高三數(shù)學二輪總復習 訓練7 三角恒等變換與解三角形 理

?？紗栴}7三角恒等變換與解三角形(建議用時：50分鐘)1．(·濟寧二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，則b等于________．解析∵S＝eq\f(1,2)acsinB＝2，∴eq\f(1,2)×1×c×sin45°＝2.∴c＝4eq\r(2).∴b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4eq\r(2)×cos45°.∴b2＝25，b＝5.答案52．(·北京東城區(qū)期末)在△ABC中，A，B，C為內角，且sinAcosA＝sinBcosB，則△ABC是________三角形．解析由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC為等腰或直角三角形．答案等腰或直角3．(·浙江卷改編)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，則tan2α等于________．解析∵sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝eq\f(5,2).化簡，得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(3,4).答案－eq\f(3,4)4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosC解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin2B＝8csinB，所以cosB＝eq\f(4,5).所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(7,25).答案eq\f(7,25)5．已知tanβ＝eq\f(4,3)，sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，其中α，β∈(0，π)，則sinα的值為________．解析依題意得sinβ＝eq\f(4,5)，cosβ＝eq\f(3,5)；注意到sin(α＋β)＝eq\f(5,13)<sinβ，因此有α＋β>eq\f(π,2)(否則，若α＋β≤eq\f(π,2)，則有0<β<α＋β≤eq\f(π,2)，0<sinβ<sin(α＋β)，這與“sin(α＋β)<sinβ”矛盾)，則cos(α＋β)＝－eq\f(12,13)，sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cosβ－cos(α＋β)sinβ＝eq\f(63,65).答案eq\f(63,65)6．(·衡水調研)在△ABC中，內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinA，求b＝______.解析在△ABC中，sinAcosC＝3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝3·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)·c，化簡并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，則4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍)．答案47．若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(1,2)，則cos(α＋β)＝________.解析∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,4)<α－eq\f(β,2)<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<eq\f(α,2)－β<eq\f(π,4)，由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),2)和sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(1,2)得α－eq\f(β,2)＝±eq\f(π,6)，eq\f(α,2)－β＝－eq\f(π,6)，當α－eq\f(β,2)＝－eq\f(π,6)，eq\f(α,2)－β＝－eq\f(π,6)時，α＋β＝0，與α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))矛盾；當α－eq\f(β,2)＝eq\f(π,6)，eq\f(α,2)－β＝－eq\f(π,6)時，α＝β＝eq\f(π,3)，此時cos(α＋β)＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)8．(·蘇北四市模擬)在△ABC中，AD為BC邊上的高線，AD＝BC，角A，B，C的對邊為a，b，c，則eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)的取值范圍是________．解析因為AD＝BC＝a，由eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,2)bcsinA，解得sinA＝eq\f(a2,bc)，再由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(c,b)－\f(a2,bc)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(c,b)－sinA))，得eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)＝2cosA＋sinA，又A∈(0，π)，所以由基本不等式和輔助角公式得eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)的取值范圍是[2，eq\r(5)]．答案[2，eq\r(5)]9．(·江蘇卷)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)．如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α－β最大？解(1)由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此，算出的電視塔的高度H是124m.(2)由題設知d＝AB，得tanα＝eq\f(H,d).由AB＝AD－BD＝eq\f(H,tanβ)－eq\f(h,tanβ)，得tanβ＝eq\f(H－h(huán),d)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(h,d＋H\f(H－h(huán),d))≤eq\f(h,2\r(HH－h(huán)))，當且僅當d＝eq\f(HH－h(huán),d)，即d＝eq\r(HH－h(huán))＝eq\r(125×125－4)＝55eq\r(5)時，上式取等號，所以當d＝55eq\r(5)時，tan(α－β)最大．因為0＜β＜α＜eq\f(π,2)，則0＜α－β＜eq\f(π,2)，所以當d＝55eq\r(5)時，α－β最大．故所求的d是55eq\10．(·江蘇卷)在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).(1)求證：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝eq\f(\r(5),5)，求A的值．(1)證明因為eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，即AC·cosA＝3BC·cosB，由正弦定理知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，從而sinBcosA＝3sinAcosB，又因為0＜A＋B＜π，所以cosA＞0，cosB＞0，所以tanB＝3tanA.(2)解因為cosC＝eq\f(\r(5),5)，0＜C＜π，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(2\r(5),5)，從而tanC＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2，亦即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－2，由(1)得eq\f(4tanA,1－3tan2A)＝－2，解得tanA＝1或－eq\f(1,3)，因為cosA＞0，故tanA＝1，所以A＝eq\f(π,4).11．(·新課標全國Ⅱ卷)△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面積的最大值．解(1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋co