人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《圓的有關(guān)性質(zhì)（第3課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

圓的有關(guān)性質(zhì)（第3課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．了解圓心角的概念及圓的旋轉(zhuǎn)不變性，體會(huì)圓的對(duì)稱(chēng)美．2．掌握弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理，并能靈活運(yùn)用定理及其推論解決有關(guān)的證明與計(jì)算問(wèn)題．3．通過(guò)操作、觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)的方法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；通過(guò)分析、推理、歸納等活動(dòng)，發(fā)展空間直觀(guān)想象、邏輯推理及概括問(wèn)題的能力．教學(xué)重點(diǎn)探索同圓或等圓中，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，并利用其解決問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)在同圓或等圓中，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理的證明；使用定理時(shí)，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換．教學(xué)準(zhǔn)備準(zhǔn)備直尺、圓規(guī)和剪刀．教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧1．能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸．3．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后回答，教師給出答案，并展示中心對(duì)稱(chēng)圖形的例子．【設(shè)計(jì)意圖】帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)圓的相關(guān)概念、圓的軸對(duì)稱(chēng)性和中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，鞏固基礎(chǔ)，為本節(jié)課研究圓的旋轉(zhuǎn)不變性和弧、弦、圓心角之間的關(guān)系做好準(zhǔn)備．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問(wèn)題】剪一個(gè)圓形紙片，把它繞圓心旋轉(zhuǎn)180°，所得的圖形與原圖形重合嗎？由此你能得到什么結(jié)論？【師生活動(dòng)】學(xué)生先自己操作，教師進(jìn)行演示，然后小組討論，得出結(jié)論．【答案】把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°，所得的圖形與原圖形重合．圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心就是它的對(duì)稱(chēng)中心．【思考】把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度后，還能和原來(lái)的圖形重合嗎？【師生活動(dòng)】教師進(jìn)行演示，學(xué)生根據(jù)動(dòng)畫(huà)獨(dú)立思考，得出結(jié)論：把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得的圖形都與原圖形重合．【新知】圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性：圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，它繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與它本身重合，因此圓也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是對(duì)稱(chēng)中心．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生探索圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，知道圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是對(duì)稱(chēng)中心，體會(huì)圓的對(duì)稱(chēng)美．【新知】頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．如圖，∠AOB為⊙O的圓心角．圓心角∠AOB所對(duì)的弦為AB，所對(duì)的弧為．【練習(xí)】判斷下列各圖中的角是不是圓心角．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后回答．【設(shè)計(jì)意圖】先給出圓心角的概念，再通過(guò)練習(xí)進(jìn)行鞏固．【問(wèn)題】如圖，在⊙O中，當(dāng)圓心角∠AOB＝∠A′OB′時(shí)，它們所對(duì)的和、弦AB和A′B′相等嗎？為什么？【師生活動(dòng)】教師展示旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，學(xué)生根據(jù)動(dòng)畫(huà)得出結(jié)論：＝，AB＝A′B′．教師提示：要證明弧相等，目前僅有兩種方法：（1）根據(jù)定義，證明弧重合；（2）利用垂徑定理．學(xué)生分析已知條件，選擇合適的方法進(jìn)行證明．【答案】證明：將∠AOB連同、弦AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)，使射線(xiàn)OA與OA′重合．∵∠AOB＝∠A′OB′，∴射線(xiàn)OB與OB′重合．又OA＝OA′，OB＝OB′，∴點(diǎn)A與A′重合，點(diǎn)B與B′重合．因此與重合，AB與A′B′重合，即＝，AB＝A′B′．【思考】在等圓中，如果∠AOB＝∠A′O′B′，你發(fā)現(xiàn)的相等關(guān)系是否依然成立？【師生活動(dòng)】教師進(jìn)行演示，學(xué)生根據(jù)動(dòng)畫(huà)獨(dú)立思考，得出答案：＝，AB＝A′B′依然成立．【思考】結(jié)合下面的動(dòng)圖，你能將你的發(fā)現(xiàn)歸納成一般結(jié)論嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生小組討論，教師進(jìn)行總結(jié)．【新知】在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．符號(hào)語(yǔ)言：∵∠AOB＝∠A′OB′，∴，AB＝A′B′．【設(shè)計(jì)意圖】借助動(dòng)圖和動(dòng)畫(huà)，讓學(xué)生在觀(guān)察討論的過(guò)程中探索出弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理，加深學(xué)生對(duì)定理的理解，為學(xué)習(xí)定理的推論做好準(zhǔn)備．【問(wèn)題】定理：在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么圓心角所對(duì)的弧相等；圓心角所對(duì)的弦相等．把題設(shè)中“圓心角相等”與兩個(gè)結(jié)論中的任意一個(gè)交換，得到兩個(gè)新命題，你能驗(yàn)證這兩個(gè)命題的真假嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生先自己思考，然后小組討論交流，得出答案．【答案】命題1：在同圓或等圓中，如果弧相等，那么弧所對(duì)的圓心角相等，弧所對(duì)的弦相等．如圖，在⊙O中，＝，它們所對(duì)的圓心角分別為∠AOB和∠A′OB′，所對(duì)的弦分別為AB和A′B′．經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)驗(yàn)證可得：∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′．命題2：在同圓或等圓中，如果弦相等，那么弦所對(duì)的圓心角相等，弦所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等．如圖，在⊙O中，AB＝A′B′，它們所對(duì)的圓心角分別為∠AOB和∠A′OB′，所對(duì)的弧分別為和．證明：∵AB＝A′B′，OA＝OA′，OB＝OB′，∴△AOB≌△A′OB′（SSS）．∴∠AOB＝∠A′OB′．∴＝（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等）．【新知】推論1：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等．符號(hào)語(yǔ)言：∵＝，∴∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′．推論2：在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等．符號(hào)語(yǔ)言：∵AB＝A′B′，∴，，∠AOB＝∠A′OB′．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)分析、推理、歸納等活動(dòng)，得出定理的推論，引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理及概括問(wèn)題的能力．【思考】同圓或等圓中兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量有什么關(guān)系？【師生活動(dòng)】學(xué)生小組討論得出答案：其余各組量都相等．【歸納】在同圓或等圓中，弧、弦和圓心角“知一推二”，即知道其中的一組相等，其余兩組均相等．【練習(xí)】如圖，在兩圓中，當(dāng)圓心角∠AOB＝∠A′OB′時(shí)，它們所對(duì)的和、弦AB和A′B′相等嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立觀(guān)察、思考得出答案：和、弦AB和A′B′不相等．【歸納】在應(yīng)用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理及其推論解決問(wèn)題時(shí)，一定要注意“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，否則結(jié)論不一定成立．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)對(duì)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理及其推論進(jìn)行鞏固．二、典例精講【例1】如圖，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°．求證：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成解答，教師給予指導(dǎo)．【答案】證明：∵＝，∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝BC＝CA．∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【歸納】在同圓或等圓中，當(dāng)證明等弦、等角的問(wèn)題時(shí)，除利用三角形全等及其他相關(guān)的性質(zhì)外，一定要善于利用弧、弦、圓心角三者的相關(guān)定理來(lái)完成．【例2】如圖，AB與DE是⊙O的兩條直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AC∥DE．求證：＝．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，教師出示答案．【答案】證明：如圖，連接OC．∵AC∥DE，∴∠AOD＝∠OAC，∠COE＝∠OCA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠AOD＝∠COE．∴＝．【歸納】在同圓或等圓中，證明等弧的問(wèn)題目前有三種途徑，一是由垂徑定理得到等弧，二是證明弧所對(duì)的圓心角相等，三是證明弧所對(duì)的弦相等