12.3 角的平分線的性質(zhì) 人教版數(shù)學(xué)八年級上冊課件

12.3角的平分線的性質(zhì)1.掌握角平分線的做法和角平分線的性質(zhì);2.掌握角平分線在實(shí)際生活中的應(yīng)用；學(xué)習(xí)目標(biāo)3.提高綜合運(yùn)用全等知識解決問題的能力.1.角平分線的概念一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.OBCA12預(yù)習(xí)反饋

P

ABCD3.用尺規(guī)作已知角的平分線的理論依據(jù)是()A.SASB.AASC.SSSD.ASAC4.如圖，MP⊥NP，MQ為△NMP的角平分線，MT＝MP，連結(jié)TQ，則下列結(jié)論中，不正確的是()A.TQ＝PQ．B.∠MQT＝∠MQPC.∠QTN＝90o

D.∠NQT＝∠MQTD

如圖,是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),

和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道AB理嗎?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎?E證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）

∴△ACD≌△ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）問題導(dǎo)入觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：AＢＯＭＮＣ畫法：１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．

３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．1.角的平分線的作法(尺規(guī)作角的平分線）課堂探究AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？（議一議，寫一寫）

Ｏ已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分∠AOB。證明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴△OMC≌△ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC,即：OC平分∠AOB1.角的平分線的作法(尺規(guī)作角的平分線）思考已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E。求證：PD=PE角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。DPEAOBC2.角平分線的性質(zhì)課堂探究證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定義）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOC

OP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）DPEAOBC2.角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2

PD⊥OA

，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè)。文字語言：圖形語言定理2.角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：

（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；

（3）垂直距離。定理的作用：

證明線段相等。1.∵如圖，AD平分∠BAC（已知）∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BD

CD（×）3.角平分線的性質(zhì)運(yùn)用判斷只有角平分線，沒有垂直,不能用角平分線性質(zhì)定理練一練2.∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BD

CD（×）只有垂直，沒有角平分線,不能用角平分線性質(zhì)定理3.∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。（√）不必再證全等證明一個(gè)幾何命題的一般步驟：1.明確命題中的已知和求證。2.根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示出已知和求證。3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證結(jié)論的途徑，寫出證明過程。方法總結(jié)例1在△OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D.求證：AC=BD.OABECD分析：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE≌Rt△CDF.例題解析ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例2在△ABC中，∠C=90°，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的長。EDCBA解：∵AD為∠BAC的平分線，∠C=90°,DE⊥AB,∴DC=DE=3.∵BC=7∴BD=BC-CD=7-3=4.ABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4,

AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_______.（2）求△APB的面積.（3）求?PDB的周長.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用變式訓(xùn)練ABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長.·AB·PD=28.由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，=1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解方法總結(jié)1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

。60BF2如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么線段BE是△ABC的

，AE+DE=

。角平分線6cm隨堂檢測3.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是

.ABCD34.如圖，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF解：∵AD是∠BAC的平分線，∠C=90°，DE⊥AB于E，∴DE=DC，∠DEB=∠C=90°.在△Rt△BED和Rt△FCD中BD=FDED=CD∴Rt△BED≌Rt△FCD（HL）∴CF=BE5.如圖，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．

求證：BM＝CN．證明：連接EB，EC，∵DE⊥BC∴∠EDB=∠EDC=90°.在△EDB和△EDC中，DB=DC∠EDB=∠EDCED=ED∴△EDB≌△EDC（SAS）∴EB=EC∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC∴EM=EN∴Rt△EBM≌Rt△ECN∴BM=CN6.如圖，在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D。求證：∠2=∠1+∠C.證明：延長AD交BC于點(diǎn)FF∵AD⊥BE，∠ADB=∠FDB=90°.∵BE是