2023年高考數(shù)學(xué)一診試卷（文科）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023年高考數(shù)學(xué)一診試卷（文科）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合A={x|0<x≤2}，B={x∈Z|x≥0}，則A∩B子集的個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.82.復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，若z1=1?2i，i為虛數(shù)單位，則A.1+2i B.?1?2i C.?1+2i D.2+i3.若sinα+cosα=12，則sin2α=(

)A.34 B.38 C.?34.已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=log2x，則f(?4)=A.2 B.?2 C.1 D.?15.“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來(lái)付出踏踏實(shí)實(shí)努力的時(shí)候，那些你覺(jué)得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”…當(dāng)讀到這些話(huà)時(shí)，你會(huì)切身體會(huì)到讀書(shū)破萬(wàn)卷給予我們的力量.為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了800名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這800名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則從這800名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，周平均閱讀時(shí)間在(10,12]內(nèi)的頻率為(

)A.0.20 B.0.10 C.0.15 D.0.306.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，一條漸近線(xiàn)的傾斜角是另一條漸近線(xiàn)的傾斜角的5倍，則雙曲線(xiàn)的離心率是(

)A.233 B.2 C.627.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCDA.34 B.64 C.417+17 8.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則f(5π

A.12 B.?12 C.19.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中提出了垛積問(wèn)題，涉及逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列的高階等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列的前6項(xiàng)分別為4，7，11，16，22，29，則該數(shù)列的第18項(xiàng)為(

)A.172 B.183 C.191 D.21110.已知點(diǎn)P(?3,2)在拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)上，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn).若PA?PB=0A.1 B.2 C.3 D.311.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4,BC=AC=22,AA1=1，點(diǎn)M，N分別是A.155 B.105 C.5312.設(shè)a=e0.1?1，b=110，A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件x+y?4≤0,2x?y?6≤0,x?1≥0,則z=x+y的最大值是

．14.已知向量a=(13m,2)，b=(2,3m)，若a與b共線(xiàn)且方向相反，則|2a15.在如圖所示的平面四邊形ABCD中，AD=3，AB=BC=CD=3，則3cosA?cosC的值為

．

16.若直線(xiàn)y=3x+m是曲線(xiàn)y=x3(x>0)與曲線(xiàn)y=?x2+nx?6(x>0)的公切線(xiàn)，則m=

，n=三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a6=2，S5=5，等比數(shù)列{bn}中，b2=4，b5=32．

(1)求數(shù)列{a18.(本小題12.0分)

某校組織了全體學(xué)生參加“建黨100周年”知識(shí)競(jìng)賽，從高一、高二年級(jí)各隨機(jī)抽取50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)(滿(mǎn)分100分)，統(tǒng)計(jì)如表：分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]高一年級(jí)310121510高二年級(jí)46101812(1)分別估計(jì)高一，高二年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值x1?與x2?(同一組中的數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)；

(2)學(xué)校規(guī)定競(jìng)賽成績(jī)不低于80非優(yōu)秀優(yōu)秀合計(jì)高一年級(jí)高二年級(jí)合計(jì)100附：χ2=n(ad?bcα0.150.100.050.01x2.0722.7063.8416.63519.(本小題12.0分)

如圖甲所示的正方形AA′A′1A1中，AA1=12，AB=A1B1=3，BC=B1C1=4，對(duì)角線(xiàn)AA′1分別交BB1，CC1于點(diǎn)P，Q，將正方形AA′A′1A1沿20.(本小題12.0分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是32，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且△PF1F2的周長(zhǎng)是4+23．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+a2x(a∈R)．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；

(2)若x1>x22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的參數(shù)方程為x=?1+2cosαy=3+2sinα(其中α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+4ρsinθ+6=0．

(1)將圓C的參數(shù)方程化為普通方程，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)若M是直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，過(guò)M作C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B，求四邊形AMBC面積的最小值．23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=|x?2|?2|x?1|，x∈R．

(1)求不等式f(x)≤4x+1的解集；

(2)若對(duì)于?x∈R，a2?a>f(x)+|x?2|，求a的取值范圍．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：集合A={x|0<x≤2}，B={x∈Z|x≥0}，

則A∩B={1,2}，

∴A∩B的子集的個(gè)數(shù)為22=4．

故選：C．

先求出A∩B，由此能求出A∩B的子集的個(gè)數(shù)．

2.【答案】B

【解析】解：復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，z1=1?2i，

則z2=?1?2i．

故選：B3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閟inα+cosα=12，

所以?xún)蛇吰椒?，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=14，

則sin2α=?34.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=log2x，

所以f(4)=log24=2，

則f(?4)=?2．

故選：B．

由已知先求出f(4)5.【答案】A

【解析】解：由題意可得(0.002+0.003+0.005+0.005+0.15+a+0.005+0.004+0.001)×2=1，

解得a=0.1，

∴周平均閱讀時(shí)間在(10,12]內(nèi)的頻率為2a=0.20．

故選：A．

直接利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可．

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

6.【答案】A

【解析】解：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，一條漸近線(xiàn)的傾斜角是另一條漸近線(xiàn)的傾斜角的5倍，

可設(shè)一條漸近線(xiàn)的傾斜角為α，所以5α+α=π，可得α=π6，

依題意

ba=tanπ6=33，e=ca7.【答案】B

【解析】解：設(shè)外接球的半徑為R，因?yàn)橥饨忧虻捏w積為36π，所以V=43πR3=36π，所以R=3，

設(shè)底面正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，

因?yàn)殚L(zhǎng)方體外接球的球心在體對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)，球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)，

所以a2+a2+a2=2R=6，所以a=48.【答案】D

【解析】解：由圖可知，最小正周期T=2(2π3?π6)=π，

則ω=2ππ=2，

圖象過(guò)點(diǎn)(π6,2)，

則2sin(2×π6+φ)=2，即π3+φ=π2+2kπ，即φ=π6+2kπ,k∈Z，

|φ|<π2，

則9.【答案】C

【解析】解：設(shè)該數(shù)列為{an}，

∵數(shù)列的前6項(xiàng)分別為4，7，11，16，22，29，

∴數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=4，an?an?1=n+1(n≥2)，

∴an=(10.【答案】D

【解析】解：拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)，則拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)為x=?p2，

∵點(diǎn)P(?3,2)在拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)為x=?p2，

∴?p2=?3，解得p=6，

∴拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為(3,0)，

過(guò)焦點(diǎn)(3,0)且斜率為k的直線(xiàn)方程為y=k(x?3)，

聯(lián)立y=k(x?3)y2=12x，整理得k2x2?6(2+k2)x+9k2=0，

∴Δ=36(2+k2)2?36k4=144k2+144>0，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴x1+x2=11.【答案】A

【解析】解：如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接EN，

則根據(jù)題意易得四邊形MNEB為平行四邊形，

∴BM//EN，

∴直線(xiàn)BM與CN所成角為∠CNE，

又根據(jù)題意易知BC⊥平面ACC1A1，且CN?平面ACC1A1，

∴BC⊥CN，又EN=BM=B1M2+B1B12.【答案】B

【解析】解：令f(x)=ex?1?x，x>0，

則f′(x)=ex?1>0恒成立，

故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)=0，

故ex?1>x，

所以e0.1?1>0.1，

所以a>b，

又ex>x+1，

所以x>ln(x+1)，

所以0.1>ln1.1，即b>c，

故c<b<a．

故選：B．

先構(gòu)造函數(shù)f(x)=13.【答案】4

【解析】解：由約束條件，畫(huà)出可行域如圖，

目標(biāo)函數(shù)z=x+y可化為：y=?x+z，得到一簇斜率為?1，截距為z的平行線(xiàn)，

要求z的最大值，須滿(mǎn)足截距最大，

∴當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A或C時(shí)截距最大，

由x=1x+y?4=0可得C(1,3)，

由2x?y?6=0x+y?4=0可得A(103,23)，

∴z的最大值為4．

故答案為：4．14.【答案】21【解析】解：向量a=(13m,2)，b=(2,3m)，a與b共線(xiàn)且方向相反，

則13m?3m=2×2，解得m=?2或2(舍去)，

故a=(?23,2)，b=(2,?6)，

所以2a+15.【答案】1

【解析】解：由題意得AD2+AB2?2AD?ABcosA=BC2+CD2?2BC?CDcosC，

∵AD=3，AB=BC=CD=3，

16.【答案】?2

7

【解析】解：設(shè)直線(xiàn)y=3x+m與曲線(xiàn)y=x3(x>0)相切于點(diǎn)(a,a3)，

由函數(shù)y=x3(x>0)，得y′=3x2，則3a2=3(a>0)，解得a=1，

∴13=3+m，即m=?2，

設(shè)與曲線(xiàn)y=?x2+nx?6(x>0)相切于點(diǎn)(b,3b+m)，

由函數(shù)y=?x2+nx?6(x>0)，得y′=?2x+n，則?2b+n=3(b>0)，

又?b2+nb?6=3b?2，17.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

因?yàn)閍6=2，S5=5，

所以a1+5d=2，5a1+10d=5，

解得a1=d=13，所以an=13+13(n?1)=n3，

設(shè)等比數(shù)列{bn【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合題中已知條件，便可求出a1，d，b1，q的值，進(jìn)而求得數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)18.【答案】解：(1)高一年級(jí)隨機(jī)抽出50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均值估計(jì)為x1?=150×

(55×3+65×10+75×12+85×15+95×10)=78.8，

高二年級(jí)隨機(jī)抽出50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均值估計(jì)為x2?=150×

非優(yōu)秀

優(yōu)秀

合計(jì)

高一年級(jí)

25

25

50

高二年級(jí)

20

3050

合計(jì)

45

55100∵χ2=100×(25×30?25×20)245×55×50×50【解析】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

(1)根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均值公式，即可求解．

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解．

19.【答案】(1)證明：過(guò)M作MN//CQ，交AQ于N，連接PN，BM，

由于PB//CQ，則MN//PB，所以M，N，P，B共面，

且平面MNPB∩平面APQ=PN，

因?yàn)锳B=3，BC=4，所以AC=AA′?AB?BC=12?3?4=5，

又在正方形AA′A1′A1中，∠CAQ=π4，

所以PB=AB=3，∴QC=7，∴tan∠QAC=75，

由AM=157，得MN=157×75=3=PB，

所以四邊形MNPB為平行四邊形，則BM//PN，

又PN?平面APQ，BM?平面APQ，所以BM//平面APQ；

(2)解：由(1)知【解析】(1)過(guò)M作MN//CQ，連接PN，BM，證明四邊形MNPB為平行四邊形，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三棱錐的等體積法，將三棱錐M?APQ的體積轉(zhuǎn)化為求Q?ABC的體積，結(jié)合二者之間的數(shù)量關(guān)系，可得答案．

本題考查了線(xiàn)面平行的證明和三棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．

20.【答案】解：(1)由題意可得e=ca=322a+2c=4+23，可得a=2，c=3，b2=a2?c2=4?3=1，

所以橢圓的方程為：x24+y2=1；

(2)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx+tx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8ktx+4t2?4=0，

Δ=64k2【解析】(1)由離心率的值及三角形的周長(zhǎng)，可得a，c的值，進(jìn)而求出b的值，求出橢圓的方程；

(2)聯(lián)立直線(xiàn)MN的方程與橢圓的方程，可得兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)，可知P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得參數(shù)的關(guān)系，求出|MN|的表達(dá)式及O到直線(xiàn)MN的距離d，由平行四邊形的面積為三角形面積的2倍，代入三角形的面積公式，求出四邊形的面積．

本題考查求橢圓的方程及直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用，平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用及平行四邊形面積的求法，屬于中檔題．

21.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=lnx+a2x(a∈R)，x∈(0,+∞)，

當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=1x?12x2=2x?12x2，

∴f′(1)=12，又f(1)=12，

∴切線(xiàn)方程為y?12=12(x?1)，化為x?2y=0．

(2)當(dāng)x1>x2>1時(shí)，恒有f(x1)?f(x2)x1?x2<a2，即f(x1【解析】(1)函數(shù)f(x)=lnx+a2x(a∈R)，x∈(0,+∞)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′(x)，可得f′(1)，利用點(diǎn)斜式即可得出切線(xiàn)方程．

(2)當(dāng)x1>x2>1時(shí)，恒有f(x1)?f(x222.【答案】解：(1)圓C的參數(shù)方程為x=?1+2cosαy=3+2sinα(