TITO系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計方法

TITO系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計方法作者：M.Zhuang，D.P.Atherton

關(guān)鍵詞：控制理論，控制系統(tǒng)，過程控制摘要：本文提供了一種雙輸入雙輸出系統(tǒng)（TITO）的對角線PID控制器的設(shè)計方法。首先，給出了一種新的TITO系統(tǒng)自整定程序，這種設(shè)計方法是基于通過移動臨界點，補償特征值的方法，從而達(dá)到期望的狀態(tài)。其次，提供了一種利用積分標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)化方法。通過下面的例子來說明兩種方法。概述雖然控制理論取得了令人矚目的進步，但數(shù)十年前就出現(xiàn)的PID控制器，至今廣泛應(yīng)用于流程工業(yè)。對于一個單輸入單輸出的系統(tǒng)，有很多途徑來被用來確定PID控制器的參數(shù)。一些方法使用了開環(huán)設(shè)備的單步反饋信息。例如，Coon-Cohen反饋曲線法，以及其它一些方法，都使用了Nyquist曲線法的知識，現(xiàn)在常常用來自動控制，例如Ziegler-Nichols、Astrom-Hagglund、和Zhuang-Atherton頻率響應(yīng)法。其它一些方法用積分執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化，舉例來說，時間加權(quán)積分的誤差平方和準(zhǔn)則，是可能提供良好的PID控制器的設(shè)置，但需要了解一個設(shè)備的傳遞函數(shù)模型。多于一個可變量必需要控制的過程，稱為多輸入多輸出（MIMO）過程，這是經(jīng)常會遇到的。相比于一個SISO系統(tǒng)，MIMO系統(tǒng)的PID控制器更難設(shè)計，因為在MIMO系統(tǒng)的內(nèi)部，存在著不同的控制回路，之間相互影響。一種SISO系統(tǒng)的自整定方法不一定適用于MIMO系統(tǒng)。最常見的MIMO系統(tǒng)形式就是雙輸入雙輸出系統(tǒng)（TITO），本文的目的就是為了報告對于這種系統(tǒng)一種新的PID自整定方法。假設(shè)，對于耦合系統(tǒng)，對角線PID控制器可以提供令人滿意的控制結(jié)果。如果不是，那么控制器可能需要提供一個解耦或?qū)钦純?yōu)開環(huán)響應(yīng)，使獨立的回路調(diào)節(jié)都可以使用。首先，一種新的自整定程序已經(jīng)給出，這個程序用于調(diào)整TITO系統(tǒng)的對角PID控制器參數(shù)。在程序中，兩個實時控制器用于確定臨界點的參數(shù)，然后從實測的臨界點數(shù)據(jù)計算PID控制器參數(shù)。這種方法使用了Ziegler-Nichols整定公式，并采用了一種新的整定程序，本文中將對其進行介紹，它使用了過程的特征點。在此方法中，PID控制器參數(shù)，建立在移動臨界點到一個理想的位置上，從而補償特征值或者特征點的概念上。其次，參考文獻(xiàn)3中的優(yōu)化程序，是確定TITO系統(tǒng)的PID控制器參數(shù)的擴展。提出了使用整體性能準(zhǔn)則損失函數(shù)的幾種形式的，其中考慮了兩個環(huán)路之間的互動關(guān)系。自整定的優(yōu)勢在于，當(dāng)過程中沒有數(shù)學(xué)模型有效時仍能夠使用。一個衡量有效性的方法是，對這些已經(jīng)優(yōu)化的結(jié)果進行比較。TITO系統(tǒng)的PID控制器的自整定自整定技術(shù)，在SISO系統(tǒng)中對PID控制器進行整定已經(jīng)成功地采用，這在參考文獻(xiàn)1中有過介紹。在中繼控制器中，被用來確定臨界點的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)也是用來確定PID參數(shù)。本文將這種方法擴展到TITO系統(tǒng)。一般性的Ziegler-Nichols方法Ziegler-Nichols設(shè)計方法是一種非常受歡迎的啟發(fā)式工具，用在過程控制工程中確定SISO系統(tǒng)的PID控制器參數(shù)。1971年，Niederlinski提出了一種將確定MIMO系統(tǒng)的臨界頻率和臨界增益進行擴展的方法，用于給出對角PID控制器的參數(shù)。這種程序方法，也稱為一般性的Ziegler-Nichols方法，簡要介紹如下：為N個控制變量的相對控制質(zhì)量選擇N個加權(quán)因子Ci（i=1,……,n）使用最好的輸入輸出配對配置，然后把P-控制系統(tǒng)提到一個穩(wěn)定的振蕩器中，在閉環(huán)增益中保持以下關(guān)系確定臨界頻率Q，從振蕩周期T，和臨界控制增益Kc,i，對于給定的系統(tǒng)振蕩剛開始時的Kp.i。確定控制器參數(shù)，通過一般Ziegler-Nichols整定公式，列于表1。表SEQ表\*ARABIC1Ziegler-Nichols整定的一般規(guī)則檢查相對的質(zhì)量控制是否滿意的。如果不，則適當(dāng)?shù)馗淖僣i的值，并返回到步驟2。ci的選擇對控制器性能產(chǎn)生影響，這一點將在后面詳細(xì)討論。自整定程序為使用一般性的Ziegler-Nichols整定公式來確定PID控制器的參數(shù)，必須得到多變量系統(tǒng)的臨界頻率和臨界增益。在Niederlinski比例控制器提供的設(shè)計方法中，被用于在每個回路中，通過增加控制器增益，以獲取一個穩(wěn)定的振蕩。這個程序不容易自動運行，也難以保持振幅在一個合理的水平。因此，提出了一個使用兩個中繼控制器來替換TITO系統(tǒng)的對角PID控制器在臨界點的數(shù)據(jù)。該自整定程序的流程如下：給定過程的穩(wěn)態(tài)增益，可以由開環(huán)響應(yīng)和最佳配對設(shè)置確定。最佳配對設(shè)置可以通過改變輸入輸出得到，這在參考文獻(xiàn)5中有描述。當(dāng)系統(tǒng)設(shè)置為整定模式，兩個對角中繼控制器用來取代兩個對角規(guī)管（圖1），并且通過調(diào)整中繼控制器的開關(guān)幅度來得到每個回路的臨界點。因此2個對角回路的Kci和ωc.i可以被替換掉。當(dāng)系統(tǒng)還在整定模式中，把中繼控制器的兩個高峰間的比值（η=h1/h2）調(diào)整到一個合適的值，從而計算得到周期Tcr和振幅Ai。η的取值稍后介紹，但一個好的初始值能夠滿足h1/A1=h2/A2。然后臨界頻率Ωc、臨界增益Kc.i由下式近似導(dǎo)出。對角PID控制器的參數(shù)可通過表1中的Ziegler-Nichols整定公式的一般形式得到，其中用于比例增益的系數(shù)ai，可以使用式1種的α1替代，或者使用特制點設(shè)計法，這將在下一節(jié)介紹。PID控制器完成整定，并替代了控制模式。合適的檢查方式是確認(rèn)控制質(zhì)量是否滿意。如果不滿意，則返回到第3步，通過2個峰值之間的比值η，來改變Ziegler-Nichols整定公式的一般形式中的系數(shù)ci。極限環(huán)的確定可能存在于TITO系統(tǒng)中，確定一個極限環(huán)的一般問題時相當(dāng)復(fù)雜，已經(jīng)有多種程序已經(jīng)編寫出來解決這種情況。沒有見到的規(guī)則可以用來確定極限環(huán)是否存在一個主要頻率，或者存在聯(lián)合模式振蕩、鎖定諧波振蕩的現(xiàn)象，甚至混沌運動的發(fā)生可能。圖1所示的系統(tǒng)可能發(fā)生這些現(xiàn)象。例如，兩個耦合回路的振蕩頻率大約為1到3，然后一個小數(shù)值的耦合通常會導(dǎo)致兩個頻率繼續(xù)存在，而大數(shù)值的耦合將產(chǎn)生一個1到3的同步頻率。典型的控制形式傳遞函數(shù)，但設(shè)備的傳遞矩陣的傳遞函數(shù)的帶寬往往相似，根據(jù)這種情況，如圖1中的兩個中繼，通常是一個有主要單頻的極限環(huán)。為在這種情況下，描述函數(shù)方法可以用來近似地分析多變量系統(tǒng)與非線性元件的行為特點。圖SEQ圖\*ARABIC1TITO系統(tǒng)的自整定假設(shè)輸入信號金融中繼器是正弦波，用向量x表示，那么中繼設(shè)備可以用函數(shù)矩陣N(a)=diag{N1,N2}表示。如果存在振蕩，則需要G(jw)N(a)x=-x，或者因此，極限環(huán)存在的條件是：這就是所謂的特征方程系統(tǒng)，對于TITO系統(tǒng)可以寫成：其中Ni是第i個中繼設(shè)備的等效頻率傳遞函數(shù)。然后得到頻率和振幅，因為如果回路中的極限環(huán)被假設(shè)為，在相同的頻率下輸入信號的向量x可以表示為：且式4可寫為因此，4個未知變量ω1，a1，a2和Φ可以通過式7得到，通過將其轉(zhuǎn)換為正弦或者余弦，并使用幾種數(shù)值計算方法，如下：這表明式6和式8的解是相同的，因此振蕩頻率相同，而臨界增益可以用式3得到。另一方面，實際上中繼控制的輸入不會是嚴(yán)格的正弦，所以通過式3得到的臨界增益只是近似值。選擇兩個中繼峰值間的比值將影響PID控制器參數(shù)的確定。一般來說，較大的比值hi/hj用來確定臨界點的數(shù)據(jù)，從而整定PID控制器，得到更好的回路i的效果，以回路j作為代價。在特殊情況下，當(dāng)兩個回路的輸入端振蕩有相同的相位，則表明兩者的臨界增益可以由下式得到：當(dāng)系統(tǒng)處于一個穩(wěn)態(tài)的極限環(huán)時，上式可以很容易的從式7和式3導(dǎo)出。式9中的Kij(i,j=1,2)是過程傳遞函數(shù)的穩(wěn)態(tài)增益。從式9可以發(fā)現(xiàn)，對某一特定的系統(tǒng)而言，兩個臨界增益的比值取決于兩個中繼峰值因此，TITO系統(tǒng)的比例控制器的穩(wěn)定區(qū)域，可以由中繼控制近似導(dǎo)出。通過改變兩個中繼設(shè)備峰值的比值，可以確定兩個回路的臨界增益，并且穩(wěn)態(tài)區(qū)域可以由一個回路的臨界增益來劃定?？紤]將一個三階TITO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：其中正耦合k12=1，負(fù)耦合k12=-1。圖2顯示了該過程的穩(wěn)態(tài)區(qū)域。圖SEQ圖\*ARABIC2一個三階TITO系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)區(qū)域使用特征軌跡的設(shè)計方法移動一個過程的開環(huán)Nyquist曲線的臨界點到一個理想位置的想法，已經(jīng)被用于確定SISO系統(tǒng)的PID控制器參數(shù)，在第1和第10參考文獻(xiàn)中有介紹。在這節(jié)中，這個方法將進一步推廣，用于設(shè)計TITO系統(tǒng)的對角線PID控制器。多變量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可以從它的特征值或者特征點來確定，類似與一個SISO系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)可以從Nyquist軌跡來推導(dǎo)得到。特征點的方法也可以推廣，通過非線性對角矩陣來確定TITO系統(tǒng)的極限環(huán)。當(dāng)系統(tǒng)處于中繼控制下，由中繼輸出等級確定的振蕩頻率，改變了每個回路的臨界增益，來實現(xiàn)耦合振蕩。當(dāng)振蕩頻率Ωc為h1A2/h2A1=1時，臨界增益Kc.1和Kc.2相等。通常，頻率位于設(shè)備傳遞函數(shù)的特征點，且是一個較大的規(guī)模相互交錯的負(fù)面實軸上，如圖3所示。對于特殊情況，當(dāng)過程傳遞函數(shù)矩陣有一個共同點，并常數(shù)項，則頻率Ωc位于雙方特征點提供的特征軌跡的-180圖SEQ圖\*ARABIC3TITO過程的特征軌跡該設(shè)計方法的目的是在近似的特征軌跡上修改增益和相位，以改善閉環(huán)響應(yīng)。此外，通過自整定程序，在沒有先驗知識的動態(tài)過程，也可為TITO過程確定PID控制器參數(shù)。假設(shè)過程開環(huán)穩(wěn)定，且臨界頻率和臨界增益Ωc、Kc.1、Kc.2和對角PID控制器的傳遞函數(shù)如下所示：系統(tǒng)返回比例矩陣G(s)Gc(s)有下式得出：其中μi(s)為系統(tǒng)特征點。在臨界頻率，控制器傳遞函數(shù)矩陣可表示為兩個對角矩陣，例如：控制器增益和相位的選擇，將影響補償系統(tǒng)的特征點。如果選擇兩個相同的控制器，那么每個過程的特征值乘以控制器的傳遞函數(shù)，可得到補償系統(tǒng)的特征值，如：其中λ是過程的特征點，Gcj(jω)是控制器設(shè)備的傳遞函數(shù)。這意味著，通過控制器獨立地調(diào)整補償系統(tǒng)的兩個特征點，臨界頻率可以移動到振蕩頻率所產(chǎn)生的特征軌跡上的任意位置。進而，控制器增益由臨界增益選擇，且兩個相位相同，如：然后有：若Kb=I，特征點之一將相交在負(fù)實軸的(-1,0)上，而Kc.1和Kc.2時臨界增益。在大多數(shù)情況下，這是外特征軌跡，但是否是可證明由極限環(huán)確定的情況，需要一個設(shè)備傳遞矩陣。這將在例1中進一步討論。給予所需的在頻率R下，特征軌跡的參數(shù)Φ和規(guī)模m，如下得到：去Tii=αTdi，然后得到：其中下標(biāo)i表明，回路i中的控制器，與積分時間和微分時間之間是獨立的。當(dāng)m的值由特征軌跡的相位差Φ獲得。如果增益差Gm是必需的，對于特定PID控制器的特征軌跡，則由下式確定：如果控制器的兩個相位不等，那么補償系統(tǒng)特征軌跡的運動方式無法確定。總而言之，在過程特征點λ上，對角PID控制器的作用可用式10的對數(shù)表示，分為規(guī)模和相位，分別為：和這些方程式表明，控制器產(chǎn)生的增益和相位分享兩個特征點λi(jω)，組成新的特征點μi(jω)，所以補償?shù)奶卣鼽c不能被轉(zhuǎn)移到一個理想的位置。優(yōu)化方法當(dāng)知道過程模型的情況下，通過減少某些積分性能指標(biāo)，可以得到最優(yōu)的PID控制器設(shè)置。擬議時間加權(quán)的ISE準(zhǔn)則，在參考文獻(xiàn)3中已經(jīng)成功地用于整定SISO系統(tǒng)的PID控制器。本節(jié)中，相同的程序?qū)⒈挥脕碚═ITO系統(tǒng)的控制器。假設(shè)TITO系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，那么TITO系統(tǒng)的錯誤信號矢量可以用返回不同矩陣表示，例如：其中R和Y是2×1的向量，G是2×2的給定過程傳遞函數(shù)矩陣，Gc是控制器傳遞函數(shù)矩陣。E(s)可由下式得到：其中Δ＝det|1+G(s)Gc(s)|通過減少積分性能來獲取最優(yōu)的PID設(shè)定，這是式19的功能之一。有很多種可能，在此，我們提出最接近實現(xiàn)的3種。首先，盡量減少通過約束其中ei/i是回路i的錯誤信號，yj/i是回路j的輸出，當(dāng)回路i有一個階躍輸入信號且其它回路沒有輸出時。或者最小化再次假設(shè)回路i僅有一個階躍輸入。或者最后使用目標(biāo)函數(shù)的形式其中ei/i的定義與上面一致，而βi是F(ei/i)的權(quán)重因子。當(dāng)?shù)谝唤M的兩個目標(biāo)函數(shù)被使用，且其中之一從期望的準(zhǔn)則出發(fā)，那么通常會使第i個回路的表現(xiàn)好于其它回路。當(dāng)兩個回路之一比另一個更重要時，這些標(biāo)準(zhǔn)是有用的。下一節(jié)中所舉的例子，僅考慮了第3個目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)優(yōu)化是使得所有參數(shù)不同，解決的方法也可能不是唯一的。唯一性的問題常?？梢酝ㄟ^限制一兩個參數(shù)來解決。有很多不同的標(biāo)準(zhǔn)可以被選做優(yōu)化的目的。一些典型的如：所有這些表明，IAE可以用于再頻率域中的評價分析；最近的結(jié)果表明ISTE一般可取。顯然，如果某一個積分性能指標(biāo)減至最低，有不同的輸入輸出控制器參數(shù)導(dǎo)致。例子軟件實現(xiàn)的設(shè)計算法，已經(jīng)作為一個Matlab程序的菜單了，這要求用Fortran寫的程序，如使用NAG庫程序的優(yōu)化程序，雇用了序列二次規(guī)劃算法。該程序的使用，以盡量減少任意光滑函數(shù)受到如式21范圍內(nèi)的變量、線形、非線性的限制。下面的3個例子說明了3種設(shè)計方法，稱為一般性的Ziegler-Nichols，該方法使用了特征點和優(yōu)化方法。例1：該例，在參考文獻(xiàn)3種提到：其中D(s)=(1+0.1s)(1+0.2s)2。這不是一個典型的過程控制問題，因為設(shè)備不是對角域且有一個大且負(fù)的對角增益。在參考文獻(xiàn)4中，給出的臨界頻率是8.6rd/s，兩個臨界均為8.25(C1/C2=1)。該頻率大約在外特征軌跡的180°相位。首先考慮PI控制設(shè)計使用一般性的Ziegler-Nichols方法，在a2=0.45且βi=1時J3的ISTE優(yōu)化。得到的控制器參數(shù)結(jié)果列在表2中，且相應(yīng)階躍響應(yīng)顯示在圖4中。表SEQ表\*ARABIC2例1的PI控制器參數(shù)從這些響應(yīng)看出，ISTE設(shè)計產(chǎn)生很好的結(jié)果，但是一般性的Ziegler-Nichols方法產(chǎn)生相當(dāng)不理想的高頻振動反應(yīng)。PID控制器的設(shè)計方法均使用了上述兩種方法，也使用了特征點。圖SEQ圖\*ARABIC4PI控制器的階躍響應(yīng)結(jié)果是對于3種設(shè)計方法的PID控制器設(shè)置在表3中給出。相應(yīng)的設(shè)備特征點和使用這種方法的補償系統(tǒng)在圖5中給出?！?”表示在外特征軌跡的臨界點位于1－135°，此處頻率是8.6，從該設(shè)計方法確定的PID設(shè)置使用了特征點。表SEQ表\*ARABIC3例1的PID控制器設(shè)置圖SEQ圖\*ARABIC5臨界點的移動圖6顯示了階躍響應(yīng)曲線，并顯示了這種方法使用了特征點；且優(yōu)化提供了更好的閉環(huán)特性，相對于一般性的Ziegler-Nichols方法在穩(wěn)定時間減少方面。響應(yīng)被認(rèn)為是要明顯優(yōu)于那些PI控制。圖SEQ圖\*ARABIC6例1的階躍響應(yīng)，使用8.6rads/s作為臨界頻率圖SEQ圖\*ARABIC7例1中過程的特征點例2：一個四階系統(tǒng)。過程的傳遞函數(shù)矩陣是其中D(s)=(1+s)(1+2s)2(1+0.5s)。若η=1，為測量振幅使用DF方法得到的兩個中繼算法增益是10.12和10.91，分別為在1.65rd/s的頻率下。表4列出了在α3=0.6下，使用一般性Ziegler-Nichols方法得到的PID控制器參數(shù)，該設(shè)計方法使用了特征點，且使用目標(biāo)函數(shù)的ISTE優(yōu)化方法如前例一樣。表SEQ表\*ARABIC4例2的PID控制器參數(shù)設(shè)置圖SEQ圖\*ARABIC8例1使用12.13rads/s作為臨界頻率的階躍響應(yīng)因為設(shè)計方法使用了特征點，臨界點頻率被移動到位于補償特征軌跡在135°相位處，且一個數(shù)量級，使補償特征軌跡有45°的相位裕度，這些在圖9中有顯示。圖SEQ圖\*ARABIC9例2的特征點對于優(yōu)化方法，控制器增益的上限以經(jīng)被設(shè)置為8，作為優(yōu)化準(zhǔn)則，而沒有這個限制將收斂到高增益。一個更高的增益限制值，將產(chǎn)生更快的響應(yīng)，但是會伴隨更高的過沖，這在實際情況中可能是不能被接受的。閉環(huán)系統(tǒng)的階躍增益結(jié)果顯示在圖10中。圖SEQ圖\*ARABIC10例2的階躍響應(yīng)這些表明使用特征點的方法，達(dá)到比使用一般性Ziegler-Nichols設(shè)置更好的響應(yīng)時間，在過沖傳感和減少穩(wěn)定時間方面。優(yōu)化方法提供最好的結(jié)果，但是這需要設(shè)備的完整數(shù)學(xué)模型。下面的整定結(jié)果可被考慮，當(dāng)不同的η用于特征點方法。圖11a顯示了過程的穩(wěn)定范圍。選擇3種不同的η值，即1.181、1/3和3，這些都在圖中標(biāo)注了。圖11中，過程特征軌跡上-180°的點，是η=1.181時的臨界頻率，因為通過中繼的增益此時相等。圖SEQ圖\*ARABIC11特征軌跡方法進而，對于這三種情況，在Ф=45°和m=1下，使用特征點方法確定PID控制器參數(shù)。結(jié)果統(tǒng)一列于表5，且系統(tǒng)的動態(tài)特性通過響應(yīng)階躍響應(yīng)顯示在圖11c-h中，其中c、e和g表明了回路1在單位階躍下的階躍響應(yīng)，d、f和h表明了回路2在單位階躍下的階躍響應(yīng)。這清楚地表明，η的選擇將影響閉環(huán)系統(tǒng)的特性，但并不顯著。當(dāng)給