人教版九年級數(shù)學上冊《圓的有關性質（第2課時）》示范教學設計

圓的有關性質（第2課時）學目標1．探索并理解圓的對稱性，體會圓的對稱美．2．掌握垂徑定理及其推論，并能靈活運用它們解決有關的證明與計算問題．3．能利用垂徑定理及其推論解決相關的實際問題，體會數(shù)學與生活實際的密切聯(lián)系．教學重點探索圓的對稱性；垂徑定理及其推論的應用．教學難點垂徑定理的探索與證明．教學準備準備直尺、圓規(guī)和剪刀．教學過程知識回顧連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑．如圖，AB，CD，AC是弦，AB是直徑．圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；小于半圓的弧叫做劣?。鐖D，是優(yōu)弧，是劣弧，是半圓．【設計意圖】帶領學生復習與圓有關的一些概念，鞏固基礎，為本節(jié)課研究圓的性質做準備．新知探究一、探究學習【問題】剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得出什么結論？你能證明你的結論嗎？【師生活動】學生先自己動手操作，教師進行演示，然后小組討論，得出結論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．教師提示：要想證明這個結論，只需要證明圓上任意一點關于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點也在圓上即可．學生根據(jù)提示，獨立完成證明．【答案】證明：如圖，設CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上除點C，D以外的任意一點．過點A作AA′⊥CD，交⊙O于點A′，垂足為M，連接OA，OA′．在△OAA′中，∵OA＝OA′，∴△OAA′是等腰三角形．又AA′⊥CD，∴AM＝MA′．即CD是AA′的垂直平分線．這就是說，對于圓上任意一點A，在圓上都有關于直線CD的對稱點A′，因此⊙O關于直線CD對稱．【新知】圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．【設計意圖】讓學生在動手操作中發(fā)現(xiàn)圓的對稱性，知道圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線，掌握證明一個圖形是軸對稱圖形的常用方法，體會圓的對稱美．【問題】如果我們在圓形紙片上任意畫一條弦AB，如圖，觀察這個圖形，它還是軸對稱圖形嗎？若是，請找出它的對稱軸．【師生活動】學生先獨立操作，然后小組討論得出答案．【答案】如圖，作出垂直于弦AB的直徑CD，沿著這條直徑所在的直線對折，圖形在這條直徑兩側的部分能完全重合，即圖形關于這條直徑所在直線對稱．【思考】設直徑CD與弦AB垂直于點E（如圖），在沿直徑CD所在直線對折的過程中，觀察圖中有哪些相等的線段和相等的?。俊編熒顒印繉W生獨立操作、思考，得出答案：AE＝BE，＝，＝．【思考】結合下面的動圖，你能將你的發(fā)現(xiàn)歸納成一般結論嗎？【師生活動】學生小組討論，教師進行總結．【新知】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。栒Z言：∵CD是直徑，AB為⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E．∴AE＝BE，＝，＝．這個定理也可以理解為一條直線若滿足：①過圓心，②垂直于弦，則可以推出③平分弦，④平分弦所對的優(yōu)弧，⑤平分弦所對的劣?。谶@個定理中，①過圓心，②垂直于弦，這兩個條件缺一不可，同時滿足這兩個條件時才能推出結論③平分弦，④平分弦所對的優(yōu)弧，⑤平分弦所對的劣弧．【設計意圖】借助動圖和動畫，形象地展示圓的對稱性，讓學生在動手操作的過程中探索出垂徑定理．加深學生對定理的理解，為學習垂徑定理的推論做準備．【問題】反過來，平分弦的直徑一定垂直于這條弦嗎？請在紙上畫一個以點O為圓心的圓，在⊙O上任意畫出一條弦CD（不是直徑）．找到弦CD的中點E，過點E作⊙O的直徑MN，MN與CD有什么位置關系？如果弦CD是直徑呢？【師生活動】學生先自己畫圖、測量，然后小組討論交流，得出答案．【答案】MN⊥CD．如果弦CD是直徑，兩條直徑任何時候都是互相平分的，但是不一定相互垂直．猜想：如果有一條直徑平分一條不是直徑的弦，那么它就能垂直于這條弦，也能平分這條弦所對的兩條?。咀穯枴磕隳軐δ愕牟孪脒M行證明嗎？【師生活動】學生獨立思考，得出答案，教師進行總結．【答案】已知：如圖，⊙O的直徑CD交弦AB（不是直徑）于點P，AP＝BP．求證：CD⊥AB，＝，＝．證明：連接OA，OB，則AO＝BO．∴△AOB是等腰三角形．∵AP＝BP，∴CD⊥AB．∴＝，＝．（垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條?。拘轮看箯蕉ɡ淼耐普摚浩椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙遥⑶移椒窒宜鶎Φ膬蓷l?。栒Z言：∵在⊙O中，CD是直徑，弦AB不是直徑，且AE＝BE，∴CD⊥AB，＝，＝．這個推論也可以理解為一條直線若滿足：①過圓心，③平分弦，則可以推出②垂直于弦，④平分弦所對的優(yōu)弧，⑤平分弦所對的劣?。谶@個推論中，“③平分弦”的“弦”一定是非直徑的弦，否則命題就不一定成立．【設計意圖】讓學生在動手操作的過程中觀察、思考，得出垂徑定理的推論，引導學生區(qū)分垂徑定理及其推論的題設和結論．二、典例精講【例1】如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．【師生活動】學生先獨立思考，然后小組討論，嘗試進行解答，教師給予幫助．【答案】解：如圖，過點O作OE⊥AB，垂足為E，連接OA．∵OE⊥AB，AB＝8cm，∴AE＝AB＝4cm．在Rt△OEA中，由勾股定理，得OA2＝42＋32，∴OA＝5，即⊙O的半徑為5cm．【設計意圖】鞏固學生對垂徑定理的掌握．【例2】如圖，M是⊙O中的弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E，并且CD＝6cm，EM＝9cm，求⊙O的半徑．【師生活動】學生獨立完成，教師出示答案．【答案】解：如圖，連接OC．設OC＝rcm，則OM＝(9－r)cm．∵EM經過圓心O，M是CD的中點，CD＝6cm，∴EM⊥CD，CM＝CD＝3cm．在Rt△OCM中，由勾股定理，得r2＝(9－r)2＋32，解得r＝5，即⊙O的半徑為5cm．【歸納】垂徑定理基本圖形的四變量、兩關系．1．四變量：如圖，弦長a，圓心到弦的距離d，半徑r，弧的中點到弦的距離（弓形高）h，已知這四個變量中的任意兩個可求其他兩個．2．兩關系：（1）＋＝；（2）h＋d＝r．【設計意圖】鞏固學生對垂徑定理的推論的掌握．【例3】趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數(shù)點后一位）．【分析】解決此問題的關鍵是根據(jù)趙州橋的實物圖畫出幾何圖形．【師生活動】學生根據(jù)提示進行小組討論并完成作答，教師出示答案，并總結．【答案】解：如圖，用表示主橋拱，設所在圓的圓心為O，半徑為R．經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與相交于點C，連接OA．根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點，C是的中點，CD就是拱高.由題設可知AB＝37，CD＝7.23，∴AD＝AB＝×37＝18.5，OD＝OC－CD＝R－7.23．在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.52＋(R－7.23)2．解得R≈27.3．因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m．【歸納】垂徑定理及其推論解決相關的實際問題：【設計意圖】鞏固學生對垂徑定理及其推論的應用．三、拓展提升【思考】觀察垂徑定理及其推論的題設與結論，你能發(fā)現(xiàn)什么？【師生活動】教師出示垂徑定理及其推論，學生小組討論，師生一起總結．【歸納】對于一個圓和一條直線，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么一定具備其他三個：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（非直徑）；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣?。?/p>