小升初小學(xué)數(shù)學(xué)《分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)》知識點(四)

小升初小學(xué)數(shù)學(xué)(分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù))知識點匯總

185.為什么在分?jǐn)?shù)的教與學(xué)中，單位“1”是一個重要概念？

單位“1”也稱做整體“1”，在分?jǐn)?shù)的教與學(xué)中，正確理解單位“1”

是正確理解什么是分?jǐn)?shù)的前提。教材中對分?jǐn)?shù)的定義是這樣闡述的：把單

位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。由此可

見，不理解單位“1”，就不理解如何平均分份；更不理解幾分之一或幾分

之幾，因此，單位“1”是分?jǐn)?shù)中最基本也是最重要的一個概念。

單位“1”一般情況下，表示一個事物的整體。如：世界的人口數(shù)，

一個國家的面積，一個縣播種小麥的畝數(shù)，一段路程，一個果園果樹的棵

數(shù)，一個工廠產(chǎn)品的總產(chǎn)量，一堆煤的重量等，都可以作為單位“1”，

也就是把整體看作“1”。

但是，整體與部分是相對的，它們之間在一定條件下也是可以相互轉(zhuǎn)化

的。當(dāng)部分轉(zhuǎn)化為整體時，單位“1”也可以表示原來的這個部分。如世

界人口是50億，是個整體，中國人口是11億，只是它的一部分，當(dāng)說到

北京市人口占全國人口的一百分之一時，中國人口數(shù)又成為整體，當(dāng)說到

某區(qū)人口是全市人口的十分之一時，全市人口又成了整體等。在這些不同

情況下，部分轉(zhuǎn)化為整體時，都可以用單位“1”來表示。

例如：

(1)我國土地面積約960萬平方千米；

⑵某縣的土地面積約8萬平方千米；

(3)紅星小學(xué)全校有學(xué)生900人；

④五一班有學(xué)生42人；

⑤第二學(xué)習(xí)小組有學(xué)生8人；

(6)這條公路全長4800米；

⑺一根電線全長8.5米；

(8)一堆煤重3.2噸。

單位“1”包含的數(shù)量可以很大，也可以很小。大到有限數(shù)的任何事

物，都可以看作單位“1”；小到可分事物的某一部分，也可以看作單位

“1”。但是，無限多的事物不能看作單位“1”，因為無限多的事物是不

可分的。

在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，單位“1”又是解題的關(guān)鍵。如：

修筑一條480米的公路，修了全長的指，沒修的是多少米？按一般思路

解這道題，要求沒修的是多少米，必須知道全長多少米和修了多少米。題

目中全長480米已知，未知條件是修了多少米。要求修了多少米，根據(jù)題目

中

的條件是修了全長的;，由于:是全長的，全長480米就必須看作單位“1

如果換一種思路進行分析：要求沒修的是多少米，必須先知道沒修的

米數(shù)是全長的幾分之幾，然后按求一個數(shù)的幾分之幾是多少的方法解答，

關(guān)鍵的問

題仍然是把全長看作單位“1”，修了J,沒修的就是：有了這

444

個：，后面的問題就可以迎刃而解了。

4

綜上所述，無論是在分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)知識中，還是在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的過程

里，單位“1”都是處于前提和關(guān)鍵的位置。因此，單位“1”在分?jǐn)?shù)的教

與學(xué)中，是一個非常重要的概念。

186.什么是分?jǐn)?shù)的基本計數(shù)單位？

任何計量都要有單位，長度單位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重

量單位有：毫克、克、千克、噸等。具體到“數(shù)”，同樣也是有單位的。自然數(shù)的

計數(shù)單位是1,任何一個自然數(shù)都是若干個1組成的。

例如：8是由八個1組成的；

73是由七十三個1組成的。

分?jǐn)?shù)也有分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位，或稱分?jǐn)?shù)單位。根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義，把單位“1”

平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)（幾分之一就是原來這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。

一個分?jǐn)?shù)，它的分?jǐn)?shù)單位是有個數(shù)的。

如圖:

從圖中可以看到：?是由3個:組成的，，是由5個:組成的。這里的

4488

揚加著與計量單位和自然數(shù)計數(shù)單位同樣的作用因此我們就把:叫

做:3的分?jǐn)?shù)單位；把1:就叫做53的分?jǐn)?shù)單位。

488

分?jǐn)?shù)單位是由單位“1”平均分成份數(shù)（分母）所決定的，所表示的份數(shù)（分

子）是表示有幾個的分?jǐn)?shù)單位。

711

如：（，分母15決定了分?jǐn)?shù)單位是七，分子7則表示有7個上。

由此可以說明，不同分母的分?jǐn)?shù)，其分?jǐn)?shù)單位也是不同的。如果分母用

n表示，分子用m表示，上的分?jǐn)?shù)單位就是工。

nn

所以，自然數(shù)的計數(shù)單位與分?jǐn)?shù)計數(shù)單位是不一樣的，自然數(shù)的計數(shù)單位永遠(yuǎn)

是1,這是不變的；而分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位則不是固定不變的，它是隨著分?jǐn)?shù)的分母

不同而變化的。分母不同，分?jǐn)?shù)單位也不同，分母是幾，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，

分母越大，分?jǐn)?shù)單位就越??；反之，分母越小，分?jǐn)?shù)單位則越大。

明確什么是分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位的大小，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)大小比較、分?jǐn)?shù)加、減

法時，都是不可缺少的基礎(chǔ)知識。

186.什么是分?jǐn)?shù)的基本計數(shù)單位？

任何計量都要有單位，長度單位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重

量單位有：毫克、克、千克、噸等。具體到“數(shù)”，同樣也是有單位的。自然數(shù)的

計數(shù)單位是1,任何一個自然數(shù)都是若干個1組成的。

例如：8是由八個1組成的；

73是由七十三個1組成的。

分?jǐn)?shù)也有分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位，或稱分?jǐn)?shù)單位。根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義，把單位“1”

平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)（幾分之一就是原來這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。

一個分?jǐn)?shù)，它的分?jǐn)?shù)單位是有個數(shù)的。

如圖：

從圖中可以看到，:3是由3個1:組成的，5?是由5個1（組成的。這里的

4488

（和加著與計量單位和自然數(shù)計數(shù)單位同樣的作用因此我們就把:叫

做?的分?jǐn)?shù)單位；把!就叫做:的分?jǐn)?shù)單位。

488

分?jǐn)?shù)單位是由單位“1”平均分成份數(shù)（分母）所決定的，所表示的份數(shù)（分

子）是表示有幾個的分?jǐn)?shù)單位。

711

如：分母15決定了分?jǐn)?shù)單位是七，分子7則表示有7個

由此可以說明，不同分母的分?jǐn)?shù)，其分?jǐn)?shù)單位也是不同的。如果分母用

n表示，分子用m表示，巴的分?jǐn)?shù)單位就是

nn

所以，自然數(shù)的計數(shù)單位與分?jǐn)?shù)計數(shù)單位是不一樣的，自然數(shù)的計數(shù)單位永遠(yuǎn)

是1,這是不變的；而分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位則不是固定不變的，它是隨著分?jǐn)?shù)的分母

不同而變化的。分母不同，分?jǐn)?shù)單位也不同，分母是幾，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，

分母越大，分?jǐn)?shù)單位就越??；反之，分母越小，分?jǐn)?shù)單位則越大。

明確什么是分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位的大小，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)大小比較、分?jǐn)?shù)加、減

法時，都是不可缺少的基礎(chǔ)知識。

187.分?jǐn)?shù)和整數(shù)除法的關(guān)系是什么？

在教材中，學(xué)生是在學(xué)習(xí)整數(shù)的基礎(chǔ)上，先學(xué)習(xí)小數(shù)而后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的。如果把

小數(shù)劃入十進分?jǐn)?shù)的范圍，那么分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的第二個主要階段，也是數(shù)的

一次重要擴展。從整數(shù)到分?jǐn)?shù)中間有著密切的聯(lián)系，特點是分?jǐn)?shù)基本概念的建盤，

用到整數(shù)除法的知識。

例如：在整數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)兩個自然數(shù)相除不能整除時，由于商無法表示，而不

能計算，進入分?jǐn)?shù)領(lǐng)域，這種情況將是不存在的。因為任何除法算式，都可以用分

數(shù)來表示它們的商。即使在整數(shù)范圍內(nèi)，被除數(shù)小于除數(shù)這種無法計算的情況，

用分?jǐn)?shù)表示也不存在任何問題。

分?jǐn)?shù)與整數(shù)除法的關(guān)系，下圖可以揭示：

II

蕤分子=被一除數(shù)+除數(shù)

在分?jǐn)?shù)中，分子相當(dāng)于除法算式中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于

除號，分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于商。

還應(yīng)該看到，分?jǐn)?shù)并不等于除法，兩者還有著區(qū)別，這就是：分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，

而除法是一種數(shù)與數(shù)之間的運算。

在上述關(guān)系的基礎(chǔ)上，分?jǐn)?shù)和整數(shù)除法的聯(lián)系，還表現(xiàn)在分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)上。分

數(shù)的基本性質(zhì)是：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)

的大小不變。這個基本性質(zhì)來源于整數(shù)除法中商不變的性質(zhì)，即：被除數(shù)與除數(shù)同時

乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），商不變。

除此之外，根據(jù)分?jǐn)?shù)與整數(shù)除法的關(guān)系，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)，分子（被

除數(shù)）除以分母（除數(shù)），所得的商即為帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，余數(shù)為分子，原來

的分母不變。

153

如［7=15+4=3：.

44

將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，或把繁分?jǐn)?shù)化簡，也都是依據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。至于在

分?jǐn)?shù)中分母不能是零的道理，只要溝通分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，即：除法中除數(shù)不能

是零，分?jǐn)?shù)中分母自然不能是零。

總之，在分?jǐn)?shù)教與學(xué)中，只要在分?jǐn)?shù)與除法間建立起自然的聯(lián)系和遷移，溫故

而知新，許多屬于算理的問題，都是比較容易得到解決的。

1

188.“5就是一半”這句話對嗎？

把單位“1，，平均分成2份，表示其中的1份，叫做上這!是單位“1”

的：，如果對單位“1”這個整體來說，■是整體的一半則是對的。但分?jǐn)?shù)

中的單位“1”不僅表示自然數(shù)的一個基本計數(shù)單位，也表示一切可

分的事物。如：一堆蘋果的個數(shù)、一個班的人數(shù)、一堆煤的噸數(shù)、一套叢書

的冊數(shù)、一本書的頁數(shù)等，單位“1”既可表示整體，也可以表示整體的

一部分。

例如?把8個蘋果平均分成兩份，每一份是8個蘋果的：，實際上每一

份是4個蘋果，如果說：“這;是8個蘋果的一半”，則這句話是對的；如

因此，如果沒有單位“1”這個明確標(biāo)準(zhǔn)，而籠統(tǒng)地說，就是一半”，

,一半也就不知道是誰的一半了。按后者說法，其結(jié)果很容易引起誤解，

因

為沒有明確誰是單位“1”這個前提，可能造成一個蘋果的;，這樣一半就

不是4個蘋果，而是半個蘋果。這與原來題意就相距太遠(yuǎn)了。

又如；六年級二班有學(xué)生48人，其中女生占：，這1是48人的女

生是24人?？梢哉f成48人的;是24人；也可以說成48人的一半是24人。

這句話是不嚴(yán)密的，也是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

189.為什么有的分?jǐn)?shù)能夠化成有限小數(shù)，有的能夠化成純循環(huán)小數(shù)或混

循環(huán)小數(shù)？

把一個分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，有三種情況：即：有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)和混

循環(huán)小數(shù)。至于什么樣的分?jǐn)?shù)化成什么樣的小數(shù)，確有規(guī)律可循，這個規(guī)

律可通過下面各樣分?jǐn)?shù)化小數(shù)的實例來觀察：

113

-=05-=0.25-=075

244

3

1=022=04^=0.6

555

1=0.1253

-=0.8-=0.375

588

7

-=0.625-=0.875—=0.1

8810

-1=00625

—=005—=0.04

162025

1-00251-001

—002

4050100

從上面分?jǐn)?shù)化小數(shù)的三種情況看，什么樣的分?jǐn)?shù)化什么樣小數(shù)，關(guān)鍵

不在分子，而在分母。因此，在分?jǐn)?shù)化小數(shù)時，要觀察分母的特點，其規(guī)律

是：

⑴分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5,這樣的分?jǐn)?shù)就可以化成有限小數(shù)。

89竺

如行、80^°

⑵分母里只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這樣的分?jǐn)?shù)就可以化成純

環(huán)小數(shù)。如［自、』等。

循133321

(3)分母里既含有質(zhì)因數(shù)2和5,又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這

樣

的分?jǐn)?shù)就可以化成混循環(huán)小數(shù)。如二、或等。

145594

有了上面這個規(guī)律，不需要通過計算，就能判斷出一個最簡分?jǐn)?shù)能化

成什么樣的小數(shù)。

例如：

(1)W，它的分母80=2X2X2X2X5,分母里只含有2和5,

所以《能化成有限小數(shù).（1=0.0875）

（2）白，它的分母21=3X7,分母里只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，

所以《能化成純循環(huán)小數(shù)。（2=0.190476）

（3）之，它的分母36=2X2X3X3,分母里既含有質(zhì)因數(shù)2,又

36

含有2和5以外的其他質(zhì)因數(shù)，所以之將化成混循環(huán)小數(shù)。（&=0.13K。

3636

掌握了分?jǐn)?shù)化有限小數(shù)的規(guī)律，可以把常見分?jǐn)?shù)化小數(shù)的數(shù)據(jù)匯集成

表，并且能熟練地背誦下來，這對于提高互化的準(zhǔn)確度和速度，都是非常

有益的。

常見的分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)互化表

21.

0.5-=0.16

26

22..5..

04-=0.285714—=0.3571428

5714

5..

—=0.3—=0.45—=0.31§

101122

3..

—=0.352=0.230769—=0.192307^

201326

化有限小數(shù)化純財小里化混循史邀

對于分?jǐn)?shù)化純循環(huán)小數(shù)或混循環(huán)小數(shù)，按照上述規(guī)律，可以事前根據(jù)

分?jǐn)?shù)的分母特點，提早做出判斷。

190.為什么分?jǐn)?shù)不能化成無限不循環(huán)小數(shù)？

在不同的情況下，一個分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)（包

括純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)），但是不能化成無限不循環(huán)小數(shù)。

以5化小數(shù)為例，從豎式中可以看到，

0.2857142

7)Z0

余數(shù)6.............60

40

35

50

49___________

10

7_________

30

28

Fo

14

又出現(xiàn)余數(shù)6.....................6

用分子除以分母（7）,其余數(shù)必定小于分母，每次的余數(shù)只能是從

1至U6之間的一個自然數(shù)（如果余數(shù)是0,這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)）；

或者說，除數(shù)是7,余數(shù)只能是1、2、3、4、5、6這六個數(shù)。如果在除的

過程中，有一個余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)一次，那么后面所得的商與余數(shù)，也必定要重

復(fù)出現(xiàn)。也就是說，余數(shù)一重復(fù)出現(xiàn)，商的相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字也重復(fù)出現(xiàn)，

循環(huán)就開始了，所得的商當(dāng)然是循環(huán)小數(shù)。原來這個分?jǐn)?shù)化成的是純循環(huán)小

數(shù)。

2..

-=0.285714

7

根據(jù)上述分析可以得出，當(dāng)一個分?jǐn)?shù)化成無限小數(shù)時，只能得到循環(huán)

小數(shù)，而不可能化成無限不循環(huán)小數(shù)。

分?jǐn)?shù)雖然不能化成無限不循環(huán)小數(shù)，但在數(shù)學(xué)中無限不循環(huán)小數(shù)還是

有的，如圓周率TT值就是一個無限不循環(huán)的小數(shù)。

TT=3.14159265358979323846...

無限不循環(huán)小數(shù)在數(shù)學(xué)上叫做無理數(shù)。

191.怎樣把純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)？

在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)是可以互化的。分?jǐn)?shù)可以化成純循

環(huán)小數(shù)，但純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，并沒有涉及。事實上，兩者也是可以互化

的，比起有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法要稍難一些。

例如：有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。

42

24=2—=2-

°冷;105

只要根據(jù)小數(shù)的最低位是什么數(shù)位，用10、100、1000等做分母，就

可以直接化成分?jǐn)?shù)，不是最簡分?jǐn)?shù)的，要約成最簡分?jǐn)?shù)。

把純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，并不象有限小數(shù)那樣，用10、100、1000

等做分母，而要用9、99、999等這樣的數(shù)做分母，其中“9”的個數(shù)等于

一個循環(huán)節(jié)數(shù)字的個數(shù)；一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù)，就是這個分?jǐn)?shù)的

分子。

例如?0,6=-=-0,31=—

9399

0.817=—5.^=5—

99999

這是因為：-1=1*9=0.111……=0.1

9

1??

_L=1*99=0,010101……=0.01

99

1.?

—=1*999=0.001001……=0.001

999

這樣，前面的四例可以得到證明。即：

(1)0,6=10,1jx6=|x6=

L__JL—一二rt

r1]

(2)0.3i=!0.0i|x31=!—|X31=—

'''[_99j99

⑶。帶竹=?。。*817*翥'817=器

(4)5.29=5+(jO.Oiix29)=5+^-與^,"9)

192.怎樣把混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)?

分?jǐn)?shù)既然能化成混循環(huán)小數(shù)，同樣，混循環(huán)小數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)。這種

化的方法，比起純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，就顯得更為復(fù)雜一些。

混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法是：用第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分所組

成的數(shù)，減去不循環(huán)部分所得的差，以這個差作為分?jǐn)?shù)的分子；分母的前幾

位數(shù)字是9,末幾位數(shù)字為0；9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的

個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。

例⑴o.16=黑15_2

90=6

箭頭所指是說明：循環(huán)節(jié)有一位寫一個9,不循環(huán)部分有一位寫一個

0o

箭頭所指說明：循環(huán)節(jié)有兩位寫兩49,不循環(huán)部分有一位寫一個0。

7245-72

=7173=797

(3)0,7245=9900-9900~1100

箭頭所指說明：循環(huán)節(jié)有兩位寫兩49,不循環(huán)部分有兩位寫兩個0。

這種化的方法，比純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)明顯要復(fù)雜，但究其算理，仍依

據(jù)純小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。即：先把混循環(huán)小數(shù)化成純循環(huán)小數(shù)的形然后

再化成分?jǐn)?shù)。上面三個例題通過推導(dǎo)，都可以得到證明。

_15_16-1

=90=90

先擴大10倍I再縮小10倍

推導(dǎo)出來的與L與例Q）的中間脫式與1一致。

(2)03K=3.i&XW=31813151315318-3

“s9910990990

推導(dǎo)吉果與例（2）的中間脫式費好一致。

717317245-72

_X'■=--------------------

991009900

推導(dǎo)結(jié)果與例（3）的中間脫式一致。

由此可見，采用先擴大后縮小相同倍數(shù)的方法，根據(jù)純循環(huán)小數(shù)化成

分?jǐn)?shù)的方法，證明混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法是完全成立的。

193.為什么分子相同的分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)比較??？

在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，涉及到分?jǐn)?shù)大小比較時，經(jīng)常遇到分子相同的分

數(shù)進行比較。

如：

結(jié)論是：分子相同的兩個分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)比較大。反過來說，分

子相同的兩個分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)比較小。由于受到整數(shù)或小數(shù)大小比較的

影響，學(xué)生在理解這個結(jié)論時，有時會在算理上表現(xiàn)出困惑。解決這種困

惑，要從直觀和分?jǐn)?shù)單位兩方面入手：

從圓形圖和線段圖中觀察，凡是分子相同的分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)比較

小。這個結(jié)論在直觀上是能夠接受的，但這并非全部的算理。因此，除直

觀外，還要從分?jǐn)?shù)單位這個角度上進行具體的闡述。

根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，把單位“1”平均分成若干份，所分的份數(shù)是分母，

表示取出的份數(shù)是分子，既然兩個分?jǐn)?shù)的分子相同，說明它們含有各自的分

數(shù)單位個數(shù)是相同的，這時它們的大小就取決于分?jǐn)?shù)單位的大??；而分?jǐn)?shù)單位

的大小又取決于分母，分母越大，分?jǐn)?shù)單位就越小。所以，分子相同的分?jǐn)?shù)，

分母大的分?jǐn)?shù)比較小。

以線段圖的|和於為例，睛5個上卷有5個士，它們都含有5個分

812881212

數(shù)單位，這時，比較它們的大小就取決于《大，還是工大。由于所以

812812

812

194.什么是分?jǐn)?shù)的相等和分?jǐn)?shù)的不等？

分?jǐn)?shù)的相等是指兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值一樣。其定義是：如果第一個分?jǐn)?shù)

的分子與第二個分?jǐn)?shù)的分母的積，等于第二個分?jǐn)?shù)的分子與第一個分?jǐn)?shù)的

分母的積，那么，這兩個分?jǐn)?shù)就相等。

設(shè)分?jǐn)?shù);和;

bd

如果ad=bc,那么，

bd

例如：分?jǐn)?shù)卷和得

因為9X35=21X15

所嚓嚶

分?jǐn)?shù)的不等是指兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值不一樣。其定義是：如果第一個分

數(shù)的分子與第二個分?jǐn)?shù)的分母的積，大于（或小于第二個分?jǐn)?shù)的分子與第

一個分?jǐn)?shù)的分母的積，那么，第一個分?jǐn)?shù)就大于（或小肉二個分?jǐn)?shù)。這

兩個分?jǐn)?shù)就是不等的。

設(shè)分?jǐn)?shù);和;

bd

如果ad〉cb,那么，->-；

bd

如果ad〈cb,那么，——o

bd

例Q）;和W比較大小。

813

因為5X13〉7X8

所以I"

例⑵［和#匕較大小。

因為7X1K9X9

所嗎4

195.有什么簡便方法，來比較異分母分?jǐn)?shù)的大??？

異分母分?jǐn)?shù)由于分?jǐn)?shù)單位不一致，在比較大小時，一般使用的方法，

都是先進行通分，使異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，有了相同的分?jǐn)?shù)單健;

后再比較大小。

如：比較二和匚的大小。

1220

73511=33

18.刀：—=—9——

12602060

因為王〉受，所以二〉U

60601220

除上述這一般方法外，還有一種較為簡便的方法，即：異分母分?jǐn)?shù)大

小比較時，不必通分，只要把兩個分?jǐn)?shù)的分子、分母交叉相乘，根據(jù)這兩

個乘積進行比較就行了。

例Q）比較|和5的大小。

用第一個分?jǐn)?shù)的分子（5）去乘第二個分?jǐn)?shù)的分母（10）,所得的積

是5X10=50；再用第二個分?jǐn)?shù)的分子（7）去乘第一個分?jǐn)?shù)的分母（9）,

所得的積是7X9=63。

勒上得

因為5X10<7X9,所以5;<而7

例（2）比較搞9和色13的大小。

913

Ti^so

因為9X2O〉】3X11,所以.9〉若13

為什么這種簡便方法也能比較異分母分?jǐn)?shù)的大小呢？其算理與一般

方法先通分后比較是一樣的，只不過是省略了通分的過程。兩個分?jǐn)?shù)的分

子、分母交叉相乘，所得的積是在取得公分母情況下的各自的分子，分?jǐn)?shù)單

位既已一致，分子的大小就可以比較出分?jǐn)?shù)的大小。但在這比較過程侑略

了通分，也就看不到公分母了。

仍以例⑴的|與（比較大小為例。

按一般方法先通分:

5=5x10=507=7x9=63

9-9x10-9010-10x9-90

喘＜得（實際上就是5X10C7X9）

910

196.同分母分?jǐn)?shù)相加時，為什么原來的分母不變?

同分母分?jǐn)?shù)的加法法則是：分子相加的和作分子，原來的分母不變。

即：*￡=山Q盧0)

aaa

原來的分母不變的道理，在于分母是把單位“1”平均分成若干份的

數(shù)，它決定了這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位，只表示每一份的大小，而不表示所取份

數(shù)的多少；分子表示取了多少份的數(shù)，也就是有多少個分?jǐn)?shù)單位。因闔分

母分?jǐn)?shù)相加，由于是同分母，其分?jǐn)?shù)單位也必然相同，相加的實質(zhì)是幾個相

同分?jǐn)?shù)單位的相加，只是分子的相加，而分母是不能變的。

5M121+23

伊技口：-+—=-^—=-

相加的過程是：1個;加上2個等于3個，也就是

如果兩個分母5也相加，那么分母就變成了10,這就表示把單位“1”

平均分成了10份，其分?jǐn)?shù)單位也變成了宗，與原分?jǐn)?shù)單位J也是不相符的，

其錯誤結(jié)果是零=(，這在剛剛學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加法時，是一種常見的錯誤。通過

下面線段圖，可以說明一旦分母也相加所造成的錯誤結(jié)果。

12

5-5

3

10

197.為什么在計算異分母分?jǐn)?shù)加、減法時，要先通分？

在進行整數(shù)加、減法計算時，對不同計量單位的各個數(shù)量，都不能直

接進行加、減，必須化成相同單位的量，才能直接進行計算。

如：4公頃~30畝=4公頃~2公昵2公頃

或：4公頃-30畝=60畝-30畝=30畝

在整數(shù)中是這個道理，所以在計算異分母分?jǐn)?shù)加、減法時，要先通分，

其理由與上述道理也類似。由于異分母分?jǐn)?shù)的分母不同，因而它們的分?jǐn)?shù)

單位也不一樣。要直接進行加或減，必須把不同分母的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分

數(shù)，才能使分?jǐn)?shù)單位一樣，完成這個轉(zhuǎn)化的手段就是通分。

例如：

48

分?jǐn)?shù)單位：分?jǐn)?shù)單位？

4o

由于工和?的分母不同，分?jǐn)?shù)單位也就不同，因此不能直接相加。要使

48

:和:這兩個分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)單位一樣的分?jǐn)?shù)，就必須先進行通分，然后再

48

進行計算。

通分轉(zhuǎn)化

從上圖可以看到，在進行異分母分?jǐn)?shù)加法時，不經(jīng)過通分，就無法使

不同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成相同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)。減法也是同樣的道理。

198.有沒有比較簡便的方法來確定最小的公分母？

在進行異分母分?jǐn)?shù)加、減法時，必須先通分，使異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同

分母分?jǐn)?shù)，然后才能直接計算。通分首先要確定異分母分?jǐn)?shù)的公分母，由于

數(shù)是無限多的，因此公分母也是無限多的。只有確定最小公分母，才能使

計算的過程變得簡便。確定最小公分母就是求最小公倍數(shù)的應(yīng)用，通常使

用的比較簡便的方法有以下幾種：

(1)當(dāng)大分母是小分母的倍數(shù)時，大分母就是最小公分母。

例如,276713

515151515

15是5的倍數(shù)，最小公分母為15。

7_5_21A2

8-24=24-24=24=3

24是8的倍數(shù)，最小公分母為24。

(2)當(dāng)幾個分母是互質(zhì)數(shù)時，這幾個分母的乘積就是它們的最小公

分母。

例如,

7和5是互質(zhì)數(shù)，最小公分母為(7X5=)35o

123354245_32

357105105105105

3、5、7兩兩互質(zhì)，最小公分母為(3X5X7=)105。

(3)當(dāng)幾個分母有公約數(shù)時，這幾個分母的最小公倍數(shù)，就是它們

的最小公分母。

8和12的最小公倍數(shù)是24,24就是最小公分母。

由于在實際計算異分母加、減法時，分母都不會太大，可以通過對分母

的觀察，采用大分母翻倍法來確定最小公分母。所謂的大分母翻倍法，就

是當(dāng)幾個分母有公約數(shù)時，不采用求最小公倍數(shù)的方法，而是把大分母披大

倍、3倍、4倍、5倍、……。如果所得的結(jié)果是小分母的倍數(shù)時，這個結(jié)

果就是最小公分母。

135

例如，+f—F----1------

Q661012

8661012

16[i24

24-j36

48

2偽最小公5)^)____L60

60為最小公分母

上述確定最小公分母的過程，不要求書寫出來，它只是口算過程的表

述。由于運用口算可以簡化通分的程序，從而使確定最小公分母變得簡便,

使異分母分?jǐn)?shù)加、減法的準(zhǔn)確計算提高了速度。

199.為什么分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)時，分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分

母？

在分?jǐn)?shù)乘法中，一般分為三種情況：分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)、整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)和

分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)。前兩種法則是：整數(shù)與分子相乘的積作分子，原來的分母

不變。后一種的法則是：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。實際

上前兩種法則與后一種法則是一致的，只要統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的法則就

可以了。

2,232x36

例如:

7717x17

c25210

1?1n14

由于任何整數(shù)都可以寫成分母是1的假分?jǐn)?shù)，所以任何整數(shù)與分?jǐn)?shù)相

乘都可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的形式。至于分子相乘的積作分子，分母相

乘的

積作分母的算理，可以通過3公頃實驗田的I種小麥，小麥?zhǔn)嵌嗌俟暈槔?

其算式為gxg。圖示如下:

1公頃1公頃表示單位“I”，這題為1公頃。

告公頃公頃表示把1公頃平均分成5

份，取其中4份。

表示把1■公頃再平均分成3份，

取其中2份。

由圖示可以看到：x|這1公頃地在先平均分成淞的基礎(chǔ)上，又平

均分成3份，兩次均分成15份，根據(jù)所分的份數(shù)是分母的意義，分

母為(5X3=)15；原來取的4份又均分成2份，這樣就變成了8份，分

子則為(4X2=)8,這8份是15份中的8份。

答：小麥?zhǔn)遣坦暋?/p>

由此可見，分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的計算法則，是由分?jǐn)?shù)乘法的意義，即：求

一個數(shù)的幾分之幾是多少來決定的。其中分母相乘的積作分母，表示單位

“1”一共平均分成的份數(shù)；分子相乘的積作分子，表示一共取出的份數(shù)。

200.計算分?jǐn)?shù)除法時，為什么要將除數(shù)的分子分母顛倒后用乘法計算？

分?jǐn)?shù)除法的計算法則是：甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外)，等于甲數(shù)乘以乙

數(shù)的倒數(shù)?；蛘哒f，被除數(shù)不變，除數(shù)顛倒變乘。這個算理在“教”與“學(xué)”中

都是重點和難點。正確地弄清這個算理，可以從以下五方面的任何一個方面

入手。

(1)從分?jǐn)?shù)除法的原始法則進行分析:

分?jǐn)?shù)乘法的法則是：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。根

據(jù)乘、除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)除法的原始法則是：分子相除的商作分子，分母相

除的商作分母。

8_4_8+4_2

例如:

155-15*5-3

用顛倒變跖法也詼

使用這種法則的局限性很大，因為無論是分子相除，還是分母相除，

都能整除的情況是很少的，如果不能整除，其結(jié)果就會出現(xiàn)繁分?jǐn)?shù)的情況，

這就使計算結(jié)果變得更為復(fù)雜。

根據(jù)除法中商變化的規(guī)律，被除數(shù)分子縮小幾倍，商（分?jǐn)?shù)值）也縮

小相同倍數(shù)，要保證商縮小相應(yīng)的倍數(shù)，不采用被除數(shù)縮小而采用除數(shù)擴大

的方法，也同樣達到被除數(shù)縮小的作用。除數(shù)縮小幾倍，商反而擴大相同倍

數(shù)，如果除數(shù)不縮小幾倍，被除數(shù)擴大相應(yīng)的倍數(shù)，商所起的變化也是一致

的。除法有不能整除的情況，但換成乘法卻沒有乘不開的時候。為此，被

除數(shù)不變，除數(shù)一定要顛倒變乘。

例如：|+|如用原始法則都有不能整除的情況，采用顛倒變乘的方法

83

就可以順利地進行計算。

525sz315

838216

（2）從分?jǐn)?shù)除法的意義來分析：

分?jǐn)?shù)除法的意義是：已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。以下

題為例：

一本故事書看了60頁，占這本故事書總頁數(shù)的這本書是多少頁？

4

6。頁

?

這本書是多少頁s

從圖示中看出，這本書分成4等份，其中的3份是60頁，求4份是

多少頁。按照“歸一”應(yīng)用題的思路，可以得出下列算式：

①1份是多少頁？604-3=20（頁）

②4份是多少頁？20X4=80（頁）

所以,

60+—=60*3x4=—x4=‘°—=^0x—=8Q（頁）

4333

_____________________________t

從箭頭所指可以看出：這兩個式子是相等的，即60+q=60X：。所表

示的意思也是一樣的，先求1份是多少頁，再求4份是多少頁。

由此可以說明除數(shù)顛倒變乘的道理。

（3）從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來分析：

根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以相同的數(shù)（零除外）

分?jǐn)?shù)的大小不變；按照分?jǐn)?shù)除法的原始法則，為了使分子和分母都能整隗

以用除數(shù)中分子與分母的相乘積，分別去乘被除數(shù)的分子和分母。

拉-232x（4x3）+32x424

伊！I>?n：—+-=——x—=—=—x-

545x（4x3）+45x353

①②③④

從脫式中可見，②式分子部分的X3與+3可以消掉；分母部分的M

與+4也可以消掉，②式轉(zhuǎn)化成③式，再轉(zhuǎn)化成④式，從而證明①式等于

④式。這也可以說明除數(shù)顛倒變乘的道理。

（4）從求一個數(shù)的幾分之幾用乘法來分析：

可通過以下兩道例題的解法做個比較。

①有20米布，平均分成5份，每一份是幾米？

204-5=4（米）

②有20米布，求它的g是幾米？

20X1=4（米）

第①題是整數(shù)除法，第②題是分?jǐn)?shù)乘法，這兩道題所表述的意義卻是

一樣的，都是把20米布平均分成5份，求一份是多少，其結(jié)果也是一樣

的。

所以，20*5=20x1

由于任何整數(shù)都可以寫成分母是1的假分?jǐn)?shù)，2045可寫成20+；

將;的分子分母顛倒所得到的分?jǐn)?shù)就是依據(jù)這個道理，可以證明，除以

一個分?jǐn)?shù)，可將這個分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置后，用乘法計算。

(5)從“互為倒數(shù)的兩個分?jǐn)?shù)相乘等于1”來分析：

在乘法中，任何一個分?jǐn)?shù)與它的倒數(shù)相乘結(jié)果都是1。如3x2=1。根

54

據(jù)積除以一個因數(shù)等于另一個因數(shù)，1+?=?。這個算式的意義是：1里

54

面包含著豹部如果要求荔除以整氤其意義就是艇面包含著3

的多少倍。既然1里面包含著2的2倍，因此W里面就包含著2的2X2倍。

54125412

按照乘法的交換律可以得出：

5szi111sz5114115

412124125124

從以上五個方面進行分析，分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法在一定條件下是可以互

相轉(zhuǎn)化的，這也是分?jǐn)?shù)除法法則中，被除數(shù)不變而除數(shù)顛倒變乘的算理。

201.為什么分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時，整數(shù)只乘分母而不乘分子？

在分?jǐn)?shù)乘法中，遇到分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)時，法則規(guī)定是只乘分子而不乘分母。

按照乘、除法之間的關(guān)系，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時，也應(yīng)該只除分子而不除分母，

這個法則本身是成立的。

從算理上分批那分?jǐn)?shù)單位是小定解個:把8個5平均分成4

份，每份則是2個）也就是得。用乘法驗算：由此可以證

1X4=^=A0

明，只除分子而不除分母是完全可以的。

但是，在實際計算中，用上述方法常常遇到整數(shù)除分子不能整除，甚至

不能除盡的情況，這就給計算留下一個并不明確的結(jié)果。

其結(jié)果為繁分?jǐn)?shù)，繁分?jǐn)?shù)本身又是分?jǐn)?shù)除法，這樣只能是越算過程越

繁瑣。由于受到“分子除以整數(shù)一定能整除”這個條件的限制，所以，分子

除以整數(shù)的方法，就不能應(yīng)用，如果改用只乘分母的方法，不僅可以得到

分子除以整數(shù)的同樣結(jié)果，而且在任何情況下這種方法都可以使用。

仍以：+3為例，?+3==±

555x315

這樣，既解決了分子除以整數(shù)不能整除的矛盾，同時也能較簡便地得

出結(jié)果。至于只乘分母不乘分子的道理，可從以下幾方面進行分析：

（1）如上例，1+3是把：平均分成3份，求每份是多少。實際上也

是求:的工是多少。所以，2+3=卜賢/=［分子與1相乘，分子原

535535x315

來的數(shù)沒有任何改變，剩下的只是分母與整數(shù)相乘了。

（2）把分?jǐn)?shù)看成除法，分子4看作被除數(shù)，分母5看作除數(shù)，:看作

商，1+3的算式意義，就是把商縮小3倍，依據(jù)“商的變化規(guī)律”，如果

被除數(shù)（分子）不變，除數(shù)（分母）擴大3倍，商不是反而縮小3

倍嗎？從這個意義上講，分子縮小幾倍與分母擴大相同的倍數(shù)，所引起商

的變化是一致的。

因此，

（3）根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)可以直接寫成除法的形式。g可以

寫4+5,而5+3就可以寫成4+5+3。而這個算式的意義是：把4縮

小5倍再縮小3倍，也就是等于把4縮?。?X3=）15倍。根據(jù)這個

推理和轉(zhuǎn)化，原算式則為：

24+3=4+5+3

5

=4+（5X3）

4

-Ix3

從以上三方面的分析，都可以說明：為什么分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時，只乘分

母而不乘分子的道理。

202.在分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運算中，為什么有時把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，而有時又

把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)？

在分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混合運算中，到底是把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，還是把小

數(shù)化成分?jǐn)?shù)，這不僅影響到運算過程的繁瑣與簡便，也影響到運算結(jié)果的精

確度，因此，要具體情況具體分析，而不能只機械地記住一種化法：小數(shù)

化成分?jǐn)?shù)，或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。

一般情況下，在加、減法中，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)比較方便。

例⑴0.25+3--1.75--

54

=0.25+3.4-1.75-0.75

=1.15

如果把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，運算過程則為:

23

025+3--175--

54

1,233

4544

5,8,1515

20202020

=12

從對比中可以看到：在加、減法中，如果分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，其計算要點

只是小數(shù)點對齊，而省去了小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，中間需要通分的過程，最后

的結(jié)果，小數(shù)沒有約分的要求，而分?jǐn)?shù)有時還要約分。

不過，在加、減法中，有時遇到分?jǐn)?shù)只能化成循環(huán)小數(shù)時，就不能把分

數(shù)化成小數(shù)。因為帶著循環(huán)小數(shù)進行運算，不可能得到精確的結(jié)果。因此

在這種情況下，小數(shù)又只能化成分?jǐn)?shù)了。

例（2）16+-+2.5-1-

36

,31JQ

=1-H—+2—1-

5326

,1810J5,25

30303030

=22

如果分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，i=0.5,if=1.83,其最后結(jié)果是2.57,與

36

正確的結(jié)果就有了一定的誤差。

在乘、除法中，一般情況下，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計算，則比較簡便。這是因

為化成分?jǐn)?shù)后，中間的過程可以約分，經(jīng)過約分后，數(shù)字也變小，這樣既

提高了準(zhǔn)確性，也提高了計算的速度。

例⑶12-3|x|

48

1153

=1—十—sxz—

548

5158

3

~25

此題的分?jǐn)?shù)如化成小數(shù)，其過程將是這樣的:

12*33-x3i=l,2*3.75X0.375

48

=0.32X0.375=0.12

從形式上看，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)并不繁瑣，實際計算時，有時需要大乘、

大除，運用口算是難以完成的，并且計算過程中易于出錯。小數(shù)化成分?jǐn)?shù),

過程基本上都是在口算中進行的，所以，在實際計算時要簡便得多。

上述只是一般情況，有些特殊情況，小數(shù)也不一定必須化成分?jǐn)?shù)，這

就是小數(shù)和分母能直接約分時，小數(shù)不用化成分?jǐn)?shù)，而看作整數(shù)直接進行

約分，但必須注意：小數(shù)點一定要保持原來的位置。

例(4)(5.24X3-+644X+0.5

1.31-0923

=(究4x—F-67WX-)+0.5

11

=(19,65+2,76)+0.5

=22.41+0.5

=44.82

通過以上各種情況的分析，在分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運算中，要根據(jù)具

體情況，靈活地選擇互化的方法，以達到運算簡便，結(jié)果正確的目的。

203.在分?jǐn)?shù)四則運算中，經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤有哪些？

在分?jǐn)?shù)四則運算中，基礎(chǔ)知識稍有缺欠，就會造成運算過程中的錯誤，

從而導(dǎo)致計算結(jié)果的嚴(yán)重誤差，這對個別學(xué)生來說，則形成了久治不愈的

頑癥。造成這種現(xiàn)象的原因，主要是單項計算不過關(guān)。一般來講，其原因及

形式有以下幾個方面：

(1)概念不清:

在帶分?jǐn)?shù)的減法中，整數(shù)械帶分?jǐn)?shù)時，就常出現(xiàn)這樣情況，8-61=2|,

這反映出對帶分?jǐn)?shù)的概念是不清楚的，帶分?jǐn)?shù)是自然數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和

的一種

表達形式，由于對此理解不清，致便沒有把6,看成一個完整減數(shù)，結(jié)果是

減去6而又加上了這也反映出做錯題的學(xué)生，把8-6|與8|-6等同起

來，從而導(dǎo)致了上述錯誤。

⑵法則混淆:

運算是憑借法則來進行的，法則一旦發(fā)生混淆，是產(chǎn)生錯誤的普遍性

原因。在分?jǐn)?shù)乘、除法中，表現(xiàn)尤為突出。

■2

如：/2=33

8x216

313x2_3

一一2=

~~R4

這兩道題的結(jié)果都是錯的，造成錯的原因都是法則上的混淆。上題是

分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)，法則是：分子與整數(shù)相乘，分母不變；下題是分?jǐn)?shù)除以

整數(shù)，法則是：分母與整數(shù)相乘，分子不變，從脫式的過程看，這兩個法則

在運用上都顛倒了。

5535

又如:一—一X—

12841253

分?jǐn)?shù)除法是將除數(shù)的分子、分母顛倒后相乘，結(jié)果是一看到第一個運

算符號是除號，立即把后面的兩個分?jǐn)?shù)的分子、分母都顛倒了，造成了分

數(shù)乘、除法法則的混淆。

(3)粗心大意:

由于學(xué)習(xí)作風(fēng)的馬虎和對計算結(jié)果缺乏認(rèn)真負(fù)責(zé)的良好品質(zhì)，出現(xiàn)這

類錯誤也是各式各樣的。

如：抄錯運算符號和數(shù)字。

2.8X?lx|*0,07,此題一抄在練習(xí)本上就變成了；2.8X3；

*1*0.07,或抄寫成28X3；X：-07。運算符號或數(shù)字一旦抄錯，

計算結(jié)果的錯誤則是必然的了。

又如：約分的錯誤