2022-2023學年北京市海淀區(qū)建華實驗學校八年級（上）期中數學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市海淀區(qū)建華實驗學校八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（每題只有一個正確答案，每題2分，共20分）1．（2分）第24屆冬奧會將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京是全世界唯一同時舉辦過夏季和冬季奧運會的城市，下列組成本屆冬奧會會徽的四個圖案中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列運算正確的是（）A．（﹣2x3）2＝4x6 B．a2+a2＝a4 C．2x+3x＝5x2 D．（x+2）2＝x2+43．（2分）下列長度的三條線段能首尾相接構成三角形的是（）A．1cm，1cm，2cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm4．（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x+1＝x（1+）5．（2分）如圖，根據計算長方形ABCD的面積，可以說明下列哪個等式成立（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab6．（2分）多項式mx2﹣4m與多項式x2﹣4x+4的公因式是（）A．x+2 B．x﹣2 C．x2﹣9 D．（x﹣2）27．（2分）如圖，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，BC＝3，則CD＝（）A．4 B．1 C．2 D．38．（2分）如圖，AD是△ABC的角平分線，∠C＝20°，AB+BD＝AC，將△ABD沿AD所在直線翻折，點B在AC邊上的落點記為點E，那么∠AED等于（）A．80° B．60° C．40° D．30°9．（2分）∠MAB為銳角，AB＝a，點C在射線AM上，點B到射線AM的距離為b，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）A．x＝b B．x≥a C．x＝b或x＞a D．x＝b或x≥a10．（2分）已知，△ABC是等邊三角形．點D是AB邊上的一個動點，點E是AC邊上的一個動點，且BD＝CE，BE與CD交于點F．若△BFD是等腰三角形，則∠FBD的度數是（）A．30°或60° B．20°或40° C．15°或30° D．20°或30°二、填空題（每題3分，共24分）11．（3分）一個多邊形的每個外角都是60°，則這個多邊形邊數為．12．（3分）計算：（am+bm）÷m＝．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，則旋轉角度為．14．（3分）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗），在圖中由三角形全等可知，工人測量A'B'的長度即可知道工件內槽寬AB的長度，理由是．15．（3分）等腰三角形一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是．16．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，則a2+b2＝．17．（3分）如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，則OC＝，PD＝．18．（3分）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是（用含a，b的式子表示）．三、解答題（共56分，其中19題8分；20題10分；21題5分；22題6分；23題7分，24題，25題每題6分；26題8分）19．（8分）分解因式：（1）a2+ab+2a；（2）（2m+n）2﹣（m+n）2．20．（10分）計算：（1）（2x+3y）（2x﹣y）；（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代數式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．22．（6分）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE＝FE，FC∥AB，AE與CE有什么關系？證明你的結論．23．（7分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，﹣3），且OA＝5，在x軸上確定一點P，使△AOP為等腰三角形．（1）寫出一個符合題意的點P的坐標；（2）請在圖中畫出所有符合條件的△AOP．24．（6分）在日歷上，我們可以發(fā)現其中某些數滿足一定的規(guī)律，如圖是2022年1月份的日歷，我們任意選擇其中所示的方框部分，將每個方框部分中4個位置上的數交叉相乘，再相減，結果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．（1）如圖，設日歷中所示的方框左上角數字為x，則上面發(fā)現的規(guī)律用含x的式子可表示為；（2）利用整式的運算對（1）中的規(guī)律加以證明．25．（6分）已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于點D，點E在線段CD上（點E不與點C，D重合），且∠EAC＝2∠EBC．求證：AE+AC＝BC．26．（8分）在平面直角坐標系xOy中，對于任意圖形G及直線l1，l2，給出如下定義：將圖形G先沿直線l1翻折得到圖形G1，再將圖形G1沿直線l2翻折得到圖形G2，則稱圖形G2是圖形G的＜l1，l2＞伴隨圖形．例如：點P（2，1）的＜x軸，y軸＞伴隨圖形是點P'（﹣2，﹣1）．（1）點Q（﹣5，﹣2）的＜x軸，y軸＞伴隨圖形點Q′的坐標為；（2）已知A（t，1），B（t﹣4，1），C（t，4），直線m經過點（1，1）．直線n經過點（﹣1，﹣1）①當t＝3，且直線m與y軸平行時，直線n與x軸平行時，求點A的＜n，m＞伴隨圖形點A'的坐標；②當直線m經過原點時，若△ABC的＜x軸，m＞伴隨圖形上只存在兩個與x軸的距離為2的點，直接寫出t的取值范圍．

2022-2023學年北京市海淀區(qū)建華實驗學校八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題只有一個正確答案，每題2分，共20分）1．（2分）第24屆冬奧會將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京是全世界唯一同時舉辦過夏季和冬季奧運會的城市，下列組成本屆冬奧會會徽的四個圖案中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故A錯誤；B．不是軸對稱圖形，故B錯誤；C．不是軸對稱圖形，故C錯誤；D．是軸對稱圖形，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．2．（2分）下列運算正確的是（）A．（﹣2x3）2＝4x6 B．a2+a2＝a4 C．2x+3x＝5x2 D．（x+2）2＝x2+4【分析】根據冪的乘方與積的乘方的運算法則，合并同類項法則，完全平方公式解答即可．【解答】解：A、原式＝4x6，原計算正確，故此選項符合題意；B、原式＝2a2，原計算錯誤，故此選項不符合題意；C、原式＝5x，原計算錯誤，故此選項不符合題意；D、原式＝x2+4x+4，原計算錯誤，故此選項不符合題意．故選：A．【點評】此題考查了冪的乘方與積的乘方，合并同類項，完全平方公式，熟練掌握法則和公式是解本題的關鍵．3．（2分）下列長度的三條線段能首尾相接構成三角形的是（）A．1cm，1cm，2cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】利用三角形的三邊關系定理進行分析即可．【解答】解：根據三角形的三邊關系，得：A、1+1＝2，不能構成三角形；B、3+4＞5，能構成三角形；C、4+5＜10，不能構成三角形；D、2+6＜9，不能構成三角形．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．4．（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x+1＝x（1+）【分析】根據因式分解的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．x（x﹣1）＝x2﹣x，從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B．（x+1）2＝x2+2x+1，從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），從左至右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；D．x+1＝x（1+），等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義（把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解）是解此題的關鍵．5．（2分）如圖，根據計算長方形ABCD的面積，可以說明下列哪個等式成立（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab【分析】長方形ABCD的面積可以表示為a（a+b），也可表示為兩個長方形的面積和，即a2+ab，所以a（a+b）＝a2+ab【解答】解：∵長方形ABCD面積＝兩個小長方形面積的和，∴可得a（a+b）＝a2+ab故選：D．【點評】此題應用面積法，通過大長方形的面積等于兩個小長方形面積的和得出等式．6．（2分）多項式mx2﹣4m與多項式x2﹣4x+4的公因式是（）A．x+2 B．x﹣2 C．x2﹣9 D．（x﹣2）2【分析】用提取公因式法和公式法分解因式，再根據公因式定義求得結果．【解答】解：∵mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2），x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴mx2﹣4m與多項式x2﹣4x+4的公因式是（x﹣2），故選：B．【點評】本題考查因式分解與公因式的定義，關鍵是熟練掌握因式分解的方法．7．（2分）如圖，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，BC＝3，則CD＝（）A．4 B．1 C．2 D．3【分析】根據直角三角形的兩銳角互余得到∠1＝∠CAD，結合題意利用AAS證明△ABC≌△ADC，根據全等三角形的性質即可得解．【解答】解：∵∠D＝90°，∴∠2+∠CAD＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠CAD，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴BC＝CD，∵BC＝3，∴CD＝3，故選：D．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵．8．（2分）如圖，AD是△ABC的角平分線，∠C＝20°，AB+BD＝AC，將△ABD沿AD所在直線翻折，點B在AC邊上的落點記為點E，那么∠AED等于（）A．80° B．60° C．40° D．30°【分析】根據折疊的性質可得BD＝DE，AB＝AE，然后根據AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，證得DE＝EC，根據等邊對等角以及三角形的外角的性質求解．【解答】解：根據折疊的性質可得BD＝DE，AB＝AE．∵AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，∴DE＝EC．∴∠EDC＝∠C＝20°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°．故選：C．【點評】本題考查了折疊的性質以及等腰三角形的性質、三角形的外角的性質，證明DE＝EC是本題的關鍵．9．（2分）∠MAB為銳角，AB＝a，點C在射線AM上，點B到射線AM的距離為b，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）A．x＝b B．x≥a C．x＝b或x＞a D．x＝b或x≥a【分析】先找出點D的位置，再畫出符合的所有情況即可．【解答】解：過B作BD⊥AM于D，∵點B到射線AM的距離為b，∴BD＝b，①如圖，當C點和D點重合時，x＝b，此時△ABC是一個直角三角形；②如圖，當b＜x＜a時，此時C點的位置有兩個，即△ABC有兩個；③如圖，當x≥a時，此時△ABC是一個三角形；所以x的范圍是x＝b或x≥a，故選：D．【點評】本題考查了考查全等三角形的判定，點到直線的距離等知識點，注意：能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．10．（2分）已知，△ABC是等邊三角形．點D是AB邊上的一個動點，點E是AC邊上的一個動點，且BD＝CE，BE與CD交于點F．若△BFD是等腰三角形，則∠FBD的度數是（）A．30°或60° B．20°或40° C．15°或30° D．20°或30°【分析】由等邊三角形的性質得出∠ABC＝∠ACB＝60°，由SAS證明△BCD≌△CBE，得出∠BCD＝∠CBE，設∠BCD＝∠CBE＝x，則∠DBF＝60°﹣x，分三種情況：①若FD＝FB，則∠FBD＝∠FDB＞∠A，證出∠FBD＜60°，得出FD＝FB的情況不存在；②若DB＝DF，則∠FBD＝∠BFD＝2x，得出方程60°﹣x＝2x，解方程即可得出結果；③若BD＝BF，則∠BDF＝∠BFD＝2x，由三角形內角和定理得出方程，解方程即可得出結果．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠BCD＝∠CBE，∴∠BCD＝∠CBE，設∠BCD＝∠CBE＝x，∴∠DBF＝60°﹣x，若△BFD是等腰三角形，分三種情況：①若FD＝FB，則∠FBD＝∠FDB＞∠A，∴∠FBD＝∠FDB＞60°，但∠FBD＜∠ABC，∴∠FBD＜60°，∴FD＝FB的情況不存在；②若DB＝DF，則∠FBD＝∠BFD＝2x，∴60°﹣x＝2x，解得：x＝20°，∴∠FBD＝40°；③若BD＝BF，如圖所示：則∠BDF＝∠BFD＝2x，在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD＝180°，∴60°﹣x+2x+2x＝180°，解得：x＝40°，∴∠FBD＝20°；綜上所述：∠FBD的度數是40°或20°．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、三角形的外角性質；熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．二、填空題（每題3分，共24分）11．（3分）一個多邊形的每個外角都是60°，則這個多邊形邊數為6．【分析】利用外角和除以外角的度數即可得到邊數．【解答】解：360÷60＝6．故這個多邊形邊數為6．故答案為：6．【點評】此題主要考查了多邊形的外角和，關鍵是掌握任何多邊形的外角和都360°．12．（3分）計算：（am+bm）÷m＝a+b．【分析】利用多項式除以單項式的法則，進行計算即可解答．【解答】解：（am+bm）÷m＝am÷m+bm÷m＝a+b，故答案為：a+b．【點評】本題考查了整式的除法，熟練掌握多項式除以單項式的法則是解題的關鍵．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，則旋轉角度為60°．【分析】先利用互余得到∠A＝60°，再根據旋轉的性質得CA′＝CA，∠ACA′等于旋轉角，然后判斷△ACA′為等邊三角形得到∠ACA′＝60°，從而得到旋轉角的度數．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC繞點C順時針旋轉至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋轉角，∴△ACA′為等邊三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋轉角度為60°．故答案為60°．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．本題的關鍵是證明△ACA′為等邊三角形，14．（3分）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗），在圖中由三角形全等可知，工人測量A'B'的長度即可知道工件內槽寬AB的長度，理由是根據SAS證明△AOB≌△A′OB′．【分析】根據測量兩點之間的距離，根據全等的條件之一SAS證得△AOB≌△A′OB′，即可得到A′B′＝AB，進而得出答案．【解答】解：連接AB，A′B′，如圖，∵點O分別是AA′、BB′的中點，∴OA＝OA′，OB＝OB′，在△AOB和△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．∴A′B′＝AB．答：需要測量A′B′的長度，即為工件內槽寬AB．其依據是根據SAS證明△AOB≌△A′OB′；故答案為：根據SAS證明△AOB≌△A′OB′．【點評】本題考查全等三角形的應用，根據已知條件可用邊角邊定理判斷出全等．15．（3分）等腰三角形一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是22．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不應為4，而應為9∴等腰三角形的周長＝4+9+9＝22故填：22．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．16．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，則a2+b2＝2．【分析】利用完全平方公式變形，將a+b與ab代入計算即可求出值．【解答】解：∵a+b＝2，ab＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2＝2，故答案為：2．【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．17．（3分）如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，則OC＝10，PD＝5．【分析】求出∠COP＝∠CPO＝∠BOP，即可得出PC＝OC，根據角平分線的性質得出PD＝PE，求出PE，即可求出PD．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠BOP，∴∠CPO＝∠AOP，∴PC＝OC，∵PC＝10，∴OC＝PC＝10，過P作PE⊥OA于點E，∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∵PC∥OB，∠AOB＝30°∴∠ECP＝∠AOB＝30°在Rt△ECP中，PE＝PC＝5，∴PD＝PE＝5，故答案為：10，5．【點評】本題主要考查了角平分線的性質，平行線的性質的應用，注意：角平分線上的點到角的兩邊距離相等．18．（3分）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是a+b（用含a，b的式子表示）．【分析】首先證明點E在射線CE上運動（∠ACE＝30°），作點A關于直線CE的對稱點M，連接FM交CE于E′，此時AE′+FE′的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF＝a，BF＝b，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴點E在射線CE上運動（∠ACE＝30°），作點A關于直線CE的對稱點M，連接FM交CE于E′，此時AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等邊三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周長的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b．故答案為：a+b．【點評】本題考查軸對稱最短問題、等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是證明點E在射線CE上運動（∠ACE＝30°），本題難度比較大，屬于中考填空題中的壓軸題．三、解答題（共56分，其中19題8分；20題10分；21題5分；22題6分；23題7分，24題，25題每題6分；26題8分）19．（8分）分解因式：（1）a2+ab+2a；（2）（2m+n）2﹣（m+n）2．【分析】（1）直接提取公因式a分解因式即可；（2）利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）a2+ab+2a＝a（a+b+2）；（2）（2m+n）2﹣（m+n）2＝[（2m+n）+（m+n）][（2m+n）﹣（m+n）]＝（2m+n+m+n）（2m+n﹣m﹣n）＝m（3m+2n）．【點評】此題主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握公因式的確定是解題關鍵．20．（10分）計算：（1）（2x+3y）（2x﹣y）；（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2．【分析】（1）利用多項式乘多項式的法則，進行計算即可解答；（2）利用多項式除以單項式的法則，進行計算即可解答．【解答】解：（1）（2x+3y）（2x﹣y）＝4x2﹣2xy+6xy﹣3y2＝4x2+4xy﹣3y2；（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2＝4x2y3÷4x2y2﹣8x3y2z÷4x2y2＝y(tǒng)﹣2xz．【點評】本題考查了整式的除法，多項式乘多項式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代數式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．【分析】根據多項式乘多項式進行化簡，然后整體代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，當x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1時，原式＝1+2＝3．【點評】本題考查了多項式乘多項式，解決本題的關鍵是掌握多項式乘多項式．22．（6分）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE＝FE，FC∥AB，AE與CE有什么關系？證明你的結論．【分析】結論：AE＝EC．只要證明△ADE≌△CFE即可；【解答】解：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△FCE，∴AE＝EC．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考基礎題．23．（7分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，﹣3），且OA＝5，在x軸上確定一點P，使△AOP為等腰三角形．（1）寫出一個符合題意的點P的坐標（﹣5，0）；（2）請在圖中畫出所有符合條件的△AOP．【分析】（1）根據等腰三角形的性質即可求解；（2）可分三種情況：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可．【解答】解：（1）一個符合題意的點P的坐標答案不唯一，如：（﹣5，0），故答案為：答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）符合條件的△AOP如圖所示：【點評】本題主要考查了作圖﹣復雜作圖、等腰三角形的判定和坐標與圖形的性質，注意討論要全面，不要遺漏．24．（6分）在日歷上，我們可以發(fā)現其中某些數滿足一定的規(guī)律，如圖是2022年1月份的日歷，我們任意選擇其中所示的方框部分，將每個方框部分中4個位置上的數交叉相乘，再相減，結果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．（1）如圖，設日歷中所示的方框左上角數字為x，則上面發(fā)現的規(guī)律用含x的式子可表示為（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；（2）利用整式的運算對（1）中的規(guī)律加以證明．【分析】（1）根據題意用含x的式子表示其余三個數，表達規(guī)律即可；（2）根據整式乘法公式，把（x+1）（x+7）﹣x（x+8）化簡，即可證明．【解答】（1）解：設日歷中所示的方框左上角數字為x，則其余三個數從小到大依次是：x+1，x+7，x+8，∴規(guī)律用含x的式子可表示為（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；故答案為：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；（2）證明：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝（x2+7x+x+7）﹣（x2+8x）＝x2+7x+x+7﹣x2﹣8x＝7．【點評】本題考查整式的混合運算和列代數式，解題的關鍵是掌握整式相關運算的法則．25．（6分）已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于點D，點E在線段CD上（點E不與點C，D重合），且∠EAC＝2∠EBC．求證：AE+AC＝BC．【分析】在CB上截取CF，使CF＝CA，連接EF，根據全等三角形的性質推出AE＝FE，根據FB＝FE，得到AE＝FB，得出AE+AC＝FB+FC＝BC．【解答】證明：如圖，在CB上截取CF，使CF＝CA，連接EF，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠FCE，在△ACE和△FCE中，，∴△ACE≌△FCE（SAS），∴∠EAC＝∠EFC，AE＝FE，∵∠EAC＝2∠EBC，∴∠EFC＝2∠EBC，∴∠BEF＝∠E