人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《二次函數(shù)與一元二次方程》示范教學(xué)設(shè)計

二次函數(shù)與一元二次方程教學(xué)目標(biāo)1．通過對“小球飛行”問題的探究，使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及歸納概括的能力．2．知道二次函數(shù)圖象與x軸有三種位置關(guān)系，對應(yīng)一元二次方程根的三種情況；能夠應(yīng)用二次函數(shù)的圖象解決有關(guān)一元二次方程的根的問題．3．會利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解，會用取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍，并按要求取根的近似值，體會逼近的數(shù)學(xué)思想．4．通過對二次函數(shù)與一元二次方程之間關(guān)系的探究，以及利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解的過程，使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．教學(xué)重點1．探究并理解二次函數(shù)圖象與x軸的公共點與一元二次方程的根之間的關(guān)系．2．利用函數(shù)圖象求方程的近似解．教學(xué)難點1．理解二次函數(shù)圖象與x軸的公共點與一元二次方程的根之間的關(guān)系．2．利用函數(shù)圖象求方程的近似解．教學(xué)過程知識回顧1．關(guān)于x的一元一次方程kx＋b＝0的解為x＝1，則當(dāng)x＝1時，一次函數(shù)y＝kx＋b的函數(shù)值為0．2．一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖，則關(guān)于x的一元一次方程kx＋b＝0的解為x＝2．3．一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系．從數(shù)的角度：在函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)中，當(dāng)y＝0時，x的值與一元一次方程ax＋b＝0的解相等．從形的角度：函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是一元一次方程ax＋b＝0的解．【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)與一元一次方程的知識，為引出新課“二次函數(shù)與一元二次方程”作鋪墊．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h＝20t－5t2．考慮以下問題：（1）小球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要飛行多少時間？（2）小球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要飛行多少時間？（3）小球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？（4）小球從飛出到落地要用多少時間？【師生活動】教師分析：由于小球的飛行高度h與飛行時間t有函數(shù)關(guān)系h＝20t－5t2，所以可以將問題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程．如果方程有合乎實際的解，則說明小球的飛行高度可以達(dá)到問題中h的值；否則，說明小球的飛行高度不能達(dá)到問題中h的值．學(xué)生根據(jù)提示，分小組討論，并派代表發(fā)言，教師板書．解：（1）解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3．當(dāng)小球飛行1s和3s時，它的飛行高度為15m．教師追問：你能結(jié)合上圖指出為什么在兩個時刻小球的高度為15m嗎？學(xué)生觀察圖象，思考并回答，教師總結(jié)．（2）解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2．當(dāng)小球飛行2s時，它的飛行高度為20m．教師追問：你能結(jié)合上圖指出為什么只在一個時刻小球的高度為20m嗎？學(xué)生觀察圖象，思考并回答，教師總結(jié)．（3）解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0．因為(－4)2－4×4.1＜0，所以方程無實數(shù)根．這就是說，小球的飛行高度達(dá)不到20.5m．（4）小球飛出時和落地時的高度都為0m，解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4．當(dāng)小球飛行0s和4s時，它的高度為0m，這表明小球從飛出到落地要用4s．從圖來看，0s時小球從地面飛出，4s時小球落回地面．教師提問：通過對“小球飛行”問題的探究，你能發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)與一元二次方程有什么關(guān)系？教師提示：可以類比之前學(xué)過的一次函數(shù)與一元一次方程間的關(guān)系進(jìn)行分析．學(xué)生根據(jù)提示，分小組討論，并派代表發(fā)言，教師作最后總結(jié)．【歸納】從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．例如，已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x＝3(即x2－4x＋3＝0)．反過來，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的值為0，求自變量x的值．【思考】下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x取公共點的橫坐標(biāo)時，函數(shù)值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋1．【師生活動】教師提出問題，學(xué)生獨立思考，并嘗試作答．【答案】在同一直角坐標(biāo)系中，畫出這些函數(shù)的圖象（如圖）．拋物線y＝x2＋x－2與x軸有兩個公共點，它們的橫坐標(biāo)是－2，1．當(dāng)x取公共點的橫坐標(biāo)時，函數(shù)值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．拋物線y＝x2－6x＋9與x軸有一個公共點，這點的橫坐標(biāo)是3．當(dāng)x＝3時，函數(shù)值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有兩個相等的實數(shù)根3．拋物線y＝x2－x＋1與x軸沒有公共點．由此可知，方程x2－x＋1＝0沒有實數(shù)根．反過來，由一元二次方程的根的情況，也可以確定相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系．【問題】觀看動圖，思考二次函數(shù)圖象與x軸的公共點與一元二次方程根之間的關(guān)系．【師生活動】師生共同觀看動圖，學(xué)生回答，教師給予提示和補充．【歸納】一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可得如下結(jié)論．（1）如果拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有公共點，公共點的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x＝x0時，函數(shù)值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根．（2）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點．這對應(yīng)著一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根．【設(shè)計意圖】通過問題串的形式，激發(fā)學(xué)生的求知欲，通過對“小球飛行”問題的探究，使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．進(jìn)一步借助問題思考，引出二次函數(shù)圖象與x軸有三種位置關(guān)系，對應(yīng)一元二次方程根的三種情況，通過探究講解讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．二、典例精講【例題】利用函數(shù)圖象求方程x2－2x－2＝0的實數(shù)根（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．【師生活動】教師提出問題，學(xué)生思考并嘗試獨立作答．解：方法1：畫出函數(shù)y＝x2－2x－2的圖象（如圖），它與x軸的公共點的橫坐標(biāo)大約是－0.7，2.7．所以方程x2－2x－2＝0的實數(shù)根為x1≈－0.7，x2≈2.7．教師提示：我們還可以通過不斷縮小根所在的范圍估計一元二次方程的根．教師一邊講解，一邊引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖象思考．方法2：當(dāng)自變量x＝2時，y＜0，當(dāng)自變量x＝3時，y＞0，即方程x2－2x－2＝0在2，3之間有根．取2，3的平均數(shù)2.5，當(dāng)自變量x＝2.5時，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在2.5，3之間有根．取2.5，3的平均數(shù)2.75，當(dāng)自變量x＝2.75時，y＞0，即方程x2－2x－2＝0在2.5，2.75之間有根．取2.5，2.75的平均數(shù)2.625，當(dāng)自變量x＝2.625時，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在2.625，2.75之間有根．重復(fù)上述步驟，我們逐步得到：這個根在2.6875，2.75之間……可以看到：根所在的范圍越來越小，根所在范圍的兩端的值越來越接近根的值，因而可以作為根的近似值．當(dāng)要求根的近似值與根的準(zhǔn)確值的差的絕對值小于0.1時，由于|2.6875－2.75|＝0.0625＜0.1，我們可以將2.6875作為根的近似值．教師追問：你能用這種方法得出方程x2－2x－2＝0的另一個根的近似值嗎（要求根的近似值與根的準(zhǔn)確值的差的絕對值小于0.1）？學(xué)生根據(jù)提示，獨立思考并作答．當(dāng)自變量x＝－1時，y＞0，當(dāng)自變量x＝0時，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在－1，0之間有根．?。?，0的平均數(shù)－0.5，當(dāng)自變量x＝－0.5時，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在－0.5，－1之間有根．通過取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍．由于|－0.75－(－0.6875)|＝0.0625＜0.1，我們可以將－0.6875作為另一個根的近似值．【歸納】利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟：（1）畫出函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象；（2）確定拋物線與x軸的交點的個數(shù)，看交點的橫坐標(biāo)在哪兩個數(shù)之間；（3）列表，根據(jù)題目實際情況在兩個數(shù)之間合理等分，并用計算器算出每個等分點所對應(yīng)的函數(shù)值y，近似根在對應(yīng)y值正負(fù)交換的地方；（4）根據(jù)精度要求寫出方程根的近似值．