考查了坐標軸的幾何問題，掌握平移的性質、平行四邊形的性質以及判定定理、平行四邊形的面積公式、平行線的性質是解題的關鍵．8．（2024八年級下·重慶江津·期中）如圖1，直線y=?x?4分別交x軸和y軸于點A和點C，點B0，2在y

(1)求直線AB的解析式；(2)若點M為線段AB上一動點，當S△AMC=S(3)如圖2，將直線AB沿y軸的負方向移動，使其平移后的直線l′恰好經過原點O，平移后點A的對應點為A′，點Q為x軸上一動點，點P為直線l′上一動點，寫出所有使得以點P、Q、A′、C為頂點的四邊形是平行四邊形的點【答案】(1)y=(2)M(3)P4,2或P【分析】（1）先求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出S△AOC，再根據(jù)S（3）先求出直線l′的解析式為y=12【詳解】（1）解：當y=?x?4=0時，x=?4，∴A?4,0設直線AB的解析式為y=kx+2，將點A?4,0代入可得k=∴直線AB的解析式為y=1（2）解：當x=0時，y=?x?4=?4，∴C∵B0，∴BC=6，OA=OC=4，S△AOC設點M的坐標為x,1S∴12+3x=8，解得x=?4則y=∴點M?（3）解：由題意可知點B平移到點O的位置，即直線AB沿y軸向下平移2個單位，所以A′?4,?2，直線l′如圖，連接A′C，平移A′C，使

則點C向上平移了4個單位，點A′∴點P的縱坐標為：?2+4=2，當y=2時，x=4，即點P4,2同理，如圖，平移A′C，使A′

則點A′∴點P的縱坐標為：?4+2=?2，此時，點P與點A重合，不存在；如圖，當A′

設A′C的中點為D，則D設Px,12則x+a2=?21∴12∴P2?12,?6，綜上，滿足題意的點P坐標為P2,4【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質，平行四邊形的性質，熟練利用平行四邊形的性質分情況討論是解題的關鍵．9．（2024八年級上·湖北武漢·期中）如圖是由小正方形組成的8×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點都是格點，E為AC上一格點，點D為AB上任一點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖結果用實線表示，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖1中，先將線段AB向右平移得到線段CF、畫出線段CF，再在CF上畫點G，使CG=AD；(2)在圖2中，先畫出點D關于AC的對稱點H、再在AB上找一點G，使∠GEA=∠DEC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先將線段AB向右平移得到線段CF、連接DE并延長交CF于點G即可；（2）作出點D關于AC的對稱點H，連接HE并延長交AC于點G，則點G即為所求作．【詳解】（1）如圖所示，CG即為所作，（2）如圖，點G即為所作，【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，平行四邊形的判定和性質，垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．10．（2024八年級上·四川綿陽·期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為第一象限中兩點，C為x軸正半軸上一點，且四邊形OABC為平行四邊形，已知OA=4，∠AOC=60°，反比例函數(shù)y=kx的圖像經過點(1)求反比例函數(shù)的表達式．(2)若反比例函數(shù)y=kx的圖像經過BC中點D，把?OABC向上平移，對應得到?O′A′B【答案】(1)y=(2)C【分析】1過A作AE⊥OC于E，根據(jù)勾股定理得到AE=OA2?OE2根據(jù)平行四邊形的性質得到AB∥OC，OA∥BC，得到點D的縱坐標為3，把y=3代入y=43x得得到D4,3，過D作【詳解】（1）解：過A作AE⊥OC于E，∵OA=4，∠AOC=60°，∴OE=1∴AE=O∴A2,2∴反比例函數(shù)y=kx的圖象經過點∴k=2×23∴反比例函數(shù)的表達式為y=4（2）解：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，∴B點的縱坐標為23∵點D是BC的中點，∴點D的縱坐標為3，∴把y=3代入y=43∴D4,∵OA∥∴∠DCH=∠AOC=60°，過D作DH⊥x軸于H，∴∠DHC=90°，∴CD=2CH，∴CD∴CH=1，∴OC=3，把x=3代入y=43x∵把?OABC向上平移，對應得到??O′A′B∴C′【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【題型2折疊】1．（2024八年級下·廣西桂林·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，將△ADC沿AC折疊后，點D恰好落在DC延長線上的點E處．若∠B=60°，AB=3，則△ADEA．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，等邊三角形的判定和性質，根據(jù)平行四邊形ABCD，得到∠B=∠D=60°，AB=CD=3，根據(jù)折疊的性質，AD=AE,DC=CE,AC⊥DE，CE=AB=CD=3【詳解】∵平行四邊形ABCD，∠B=60°∴∠B=∠D=60°將△ADC沿AC折疊后，點D恰好落在DC延長線上的點E處．∴AD=AE,DC=CE,AC⊥DE，∴CE=AB=CD=3∴△ADE是等邊三角形，∴AD+DE+AE=6+6+6=18是等邊三角形，故選B．2．（2024八年級下·山西運城·期中）2022北京冬奧會的設計呈現(xiàn)了中國美學，很多設計中利用了軸對稱的美．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，∠AEB=45°，BD=4，李旻老師設計時將平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使得點B落在點B′的位置，連接DB′，則DA．22 B．23 C．4【答案】A【分析】由折疊的性質可得，△ABE≌△AB′E，可得到∠DEB′＝90°，由平行四邊形的性質得ED＝BE＝B′E＝2，則利用勾股定理可求B′【詳解】解：由折疊的性質可得，△ABE≌△AB′E∴∠BEA＝∠B′EA∴∠BEB′∴∠DEB′∵BD＝4，四邊形ABCD是平行四邊形，∴ED＝BE＝B′E∴B′D＝2故選：A．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，翻折的性質，勾股定理，熟練掌握翻折的性質求出∠DEB′3．（2024八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點A′處．若∠1=∠2=38°，則∠A′

【答案】123°/123度【分析】由平行四邊形的性質和折疊的性質，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性質求出∠BDG=∠DBG=12∠1=19°【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∴∠ADB=∠DBG，由折疊可得∠ADB=∠BDG，∴∠DBG=∠BDG，又∵∠1=∠BDG+∠DBG=38°，∴∠ADB=∠BDG=19°，又∵∠2=38°，∴△ABD中，∠A+∠2+∠ADB=180°,∴∠A=180°?∴∠A故答案為：123°【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和定理的綜合應用，熟練掌握平行四邊形的性質，求出∠ADB的度數(shù)是解決問題的關鍵．4．（2024八年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，將△ECD沿直線ED翻折至平行四邊形ABCD所在平面內，得到△EC′D，連結DC′，并延長DC′，BA交于點F，若CD=【答案】22+1【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，平行四邊形的折疊問題，延長DE交AB延長線于G，根據(jù)△ECD折疊得到△EC′D得到∠CDE=∠C′DE，結合平行四邊形的性質得到【詳解】解：延長DE交AB延長線于G，∵△ECD折疊得到△EC∴∠CDE=∠C∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=2，AF=1∴AB=2，AB∥CD∴∠G=∠CDE，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，在△GEB與△DEC中，∠GEB=∠DEC∠G=∠CDE∴△GEB≌△DEC(AAS∴BG=CD=2∵∠C∴FD=FG=25．（2024八年級下·福建福州·期中）如圖，?ABCD中，AB//x軸，AB=12．點A的坐標為2,?8，點D的坐標為?6,8，點B在第四象限，點G是AD與y軸的交點，點P是CD邊上不與點C，D重合的一個動點，過點P作y軸的平行線PM，過點G作x軸的平行線GM，它們相交于點M，將△PGM沿直線PG翻折，當點M的對應點落在坐標軸上時，點P的坐標為．【答案】(855，8)或【分析】先求出直線AD的解析式為y=?2x?4，則可求G(0,?4)，設P(m,8)，則M(m,?4)，可求PM=12，PN=8，分兩種情況討論：當M′在x軸負半軸時，由折疊可知PM′=12，在Rt△M′NP中，由勾股定理可求M′N=45，在Rt△M′OG中，M′G=x，OG=4，可求M′O=x2?16，所以x2【詳解】解：設AD的直線解析式為y=kx+b，將A(2,?8)，D(?6,8)代入可得，2k+b=?8?6k+b=8解得k=?2b=?4∴y=?2x?4，∴G(0,?4)，∵點P是CD邊上，CD∥設P(m,8)，∵GM∥∴M(m,?4)，∴PM=12，PN=8，當M′在x由折疊可知GM=GM′，∴PM在Rt△M′NP中，在Rt△M′OG中，M′∴M∴x2解得x=8∴P(855當M′在x同理可得，?x+x解得x=?12∴P(?1255綜上所述：P點坐標為(855，8)或(?故答案為(855，8)或(?【點睛】本題考查折疊的性質，熟練掌握平行四邊形的性質、平面上點的坐標特點、并靈活應用勾股定理是解題的關鍵．6．（2024八年級下·山東煙臺·期中）如圖，平行四邊形紙片ABCD中，折疊紙片使點D落在AB上的點E處，得折痕AF，再折疊紙片使點C落在EF上的G點，得折痕FH．

(1)請說明：∠AFH=90°；(2)請說明：GH∥AB．【答案】(1)∠AFH=90°(2)見解析【分析】（1）根據(jù)折疊的性質得到∠DFA=∠EFA，∠CFH=∠GFH，根據(jù)平角的定義即可得到結論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質得到AB∥CD，求得∠DFA=∠FAE，得到AD=DF，推出四邊形ADFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得到AD∥【詳解】（1）解：∵折疊紙片使點D落在AB上的點E處，∴∠DFA=∠EFA，∵折疊紙片使點C落在EF上的G點，∴∠CFH=∠GFH，∵∠DFA+∠EFA+∠GFH+∠CFH=180°，∴∠EFA+∠GFH=1∴∠AFH=90°．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠FAE，∵∠DAF=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，由折疊的性質得，AD=AE，∴AE=DF，∵AE∥DF，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AD∥∵BC∥∴四邊形BCFE是平行四邊形，∴∠C=∠BEF，由折疊的性質的，∠C=∠FGH，∴∠FGH=∠BEF，GH∥AB．【點睛】本題主要考查了翻折變換(折疊問題)、平行四邊形的判定和性質等知識點，正確的識別圖形是解題的關鍵．7．（2024八年級下·山東泰安·期中）將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與A重合，點D落到D′處，折痕為EF(1)求證：△ABE≌△AD(2)連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結論．【答案】(1)證明見解析(2)平行四邊形，證明見解析【分析】（1）由折疊的性質得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再由平行四邊形的性質得AD∥BC，AD=BC，AB=CD，則AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，則∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=（2）證明AF=EC，再由AF∥【詳解】（1）∵平行四邊形紙片ABCD折疊，使點C與A重合，點D落到D′處，折痕為EF，∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=∴AB=AD∵AD∥∴∠AFE=∠CEF，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF，∴AF=CE，又AD=BC，∴AD?AF=BC?CE，∴DF=BE，∴BE=D′在△ABE和△ADBE=D′FAE=AF∴△ABE≌△AD（2）四邊形AECF是平行四邊形．證明：由折疊可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥∴四邊形AECF是平行四邊形．【點睛】此題主要考查折疊的性質、全等三角形的判定、平行四邊形的性質與判定，屬于中檔難度的幾何證明題，難度不大．解題的關鍵是熟練運用折疊和平行四邊形的性質．8．（2024八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，在?ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，點E是邊AB上的一點，點F是邊CD上一點，將?ABCD沿EF折疊，得到四邊形EFGH，點A的對應點為點H，點D的對應點為點G．當點H與點(1)填空：點E到CD的距離是______；(2)求證：ΔBCE?(3)△CEF的面積為______；【答案】(1)2(2)見解析(3)7【分析】（1）要求點E到CD的距離，由平行四邊形兩對邊平行可知只需求出AB、CD之間的距離即可，已知BC和∠B，從而想到過點C作AB的垂線，構造直角三角形求解；（2）要證△BCE≌△GCF，根據(jù)平行四邊形的對邊相等、對角相等及折疊的性質可得BC=CG，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，觀察圖形可知∠ECF是∠BCD與∠ECG的公共角，從而可得∠BCE=∠GCF，利用ASA即可證明；（3）要求CF，由(2)中全等三角形知需求CE，過點E作EP⊥BC，想到用勾股定理，需求EP和PC，在Rt△BEP中，設BP=m，已知∠B，表示出BE，BP，再結合折疊的性質及BC表示出PC，CE，解Rt△EPC，即可求出【詳解】（1）解：過點C作CK⊥AB于點K，如圖所示：∵∠B=60°，∴∠BCK=90°?60°=30°，∴BK=1∴CK=B∵點C到AB的距離和點E到CD的距離都是平行線AB、CD間的距離，∵點C到AB的距離是23∴點E到CD的距離是23故答案為：23（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠A＝∠BCD，由折疊可知，AD＝CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC＝GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCD?∠ECF=∠ECG?∠ECF∴∠BCE=∠GCF，∴ΔBCE?（3）過點E作EP⊥BC于點P，如圖所示：∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，設BP=m，則BE=2m，∴EP=B由折疊的性質可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6?2m，∵BC=4，∴PC=4?m，在Rt△ECP中，由勾股定理得：(4?m)解得m=5∴CE=6?2m=6?2×5∵△BCE≌△GCF，∴CF=CE=7∴S故答案為：73【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，勾股定理，三角形面積的計算，三角形全等的判定和性質，折疊的性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造直角三角形，解直角三角形，是解題的關鍵．9．（2024八年級下·四川成都·期中）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，延長AB至點E，使得BE=AB，連接BD和CE．

(1)求證：四邊形BECD是平行四邊形；(2)如圖2，將△CBE沿直線BC翻拆點E剛好落在線段AD的中點F處，延長CF與BA的延長線相交于點H，并且CF和BD交于點G，試求線段CH、FG、GB之間的數(shù)量關系；(3)如圖3，將△CBE沿直線BC翻折，點E剛好落在線段AD上的點F處，若AD=6，DC=3，且FD=2FA，求S△DFC【答案】(1)見解析(2)FG+GB=(3)S【分析】（1）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形性質可得△DFC≌△AFHAAS，進而得到CH=2CF，再根據(jù)四邊形BECD是平行四邊形，和翻折性質可得GB=CG（3）根據(jù)平行四邊形的性質證明△ABD≌△BECSSS，可得AD=BD，過點D作DM⊥AB，可求DM，根據(jù)FD=2FA，可得2S△ABF=S【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵延長AB至點E，BE=AB，∴BE∥CD，BE=CD，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠CDF=∠HAF，∵F是線段AD的中點，∴AF=DF，∵∠DFC=∠AFH，∴△DFC≌△AFHAAS∴CH=2CF，由翻折性質可得：∠ECB=∠FCB，由（1）得：四邊形BECD是平行四邊形，∴∠ECB=∠DBC，∴∠DBC=∠FCB，∴GB=CG，∴FG+CG=12CH（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BECD是平行四邊形，∴AD=BC，BD=CE，∵BE=AB，∴△ABD≌△BECSSS∴∠A=∠CEB，∵BD∥CE，∴∠CEB=∠DBA，∴∠DBA=∠A，∴AD=BD，過點D作DM⊥AB，如圖，

∴AM=1∴DM=A∴S△ABD∵FD=2FA，∴2S∴S∵四邊形BECD是平行四邊形，∴∠CEB=∠CDB，由翻折性質可得：∠CEB=∠CFB，∴∠CEB=∠CFB，由（2）可得：GB=CG，∵∠CNB=∠FNB，∴△CND≌△FNBAAS∴S△CND∴S△DFC【點睛】本題考查了幾何問題，涉及到平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，靈活運用所學知識是關鍵．10．（2024八年級下·黑龍江雞西·期中）如圖，矩形OABC的邊OC、OA分別在x軸、y軸上，且AO、OC的長滿足|OA?2|+(1)求B，C兩點的坐標；(2)把△ABC沿AC翻折，點B落在B′處，線段AB與x軸交于點D，求CD(3)在平面內是否存在點P，使以A，D，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)C點的坐標為4,0，點B的坐標為4,2(2)5(3)存在，P的坐標為?52,2或【分析】（1）利用非負數(shù)的性質求出OA，OC即可解決問題．（2）證明△ADO≌△CDB′（AAS），推出AD=CD，設AD=CD=m,則OD=4-m,在Rt△AOD中，根據(jù)AD（3）由（2）知，CD=52【詳解】（1）|0∴OA?2=0，OC?4=0∴OA=2，OC=4．∵四邊形OABC是矩形∴BC=OA=2，BA=OC=4C點的坐標為4,0，點B的坐標為4,2（2）四邊形OABC是矩形，∴BC=OA，∠AOD=∠B=90°由折疊可知，∠B=∠B′∴OA=B′∵∠ADO=∠CD∴△ADO?△CDB∴AD=CD設AD=CD=x，則OD=4?x，在Rt△AOD∵A∴2解得x=即CD=5（3）如圖，由（1）知，OA=2，∴A（0，2），由（1）知，OC=4，由（2）知，CD=52∴OD=OC-CD=32∵以A，D，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形，∴①當CD為邊時，AP=CD=52∵CD∥AB，A（0，2），∴點P（-52，2）或（5②當AD為邊時，AD=CP，∵點D是點A向右平移32∴點P是由點C（4，0）向右平移32∴P（112∴存在由P的坐標為?52,2或【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了非負數(shù)的性質，折疊的性質，勾股定理，平行四邊形的性質，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．【題型3旋轉】1．（2024·河北·中考真題）如圖，將ΔABC繞邊AC的中點O順時針旋轉180°．嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉后的ΔCDA與ΔABC構成平行四邊形，并推理如下：點A，C分別轉到了點C，A處，而點B轉到了點D處．∵CB=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．小明為保證嘉淇的推理更嚴謹，想在方框中“∵CB=AD，”和“∴四邊形……”之間作補充．下列正確的是（

）A．嘉淇推理嚴謹，不必補充 B．應補充：且AB=CD，C．應補充：且AB//CD D．應補充：且【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可作答．【詳解】根據(jù)旋轉的性質得：CB=AD，AB=CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形；故應補充“AB=CD”，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和旋轉的性質，牢記旋轉前、后的圖形全等，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．2．（2024八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在□ABCD中，AB＝26，AD＝6，將□ABCD繞點A旋轉，當點D的對應點D′落在AB邊上時，點C的對應點C′恰好與點B、C在同一直線上，則此時△C′D′B的面積為（）

A．120 B．240 C．260 D．480【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質和旋轉的性質可推出∠C′BD′=∠C=∠D′AB′=∠BD′C′，因此可得△C′BD′為等腰三角形，進而可推出△C′BD′的高，即可算出面積．【詳解】如圖：

∵□ABCD中繞點A旋轉后得到□AB′C′D′，∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=26，∵AB′∥C′D′，∴∠D′AB′=∠BD′C′，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠C=∠DAB，∴∠C=∠BD′C′，∵點C′、B、C在一條直線上，而AB//CD，∴∠C=∠C′BD′，∴∠C′BD′=∠BD′C′∴△C′BD′為等腰三角形，作C′H⊥D′B，則BH=D′H，∵AB=26，AD=6，∴BD′=20，∴D′H=10，∴C′H=262∴△C′D′B的面積=12·BD′·C′H=1故選：B．【點睛】本題主要考查圖形的旋轉，平行四邊形的性質和等腰三角形的性質，根據(jù)題意求出三角形的高是解題關鍵．3．（2024八年級上·山東濟南·期中）如圖，原點O為?ABCD的對稱中心，AB∥x軸，與y軸交于點E0,1，AD與x軸交于F?32,0，BE=2AE．若將△AOE繞原點O順時針旋轉，每次旋轉90°A．1,?1 B．?1,1 C．32,?1 【答案】B【分析】本題考查了圖形與坐標，旋轉的性質，中心對稱的性質，周期型規(guī)律問題，連接OC，設CD與y軸交于點G，BC與x軸交于點H，利用中心對稱的性質確定OF、OH、FH的長度，利用平行四邊形的判定及性質可以得到AB=FH，再根據(jù)BE=2AE確定點A的坐標，由旋轉的周期性確定△AOE繞原點O順時針旋轉第2024次旋轉結束時與△AOE位置重合，即可得到點A的對應點的坐標．能準確確定點A的坐標及在第2024次旋轉結束時△AOE所在的位置是解決本題的關鍵．【詳解】連接OC，設CD與y軸交于點G，BC與x軸交于點H，

∵原點O為?ABCD的對稱中心，∴點H與點F關于點O對稱，∵點F?∴OF=OH=32，∵四邊形ABFH是平行四邊形，∴AB=FH=3，又∵BE=2AE，點E∴AE=1即點A(?1,1)，點C(1,?1)∵△AOE繞原點O順時針旋轉，每次旋轉90°，∴360°÷902024÷4=506，即△AOE繞原點O順時針旋轉第2024次旋轉結束時與△AOE位置重合，∴點A的對應點的坐標為(?1,1)．故選：B．4．（2024八年級下·湖北武漢·期中）如圖，已知直線PQ∥MN，點A、B分別在MN、PQ上，射線AC自射線AN的位置開始，以每秒4°的速度繞點A逆時針旋轉至AM便立即順時針回轉，旋轉至AN后停止運動，射線BD自射線BQ的位畳開始，以每秒1°的速度繞點B順時針嫙轉至BP后停止運動，若射線BD先旋轉20秒，射線AC才開始轉動，當射線AC，BD互相平行時，射線AC的旋轉時間t（0<t<60）為秒．【答案】32或200【分析】根據(jù)利用平行四邊形的判定得到四邊形BFAE是平行四邊形，【詳解】解：①AC繞點A逆時針旋轉至AM之前，∵BD∥AC，PQ∥MN，∴四邊形∴∠PBD=∠CAF，∵∠CAM+∠CAF=180°，∠QBD+∠PBD=180°，∴∠QBD+∠CAF=180°∵每秒1°的速度繞點B順時針，時間為t，且先旋轉20秒，∴∠QBD=20+t，∵每秒4°的速度繞點A逆時針旋轉，∴∠CAF=4t，∴20+t+4t=180°,∴t=32，②AC繞點A逆時針旋轉至AM之后，∵BD∥AC，PQ∥MN∴四邊形BFAE是平行四邊形，∴∠QBD=∠EAF，∵每秒1°的速度繞點B順時針，時間為t，且先旋轉20秒，∴∠QBD=20+t，∠EAF=4t?180°，∴20+t=4t?180°，∴t=200故答案為：32或2003【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行四邊形的判定與性質，掌握平行四邊形的判定性質是解題的關鍵．5．（2024八年級上·河南信陽·階段練習）如圖，△ABC和△DCE都為等腰直角三角形，∠BAC=∠DCE=90°，連接AD，以AD、AB為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若AB=5【答案】10?2【分析】根據(jù)平行四邊形的性質以及等腰直角三角形的性質證明當AO有最小值時，AF最小，即當O在AC上時，此時D，E，F(xiàn)共線，即可求解．【詳解】解：當D，E，F(xiàn)共線時，AF最小，如圖所示，∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB=DF，DF∥∵△ABC和△DCE都為等腰直角三角形，∴AB=AC，CD=CE，∠CDE=45°，∴AC=DF，DF⊥AC，∴AC=DF，∠ACD=∠CDE=45°，∴DO=OC，∴OA=OF，∵∠AOF=90°，∴AF=∴當AO有最小值時，AF最小，即當O在AC上時，此時D，E，F(xiàn)共線，∵CD=2，∴OC=1，∵AC=∴AO=∴AF=故答案為：10【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，平行四邊形的性質，尋找AF最小時點F的位置是解題的難點．6．（2024八年級下·江蘇南京·期中）如圖，在面積是12的平行四邊形ABCD中，對角線AC繞著它的中點O按順時針方向旋轉一定角度后，其所在直線分別交AD、BC于點E、F，若BF=2CF，則圖中陰影部分的面積是．【答案】2【分析】先證明△AOE≌△COF，得出AE=CF，過點A作AH⊥BC，交BC于點H，S?ABCD=BC?AH，S陰影部分=1【詳解】解：在平行四邊形ABCD中，∴AD//BC，∴∠EAO=∠FCO，∵點O是AC的中點，∴AO=CO，∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，過點A作AH⊥BC，交BC于點H，∴S?ABCD=BC?AH=12，∴S陰影部分∵BF=2CF，∴BC=3FC∴S【點睛】本題考查平行四邊形及旋轉的性質和全等三角形的性質和判定，解題關鍵是熟練掌握平行四邊形及三角形的面積公式，難度一般．7．（2024八年級上·福建莆田·期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，將△ABC繞點B沿順時針方向旋轉90°得到△A1BC1【答案】見解析【分析】由于將△ABC繞點B沿順時針方向旋轉90°得到△A1BC1，根據(jù)旋轉的性質可以得到A1C1=AC【詳解】解：∵將△ABC繞點B沿順時針方向旋轉90°得到△A∴A1C∴∠A∴A又∵A∴A1∴四邊形CBA【點睛】此題主要考查了旋轉的性質，平行四邊形的判定，解題的關鍵是利用旋轉的性質得到相等的相等和相等的角．8．（2024八年級上·云南昆明·期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一點，且CE＝BE，將△CBE繞點C旋轉得到△CAD．（1）求證：AB∥DC；（2）連接DE，判斷四邊形BEDC的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形，理由見解析【分析】（1）由旋轉的性質得出∠BCE＝∠ACD，由等腰三角形的性質得出∠B＝∠BAC，∠B＝∠BCE，由平行線的判定可得出結論；（2）由平行四邊形的判定可得出結論．【詳解】（1）證明：由旋轉的性質得∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵CE＝BE，∴∠B＝∠BCE，∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD；（2）解：四邊形BEDC是平行四邊形，由旋轉的性質得CD＝CE，∵CE＝BE，∴CD＝BE，∵AB∥DC，∴四邊形BEDC是平行四邊形．【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、平行四邊形的性質與判定、熟練掌握旋轉的性質是解本題的關鍵；9．（2024八年級上·河北張家口·期中）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張全等的三角形膠片△ABC和△DEF，將這兩張三角形膠片的頂點B與頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉，這時AC與DF相交于點O．（1）當△DEF旋轉至如圖②位置，點B（E），C，D在同一直線上時，AF與CD的數(shù)量關系是_______；（2）當△DEF繼續(xù)旋轉至如圖③位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1）AF＝CD；（2）成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質和圖形得出AB=DE，DF=AC，∠ABC=∠DEF，根據(jù)SAS證△ABC≌△DEF，推出BF=EC即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質