直線與橢圓-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第6課時(shí)直線與橢圓

［考試要求］1.理解直線與橢圓的位置關(guān)系，掌握其判斷方法2會(huì)借助方程的

思想解決直線與橢圓相交的綜合問(wèn)題.

［鏈接教材__________落實(shí)主干?激活技能

?梳理?必備知識(shí)

1.直線與橢圓的位置判斷

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去了（或X）,得到關(guān)于x（或了）的一元二次方程，則

直線與橢圓相交直線與橢圓相切0/三0;直線與橢圓相離Q/&0.

2.弦長(zhǎng)公式

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為Z（xi,ji）,5（x2,/）,則=VT不的xi—如=

J（1+k2）（（/+孫尸一4%1%2）或0同=J1+）［VI-J2|=

J（1+專）（仇+力＞—4yly2），左為直線斜率且左WO.

［常用結(jié)論］

22

1.點(diǎn)尸（枇，次）和橢圓a+左=1（。＞6＞0）的位置關(guān)系

22

⑴點(diǎn)尸（X0,詞在橢圓內(nèi)Q粵土Ml.

U-D—

22

（2）點(diǎn)尸（xo,外）在橢圓上=:±德三1.

（3）點(diǎn)P（xo,詞在橢圓外=粵2土2船L

2.橢圓上一點(diǎn)處的切線方程

點(diǎn)尸（xo,次）在橢圓管+5=1（。＞6＞0）上，過(guò)點(diǎn)尸的切線方程為鬻土矍三1.

3.關(guān)于一卷的重要結(jié)論

（1）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓5十*1（。＞6＞0）于N,B兩點(diǎn)、,尸是橢圓上異于Z,B

的任一點(diǎn)，則左口?kpB=-F

（2）若M（xo,詡是橢圓5+《=1（。＞6＞0）的弦48（45不平行y軸）的中點(diǎn)，則有

Q-Q&XO

?激活?基本技能

一、易錯(cuò)易混辨析（正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）橢圓通徑是所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦.（）

（2）過(guò)點(diǎn)幺（0,1）的直線一定與橢圓一+9=1相交.（）

（3）直線和橢圓的位置關(guān)系能用中心到直線的距離來(lái)判斷.（）

（4）過(guò)橢圓外一點(diǎn)一定能作兩條直線與已知橢圓相切.（）

［答案］（1）V（2）V（3）X（4）V

二、教材經(jīng)典衍生

1.（人教A版選擇性必修第一冊(cè)Pm例7改編）直線y=x+l與橢圓9+9=1的

一

題

多

解

位置關(guān)系是（

A.相交B.相切

C.相離D.無(wú)法判斷

A［法一（通解）：聯(lián)立直線與橢圓的方程

（y=x+l,

\x2y2消去V得9%2+lOx—15=0,

匕+1=1，

J=100-4X9X（-15）>0,所以直線與橢圓相交.

法二（優(yōu)解）：直線過(guò)點(diǎn)（0,1）,而0+=VI,

即點(diǎn)（0,1）在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓相交.］

2.（人教A版選擇性必修第一冊(cè)Pn4練習(xí)T2改編）已知斜率為1的直線/過(guò)橢圓

9+廿=1的右焦點(diǎn)，交橢圓于43兩點(diǎn)，則弦48的長(zhǎng)為（）

46

A-?B-?

C.1D.y

C［由題意得，屋=4,b2=l,所以。2=3,

所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（遮，0）,

則直線I的方程為y=x-<3.

設(shè)Z（X1,V1）,B（X2,V2）,

（y-x-V3,「

聯(lián)立卜2+21消去y得5好-8后+8=0,

J=（-8V3）2-4X5X8=32>0,

?I8V38

Mn'JXl+X2=—,X1X2=-,

所以|4目=V1+fc2?J（汽］+第2）2?4%］,2

=V2x1f）2-4xH

即弦Z8的長(zhǎng)為日］

3.（多選）（人教A版選擇性必修第一冊(cè)Pii4例7改編）若直線>=云+2與橢圓￡+

3=1相切，則斜率左的值是（）

AV6V6

A-TB--y

C.—qD.包

33

（y=kx+2,

AB［由/v2得（3左2+2）/+12丘+6=0,

—+—=1,

l32

由題意知/=144/一24（3/+2）=0,解得左=±金］

4.（人教A版選擇性必修第一冊(cè)PII6T13改編）若點(diǎn)P是橢圓E：3+產(chǎn)=1上的動(dòng)

點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線/：X—了一3芯=0的距離的最小值是,此時(shí)，點(diǎn)尸

的坐標(biāo)為.

2_］

團(tuán)09［設(shè)直線/1：%—y+加=0,聯(lián)立卜''整理得5/

%—y+m=0,

+8mx+4m2—4=0.

則/=64加2—4X5（4加2—4）=0,解得加=±遮.

當(dāng)他=一%時(shí)，直線I與直線/1之間的距離4=匕與國(guó)="u；

V1+1

當(dāng)掰=遙時(shí)，直線/到直線/i之間的距離d=的普包=2?U.

所以點(diǎn)P到直線/的最小距離是丁宜.

此時(shí)5x2—8A/5X+16=0,解得x=竺，

將》=等代入x-y—V5=0,得y=一

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,—9)1

［典例精研?核心考點(diǎn)］重難解惑?直擊高考

考點(diǎn)一直線與橢圓的位置關(guān)系

22

［典例1］已知直線/：尸2x+機(jī)，橢圓C：7+5=1.試問(wèn)當(dāng)機(jī)取何值時(shí)，直

線/與橢圓C：

(1)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)沒(méi)有公共點(diǎn).

y—2x+m,①

［解］將直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組/導(dǎo)

H，②

將①代入②，整理得9爐+8祖x+2相2—4=0.③

方程③根的判別式/=(8機(jī))2—4X9X(2機(jī)2—4)=(―8m2)+144.

(1)當(dāng)/>0,即一3班〈機(jī)V3班時(shí)，方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組

有兩組不同的實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線/與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

(2)當(dāng)/=0,即加=±3魚時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組

相同的實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線/與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線/與橢圓

。有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

(3)當(dāng)/V0,即機(jī)V—32或M>3聲時(shí)，方程③沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有

實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線/與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn).

名師點(diǎn)評(píng)(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓方程

組成的方程組解的個(gè)數(shù).

(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有

交點(diǎn).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(多選)已知直線/：y=x+能與橢圓C：9+9=1，則下列結(jié)論正確的是()

A.若C與/至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則機(jī)W2a

B.若C與/有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，則|加|<2魚

C.若機(jī)=3迎，則C上到/的距離為5的點(diǎn)只有1個(gè)

D.若機(jī)=—a,則C上到/的距離為1的點(diǎn)只有3個(gè)

y=x+m,

BCD［聯(lián)立x2y2消去y得4/+6加x+3加2—6=0,則判別式』=12（8—

1—6I—2=1,'

m2）.

令/=12（8一機(jī)2）20,

則有|m|W2/，-2V2^m＜2V2,A錯(cuò)誤；

令/=12（8—機(jī)2）＞0,則有|加＜2迎，B正確;

令直線/與橢圓C相切，

則/=12（8—機(jī)2）=0,

即掰=±2魚，直線y=x+3魚與y=x—2魚的距離4=電烏/^=5,C正確；

如圖，直線y=x一迎與y=x—2迎和y=x的距離均為1,因此，C上到/的距離

為1的點(diǎn)只有3個(gè)，D正確.故選BCD.

2.已知橢圓［+9=1,直線/：4x-5v+40=0,則橢圓上的點(diǎn)到直線/的距離

的最小值是.

今魯［如圖，設(shè)直線機(jī)平行于直線/且與橢圓相切，則機(jī)的方程為4x—5y+左

=0.

4x—5y+k=0,

由方程組,x2y2消去修得25，+8Ax+k2—225=0,由/=0,得643

—H—=1,

1259'

—4X25（左2—225）=0,解得左i=25,k2=~25.由圖可知，當(dāng)左=25時(shí)，直線加

與橢圓的交點(diǎn)到直線/的距離最近，所以dmin=嘴篝=二=］

V42+5241

【教師備選資源】

22

（2022?天津高考）已知橢圓/+==l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為4上頂

點(diǎn)為瓦且滿足黑=當(dāng)

\AD\Z

（1）求橢圓的離心率e；

（2）已知直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)與了軸相交于點(diǎn)N（N異于〃）.記。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，^\OM\=\ON\,且△OW的面積為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［解］（1瑞=差=*=?04屋=3（爐+屋戶屋=3爐，

所以橢圓的離心率e=￡=

a\aL3

（2）由（1）可知橢圓的方程為9+3/=/，由題易知直線/的斜率存在且不為0,設(shè)

直線I的方程為>=丘+機(jī)（左W0）,

V=丘+77T.

得（1+3左2）N+6左加x+（3加2—。2）=0,

（x2+3y2=a2,

由/=36k2m2—4（1+3左2）（3加2—。2）=o=>3m2=tz2（l+3A：2）,①

_3km_.?_m

XM=yM=kXM+m=^3^,

由10M=QW，可得根2=穿中，②

由可得;H?黑=遮，③

ZJ.十

聯(lián)立①②③可得左2=；,加2=4,a2=6,

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為—F—=1.

62

,考點(diǎn)二弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題

考向1弦長(zhǎng)問(wèn)題

［典例2］已知橢圓C：彳+。=1的左、右焦點(diǎn)分別為八，F(xiàn)i,若斜率為一1的

直線/與以線段為用為直徑的圓相交于45兩點(diǎn)，與橢圓相交于C,。兩點(diǎn)，

且黑=學(xué)，求出直線/的方程.

［解］設(shè)直線/的方程為了=—x+機(jī)，由題意知人，/2的坐標(biāo)分別為（一1,0）,（1,

0),

所以以線段尸16為直徑的圓的方程為》2+產(chǎn)=1,由題意知圓心(0,0)到直線/

的距離d=W〈l,得H〈VI

\AB\=2V1—d2=2■y=^2xV2—m2.

,、Y+J1,,

聯(lián)立]43'消去外得7/-8加x+4加2—12=0,

{y=—x+m,

由題意得/=(—8加)2—4X7X(4加2—12)=336—48加2=48(7——)>o,解得加2V7,

所以m2V2.

設(shè)。(xi,yi),D(X2,J2),

1,8m4m2—12

Wn'JXl+X2=—,X\X2=---,

2

|CD|=V2|X1-X2|=V2XJ(^)-4X^=V2XJ^^=^XV7^

=苧叫=?x&x，2一*,解得機(jī)2=；<2,得機(jī)=士日.

即存在符合條件的直線/,其方程為J=-X±y.

考向2中點(diǎn)弦問(wèn)題

[典例3](1)已知直線》一■+1=0與橢圓C：，+管=1(5>0)交于2,8兩

點(diǎn)，且線段48的中點(diǎn)為若直線0M。為坐標(biāo)原點(diǎn))的傾斜角為150。，則橢

圓C的離心率為()

A.-B.-C.—D.—

3333

(2)若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),直線y=3x+7與橢圓相交所得弦

的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則這個(gè)橢圓的方程為

(1)D(2)9+2=1[(1)設(shè)N(XI,vi),8(X2,J2),線段Z8的中點(diǎn)M(xo,jo).

??.jl，AC

兩式相減可得2當(dāng)口25+”"〃2)=0

+把XI+X2=2XO,y\-\-y2=2yo,yi_y2

￡xx

ab乙l-2

=左="，—=tan150°=—^,代入可得勺=：

3XQ33

4=當(dāng)故選D.

⑵法一(直接法)：?橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),...設(shè)橢圓方程為奇十

2QL+其=1

a=13>0),由竹+4爐，消去X,

(y-3x+7,

得(10爐+4)產(chǎn)-14(〃+4?—9〃+13〃+196=0,

設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為(2(%_1),yi),8(x2,yi),由題

??.yi+H=：j：：：)=2,解得浜=8.

經(jīng)檢驗(yàn)，直線與橢圓有2個(gè)交點(diǎn)，滿足題意.

.,.所求橢圓方程為=+1=1.

812

2

法二(點(diǎn)差法)：?橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),??.設(shè)橢圓的方程為v奇十

/=90).

設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為N(xi,vi),Bg,玖),

則3忸T+底=1,①

=1,②

①一②得5-猊?+如I01一%2)(%1+%2)_

十層

即月一。2yi+y2公+4

%1+%2入2

又「弦48的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,故橫坐標(biāo)為一2,

左=及二上=3代入上式得3xf\=一審，解得反=8經(jīng)檢驗(yàn)，直線與橢圓

亞一％22x(—2)b乙

有2個(gè)交點(diǎn)，滿足題意.

故所求的橢圓方程為"7"+2=1,]

812

名師點(diǎn)評(píng)解答弦長(zhǎng)問(wèn)題及中點(diǎn)弦問(wèn)題的注意點(diǎn)

(1)求弦長(zhǎng)的前提是直線和橢圓相交，可利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)；對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)

題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解.在用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注

意前提條件/>0;在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與橢圓是否相交.

(2)點(diǎn)差法適用范圍：涉及弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題或弦所在直線斜率問(wèn)題時(shí)，可考慮點(diǎn)

差法.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.已知橢圓C：?十儼=1的左、右焦點(diǎn)分別為B,F2.

(2)若過(guò)尸2作直線與橢圓C相交于48兩點(diǎn)，且兩=2月Z求|4B|.

［解］(1)設(shè)過(guò)尸的直線與橢圓C交于M(xi,ji),Ng,>2)兩點(diǎn)，則

%=1，

y?-

兩式相減得分=—工

犯一%12yi+y2

由中點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(；，可知XI+X2=2X^=1,JI+V2=2X|=1,

所以口即直線斜率仁一：，

%2—％122

所以直線方程為y—1=—1(^x—；),即2x+4y—3=0.

⑵由題意知，過(guò)凡的直線斜率存在且不為0.

設(shè)過(guò)廠2的直線為1=叩+1(加W0),4(%3,J3),5(x4,J4),

聯(lián)立方程｛、:彳，*；_0臺(tái)(-+2)儼+2叩一1=0,

又BF2=^F?A,貝4j/4=-2j3,

代入方程解得m2=|,所以朋=J(1+癥)J@3+、4)2-4y3y4=竽

【教師備選資源】

已知橢圓C：X=l(a>b>0)的焦距為4/，短軸長(zhǎng)為2,直線/過(guò)點(diǎn)P(—2,1)

且與橢圓C交于48兩點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)若直線I的斜率為1,求弦48的長(zhǎng)；

(3)若過(guò)點(diǎn)。(1,I)的直線/i與橢圓C交于E,G兩點(diǎn)，且0是弦EG的中點(diǎn)，

求直線/1的方程.

［解］(1)依題意，橢圓C的半焦距c=2奩，而6=1,則層=〃+，=9,

所以橢圓C的方程為日+儼=1.

(2)設(shè)Z(xi,vi),8(x2,J2),

v=X+3

7'消去y并整理，得5/+27x

!%2+9/=9,.

2

+36=0,解得xi=一卷，X2=—3,因此，|^5|=V1+I,|xi—X2|=-^,

所以弦N5的長(zhǎng)是言.

(3)顯然，點(diǎn)0(1,鄉(xiāng)在橢圓。內(nèi)，設(shè)E(X3,g)，G(X4,y4),因?yàn)椤?G在橢圓C

2929

X3+y3=

上

貝

，2929

X4+y4-

而Q是弦EG的中點(diǎn)，即X3+X4=2且”+必=1,則有2(X3—%4)+9。3—》4)=0,

于是得直線/i的斜率為界二里=Y，

%3-%49

直線/1的方程為y—；=—|(x—1),即4x+18y—13=0.

口考點(diǎn)三直線與橢圓的綜合問(wèn)題

［典例4］已知尸點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—2),點(diǎn)Z,8分別為橢圓E：卷+5=1(。*0)

的左、右頂點(diǎn)，直線AP交E于點(diǎn)。，△48尸是等腰直角三角形，且所=：礪.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)尸的動(dòng)直線/與E相交于〃，N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)。位于以"N為直

徑的圓外時(shí)，求直線/斜率的取值范圍.

［解］(1)由△ZAP是等腰直角三角形，

得a=2,8(2,0).

設(shè)。(xo,jo),貝U由麗=|麗，

得54

，

代入橢圓方程得〃=1,

所以橢圓E的方程為且+y2=l.

(2)依題意得，直線/的斜率存在，方程設(shè)為歹=日一2.

(ykx-2,

聯(lián)立｛x2

b+y7=1,

消去y并整理，得(1+4左2.2—16日+12=0.(*)

因?yàn)橹本€/與￡有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程(*)有不相等的兩實(shí)根，

故/=(一16左＞一48(1+4沼)＞0,解得左2＞；

4

+%2=-I6：］,

設(shè)M(xi，H)，Ng,yi),由根與系數(shù)的關(guān)系得｛1廣軌

口2=小,

因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)O位于以為直徑的圓外，

所以。M?ON＞0,即xiX2+yiy2＞0,

又由xix2+jij2=xiX2+(Axi—2)(te—2)

=(1+k2)%1%2—2k(％1+工2)+4

=d+描?六—2人?部+4＞0，

解得k2＜4,

綜上可爛＜幺＜4,貝宜(左＜2或一2(左＜一3.

422

則滿足條件的斜率上的取值范圍為(—2,-y)U(y,2),

名師點(diǎn)評(píng)1.求解直線與橢圓的綜合問(wèn)題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，

列出有關(guān)的方程，利用代數(shù)的方法求解.為減少計(jì)算量，在代數(shù)運(yùn)算中，經(jīng)常運(yùn)

用設(shè)而不求、整體代入的方法，如弦長(zhǎng)公式中|xi—X2尸+%2)2-4%1%2=*

其中xi,X2是。/+及+。=0兩根.

2.涉及直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等

特殊情形.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

4.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為乃(T,0),F2(L0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E3氏y).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)E的直線/與橢圓C交于a5兩點(diǎn)(點(diǎn)幺位于X軸上方)，若麗=2用，

求直線/的斜率上的值.

22

［解］(1)根據(jù)題意知橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以設(shè)橢圓C的方程為氏+￡=1(4

(2a-\EF1\+\EF2\-4,fa-2,

>b>0),由［a2=/+c2,解得｛c=l,

(c=l,(b=g,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—F—=1.

43

(2)由題意得直線/的斜率存在且不為0,直線/的方程為y=Mx+l)(左>0),

(y=k0+1),

聯(lián)立AJ,

I43

整理得隹+412_%_9=0,

,144

則/=詈+144>0,

K

設(shè)N(X1,J1),8(X2,J2),

則以+片號(hào)-9k2

又4尸1=,所以芹=-2y2,

ri6k在，、？12k-6k/v>—9k，

又A+A=帝后'所以P=互市'A=帝記'代入九藝=互市'

則3+4F=8,解得人=尋，

又左>0,所以>=1.

【教師備選資源】

已知橢圓C：5+，=1伍泌>0)的離心率為左、右焦點(diǎn)分別為a,F2,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓C上，且滿足|西1=4,\PF［\\PF^\-2PF［-PK=0.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知過(guò)點(diǎn)(2,0)且不與x軸重合的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，在x軸上

是否存在定點(diǎn)0,使得NM0O=NN°O.若存在，求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，

說(shuō)明理由.

［解］(1)由cosNEPB=用j羲?忖知/FiPFz=60。,

在△外叩2中，叱2|=2a—4,1=|,由余弦定理得4c2=16+(2。-4)2—4(2°—4),

22

解得。=4,c=2,Z?2=12,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為％+9=1.

⑵假設(shè)存在點(diǎn)0(掰，0)滿足條件，設(shè)直線/方程為％=川+2,

(x=ty+2,

設(shè)M(?，VD，Ng,yi),由122

——F—=1,

11612，

消去X有(3於+4)產(chǎn)+1207-36=0,

匕心、)1—12t—36

所以"+"=訴，NU2=E，

kMQ+kNQ=~^--1--^―

x1—mX2—m

―2切1丫2+(2-m)(yi+y2)

(tyi+2—TH)(ty2+2—m)

—72t12(2-TH)］

―3t2+43m+4

(ty1+2-m)(￡y2+2-m)9

因?yàn)閆MQO=ZNQO,所以kMQ+kNQ=0,

即一72/—12(2—機(jī)?=0,

解得m=8,

所以存在0(8,0),使得NM0O=NN0O.

微點(diǎn)突破6圓錐曲線“非對(duì)稱”根與系

數(shù)的關(guān)系問(wèn)題的多角度思考

對(duì)于某些圓錐曲線大題，在聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程時(shí)，常常會(huì)涉及一元

二次方程，它的兩個(gè)根XI,X2滿足根與系數(shù)的關(guān)系.一般來(lái)說(shuō)，在應(yīng)用題設(shè)條件

解決問(wèn)題時(shí)，常常能湊出X1+X2和X1X2,但有些時(shí)候無(wú)法直接湊出這兩個(gè)式子，

進(jìn)而無(wú)法直接代入根與系數(shù)的關(guān)系，這就是所謂的“非對(duì)稱”的根與系數(shù)的關(guān)系

問(wèn)題.

下面通過(guò)對(duì)一道圓錐曲線“非對(duì)稱”結(jié)構(gòu)問(wèn)題的多角度切入求解，給出其適

當(dāng)?shù)耐卣古c變式，以探究圓錐曲線非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問(wèn)題的一般性解決方法.

［典例］已知橢圓E：/+/=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E,尸2,尸(―1,|)

為￡上一點(diǎn)，且產(chǎn)人與x軸垂直.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)用的直線/與E交于48兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M(0，1)，且△MZB的面積

為△"3F2面積的2倍，求直線/的方程.

熊十方二1，

[賞析]（1）因?yàn)槭ㄒ?,|）為E上一點(diǎn)，且尸B與x軸垂直，所以"=1,

12=房+。2,

32=4,22

解得1按=3,所以橢圓E的方程為：+==1.

I43

U2=1,

（2）易得直線/與x軸不重合，設(shè)直線/的方程為x="+1,點(diǎn)4（xi,y\）,B（X2,

/）?

X—tvI]A

?J得（3於+4）產(chǎn)+6小-9=0,故p+.V2=—J1J2=—

（3/+4y=12,3t+4

9

3t2+4,

由/2的面積是面積的2倍，可得正=2印，所以H=-2/，即

刃+272=0.

名師點(diǎn)評(píng)代數(shù)式p=—2”為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，需要通過(guò)適當(dāng)?shù)奶幚硎怪優(yōu)閷?duì)稱結(jié)

構(gòu)，下面就以此為例，給出此類6=制2（或Xl=忒2）問(wèn)題的幾種處理方法，并對(duì)其

進(jìn)行拓展.

拓展1倒數(shù)求和法

此拓展是對(duì)形如H=四2（或X1=1X2）的關(guān)系式，利用包+這=>1+"2）_?/電將問(wèn)題轉(zhuǎn)

%2%]xlx2

化為對(duì)稱結(jié)構(gòu).

解法1接典例解答，由/=—28，得”=一2,故蟲+吆=01包上2=—5

y2y2yiyi722

結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得5r=4,即.故直線/的方程為尸±務(wù)一1）.

拓展2配湊法

由川+四2=0配湊，得丸什1+?）=（丸—1加，yi+y2=（l—兩式相乘，可得丸

+/>=—（2—l）2y\y2,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱結(jié)構(gòu).

解法2接典例解答，由.vi=—2"，得外+2/=0,于是『（乃十力）=%，兩

lyi+力--力，

式相乘可得2什1+問(wèn)2=—92,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得5於=4,即祥=今

故直線/的方程為了=卓（》一1）.

拓展3方程組法

該拓展的實(shí)質(zhì)是借助方程思想，由非對(duì)稱式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，列方程組解答.

解法3接典例解答，聯(lián)立"+2竺=0與以+”=一島，解得刃=一品，產(chǎn)

=島?再結(jié)合皿2=—高，得總產(chǎn)品，解得正.故直線/的方程為產(chǎn)

4(x-1).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

已知橢圓C：/2+左2=1(440)的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為近，離心率為1去過(guò)

橢圓的左焦點(diǎn)尸作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于N兩點(diǎn)，直線機(jī)的

方程為x=-2a,過(guò)點(diǎn)〃作"E垂直于直線機(jī)交直線機(jī)于點(diǎn)E.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)①求證：線段EN必過(guò)定點(diǎn)P,并求定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OEN面積的最大值.

Va2+b2=V7,

a2=b2+c2,所以a=2,b=W.

{a2'

22

故橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為—F—=1.

43

(2)①由題意知,F(-l,0),

設(shè)直線AGV方程：x=my—l,M(x\,yi),Ng,玖)，E(—4,yi),

x=my—1,

由方程組/2

匕+匕v=1,

v43

得(3加2+4)產(chǎn)—6my—9=0,

所以刈+竺=標(biāo),刃"=忌,

所以一2my\yi=3(yi+yi).

又旌所以直線￡N的方程為y—yi=±3(x+4),

冷+4第2+4

令y=0,則x=_4_21^+4)=—4——1=-4-1^2=—4+。=

yz-yi72-yiy2-yi22

所以直線EN過(guò)定點(diǎn)尸(一日，0),

②由①中知/=144(切2+1)>0,所以機(jī)?R,

又歷一力=J（yi+力）2—4yly2=彳￡：,

2

所以SoEN='7：\OP\\y\~yi\=|12-\/^2+1_15A/^+1_15-\/^2+l

A，437n2+4-3m2+4-3（m2+l）+l,

令t=7m^+1,看＞1,則/?)=豕T，

11Oy-2_-1

令g(/)=3/+7,g'(/)=3—m=T，當(dāng)時(shí)，g")NO,

故g(/)=3/+g在［1,+8)上單調(diào)遞增，

則/⑺=盤在［1，+8)上單調(diào)遞減，

即?在［1,+8)上單調(diào)遞減，所以f=l時(shí)，(5O￡W)max=V.

九+13tH—4A

點(diǎn)撥：換元功能：降次、去根號(hào)，把分子或分母變簡(jiǎn)單.

課時(shí)分層作業(yè)(五十五)直線與橢圓(一)

一、單項(xiàng)選擇題

22

1.(2024?廣東深圳中學(xué)期中)橢圓2+^=1與直線y=Mx—1)的位置關(guān)系是

oZ

()

A.相離B.相交

C.相切D.無(wú)法確定

B［直線過(guò)定點(diǎn)M(l,0)且該定點(diǎn)在橢圓=+==1內(nèi)，故直線與橢圓相交.故

選B.］

2.(2024?內(nèi)蒙古赤峰模擬)在橢圓?+?=1上求一點(diǎn)使點(diǎn)/到直線x+2y

—10=0的距離最大，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為()

A.(-3,0)B.(一/-1)

C.(—2,一手)D.(-2,0)

B［如圖所示：

根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)/在第三象限且橢圓在點(diǎn)〃處的切線與直線x+2y—10=0

平行時(shí)，

點(diǎn)〃到直線x+2y—10=0的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為x+2y+m=Q(m

x+2y+m=0,

>0),聯(lián)立

4x2+9y2=36,

消去x整理可得25爐+16叩+4加2—36=0,

A=162m2—100(4m2—36)=0,因?yàn)閙>0,解得加=5,

所以橢圓￡+9=1在點(diǎn)/處的切線方程為x+2.v+5=0,

因此，點(diǎn)/到直線x+2y—10=0的距離的最大值為搭|^=3班,

(%+2y+5=0,

聯(lián)立3

4'

可得點(diǎn)〃的坐標(biāo)為,—I),故選B.]

22

3.(2024?貴州模擬)已知橢圓E：?+%=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸(4,0),過(guò)點(diǎn)

尸且斜率為1的直線交橢圓于Z,5兩點(diǎn).若48的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),則E

的方程為()

D［設(shè)N(X1,J1),8(X2,J2),則XI+X2=6,yi+j2=-2,

由已知有,技+技=1,/+1=1，

則次一修一(yi-y2)(yi+y2)__i_

'Xj—%2(%1-%2)(%1+%2)3次’

所以。2=3爐，又C=4,a2=b2+c2=3b2,解得尼=8,*=24,

則E的方程為---1■匕=1.

248

故選D.]

=1

4.橢圓C：4Y+3T的左、右頂點(diǎn)分別為小，也，點(diǎn)尸在C上且直線E41的斜

率的取值范圍是[-2,-1],那么直線刃2斜率的取值范圍是()

C[”D.

A[由題意，橢圓C:9+[=l的左、右頂點(diǎn)分別為Zi(—2,0),也(2,0),設(shè)

尸的，yo),則正=[(4一焉)，

又由如「32=髭?鼠=碧=，可得吹=后因?yàn)椤?,-1],

人人u，人0丁—IV產(chǎn)A2

3

即一20公忘一1,可得衿/Cp^W，所以直線弘2斜率的取值范圍是H，.故

選A.]

5.(2023?新高考H卷)已知橢圓C：?十儼=1的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,直

線＞=》+機(jī)與。交于N,8兩點(diǎn)，若△為48面積是面積的2倍，則機(jī)=

()

y=x+m,

C[將直線方程y=x+加與橢圓方程聯(lián)立%2消去y可得47+6加工+

匕+y?=1，

3m2—3=0,

因?yàn)橹本€與橢圓相交于Z,B點(diǎn)、,則/=36m2-4X4(3根2—3)＞0,解得一2＜相＜

2,

設(shè)Fi到Z8的距離為d\,F2到AB距離為di,易知Fi(-V2,0),F2m,0),

則力=/型，辦=整，

|—V2+m|

§"通8_丘_卜&+利_2

SAF2AB~陽(yáng)利一|V2+m|一，

解得掰=一仔或一3魚(舍去).故選C.]

22

6.(2023?山東淄博一模)直線x—2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓器+S=l(4b>0)的左焦

點(diǎn)、F,交橢圓于2,8兩點(diǎn)，交y軸于/點(diǎn)，若前=3病，則該橢圓的離心率

為()

,V17+V5「V17-V5

A.-------B.--------

84

?AY?舊+打

'2'9

[對(duì)直線x—2y+2=0,令y=0,解得x=—2,令x=0,解得y=l,

故內(nèi)一2,0),M(0，1)，則前=(2,1),設(shè)/(xo,yo),則a=(一配，1一次)，

而前=3前，

則[2=3(-3,

11=3(1-y0)-

「0=一|，

解得彳2

[%=石，

則/(-|,0，

又點(diǎn)幺在橢圓上，左焦點(diǎn)網(wǎng)一2,0),右焦點(diǎn)尸(2,0),

由2kM+盟尸J(—(+2)2+++Jif)2+(|)2=一,

則。=國(guó)弁,橢圓的離心率e=￡=宏篇=巨字隹.故選C.]

3aVb+vi/2

-3-

7.(2024?河南商丘模擬)國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)、

外兩圈的鋼骨架是由兩個(gè)離心率相同的橢圓組成的對(duì)稱結(jié)構(gòu).某校體育館的鋼結(jié)

構(gòu)與“鳥巢”類似，其平面圖如圖2所示，已知外層橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為200m,且

內(nèi)、外橢圓的離心率均為字，由外層橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)Z向內(nèi)層橢圓引切線

AC,若ZC的斜率為一%則內(nèi)層橢圓的短軸長(zhǎng)為()

B［內(nèi)、外橢圓的離心率均為產(chǎn)，設(shè)內(nèi)層橢圓的短半軸長(zhǎng)為b,e=(=

G2絹2

=—,所以4=25,則內(nèi)層橢圓方程r為^+記=1,

由外層橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)2向內(nèi)層橢圓引切線ZC,NC的方程為.v=一|(x+

100),

代入內(nèi)層橢圓方程可得：x2+100x+5000—2〃=0,

可得/=10000—4義(5000—2=2)=0,解得〃=i250.

所以6=25應(yīng).即內(nèi)層橢圓的短軸長(zhǎng)26=50&m.故選B.］

8.已知過(guò)橢圓C：/+三=1的上焦點(diǎn)尸且斜率為左的直線/交橢圓。于/,B

兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CM,分別與直線>=2相交于M,N兩點(diǎn).若/MON

為銳角，則直線/的斜率上的取值范圍是()

A.(—8,-1)U(1,+8)

B(皆，孝)

C(-8,一苧)U停，+8)

D.(-8,—1)U(一今今U(l,+8)

2

D［由題意可知，(？=2,Z)=l,所以02=屋一加=1,

所以橢圓C：X2+y=l的上焦點(diǎn)為F(0,1),

則直線/的方程為>=丘+1,設(shè)/(?,yi),5(x2,J2),

(y—kx+1,

聯(lián)立,v2消去N，得(2+/)/+2日一1=0,

(%2十三=1,

所以X1+X2=EQ,

N十/C

由題設(shè)知，所在的直線方程為了=%.

因?yàn)橹本€。4與直線y=2相交于點(diǎn)M,

2）；

同理可得N（答，2）.

所以。而=（令,2，2.

因?yàn)镹MON為銳角，

所以麗?ON>0,

所以南?而=2+4=；4竽+4

力丫2（依1+1）（依2+1）

___________例冷_________+4

N%i%2+k（%l+%2）+l

4X二

=_________2+k^_______\A

.2-1,,-2k,,丁r，

k、和+豚和+1

2I44k2—2

一目+4-

即丹>°，解得左2Vm或左2>1,

所以一苧〈左V/,或左>1,或后V—1.

故直線/的斜率上的取值范圍是（一8,-l）U（-y,y）u（l,+8）.故選D.]

二、多項(xiàng)選擇題

22

9.（2024?湖南雅禮中學(xué)模擬）已知橢圓￡：3+￡=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為網(wǎng)3,

0）,過(guò)點(diǎn)尸的直線交橢圓￡于48兩點(diǎn).若48的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,則（）

A.直線48的方程為y=1（x—3）

B.層=2/72

C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.+[=1

D.橢圓的離心率為當(dāng)

ABD[因?yàn)橹本€43過(guò)點(diǎn)廠（3,0）和點(diǎn)（1,-1）,所以直線45的方程為y=g（x

—3）,代入橢圓方程a+保=1,消去乃得（亍+川）2—，層工+^屋一。2左=0,

22

所以48中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一~~-=1,即/=2比

2但+例

又序=抉+，，所以b=c=3,a=3五,離心率為

所以橢圓E的方程為五+^~=1.故選ABD.］

10.（2023?蘇錫常鎮(zhèn)二模）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知直線/：kx-y-k=0,

橢圓C：管+*1（46>0）,則下列說(shuō)法正確的有（）

A./恒過(guò)點(diǎn)（1,0）

B.若/恒過(guò)C的焦點(diǎn)，則次+爐=1

C.若對(duì)任意實(shí)數(shù)左，/與C總有兩個(gè)互異公共點(diǎn)，則。

D.若則一定存在實(shí)數(shù)左，使得/與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

ACD［方程依一y一左=0可化為了=的;-1）,

所以直線/恒過(guò)點(diǎn)（1,0）,A正確；

設(shè)橢圓的半焦距為c（c>0）,則焦點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為（c,0）或（一c,0）,

若直線恒過(guò)點(diǎn)（一0,0）,則0=網(wǎng)-c—l）,

故c=-1,矛盾，

若直線恒過(guò)點(diǎn)（c,0）,貝I0=左（c—l）,故c=l,所以屋一加=1,B錯(cuò)誤；

_2__=1

次力2'消y可得，（層左2+反）/—2a2k2x+a2k2~a2b2=0,

1y=kx—k,

由對(duì)任意實(shí)數(shù)左，/與。總有兩個(gè)互異公共點(diǎn)，

可得方程（6?左2+爐）%2-2層上2%+〃2公一/左二。有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

所以/=（—2a2左2）2-4（次左2_|_抉）（〃2左2-。2按）>0,

所以k\a2~l）+Z?2>0,

所以〃21,C正確；

因?yàn)?=（一2層左2）2-4（〃2左2_|_62）（〃2左2-層尻）=4a262［左2（42-］）+爐］,

所以a<\時(shí)，則嚴(yán)=7^,即k=±/上7時(shí),

1—\1—az

可得/=0,此時(shí)方程組有且只有一組解，

故/與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，D正確.

%

故選ACD.］

三、填空題

11.過(guò)橢圓C：1+4=1的左焦點(diǎn)E作傾斜角為60。的直線/與橢圓C交于4

43

J5兩占八“人貝［」］二網(wǎng)—丁|出—川—=----------------.

4

3［