《中考真題》2019年中考數(shù)學(xué)母題題源系列專題02-方案設(shè)計問題(第二篇)(解析版)

PAGE1專專題02方案設(shè)計問題【母題原題一】【2019?煙臺】亞洲文明對話大會召開期間，大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作．某大學(xué)計劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會場，若單獨調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個座位．

（1）計劃調(diào)配36座新能源客車多少輛？該大學(xué)共有多少名志愿者？

（2）若同時調(diào)配36座和22座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？【答案】（1）計劃調(diào)配36座新能源客車6輛，該大學(xué)共有218名志愿者．（2）需調(diào)配36座客車3輛，22座客車5輛．【解析】（1）設(shè)計劃調(diào)配36座新能源客車x輛，該大學(xué)共有y名志愿者，則需調(diào)配22座新能源客車（x+4）輛，

依題意，得：，

解得：．

答：計劃調(diào)配36座新能源客車6輛，該大學(xué)共有218名志愿者．

（2）設(shè)需調(diào)配36座客車m輛，22座客車n輛，

依題意，得：36m+22n=218，∴n=．

又∵m，n均為正整數(shù)，∴．

答：需調(diào)配36座客車3輛，22座客車5輛．【名師點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．【母題原題二】【2019?山西】某游泳館推出了兩種收費方式．方式一：顧客先購買會員卡，每張會員卡200元，僅限本人一年內(nèi)使用，憑卡游泳，每次游泳再付費30元．

方式二：顧客不購買會員卡，每次游泳付費40元．

設(shè)小亮在一年內(nèi)來此游泳館的次數(shù)為x次，選擇方式一的總費用為y1（元），選擇方式二的總費用為y2（元）．

（1）請分別寫出y1，y2與x之間的函數(shù)表達式．

（2）小亮一年內(nèi)在此游泳館游泳的次數(shù)x在什么范圍時，選擇方式一比方式二省錢．【答案】（1）y1=30x+200，y2=40x；（2）當(dāng)x>20時，選擇方式一比方式二省錢．【解析】（1）當(dāng)游泳次數(shù)為x時，方式一費用為：y1=30x+200，方式二的費用為：y2=40x；

（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20時，當(dāng)x>20時，選擇方式一比方式二省錢．【名師點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【母題原題三】【2019·浙江溫州】某旅行團32人在景區(qū)A游玩，他們由成人、少年和兒童組成．已知兒童10人，成人比少年多12人．（1）求該旅行團中成人與少年分別是多少人？（2）因時間充裕，該團準(zhǔn)備讓成人和少年（至少各1名）帶領(lǐng)10名兒童去另一景區(qū)B游玩．景區(qū)B的門票價格為100元/張，成人全票，少年8折，兒童6折，一名成人可以免費攜帶一名兒童．①若由成人8人和少年5人帶隊，則所需門票的總費用是多少元？②若剩余經(jīng)費只有1200元可用于購票，在不超額的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人帶隊？求所有滿足條件的方案，并指出哪種方案購票費用最少．【答案】（1）該旅行團中成人與少年分別是17人、5人；（2）①由成人8人和少年5人帶隊，則所需門票的總費用是1320元；②最多安排成人和少年12人帶隊，有三個方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人時購票費用最少．【解析】（1）設(shè)成人有x人，少年y人，根據(jù)題意，得，解得．答：該旅行團中成人與少年分別是17人、5人；（2）①由題意可得，由成人8人和少年5人帶隊，則所需門票的總費用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6=1320（元）．答：由成人8人和少年5人帶隊，則所需門票的總費用是1320元；②設(shè)可以安排成人a人，少年b人帶隊，則1≤a≤17，1≤b≤5，當(dāng)10≤a≤17時，若a=10，則費用為100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，∴b的最大值是2，此時a+b=12，費用為1160元；若a=11，則費用為100×11+100×b×0.8≤1200，得b，∴b的最大值是1，此時a+b=12，費用為1180元；若a≥12，100a≥1200，即成人門票至少是1200元，不合題意，舍去；當(dāng)1≤a<10時，若a=9，則費用為100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，∴b的最大值是3，a+b=12，費用為1200元；若a=8，則費用為100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，∴b的最大值是3，a+b=11<12，不合題意，舍去；同理，當(dāng)a<8時，a+b<12，不合題意，舍去；綜上所述，最多安排成人和少年12人帶隊，有三個方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人時購票費用最少．【命題意圖】考查方程與不等式、函數(shù)方案設(shè)計問題．方案設(shè)計問題一般是通過一個實際問題情境，給出若干信息，提出解決問題的要求，讓學(xué)生運用所學(xué)知識，技能和方法，進行設(shè)計、操作，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案．有時也可能給出幾個不同的解決方案，要求判定哪個方案更優(yōu)．【方法總結(jié)】1．用方程或不等式解決方案設(shè)計問題，首先要來哦接問題取材的生活背景；其次要弄清題意，根據(jù)題意建構(gòu)恰當(dāng)?shù)姆匠棠Ｐ突虿坏仁侥Ｐ?，求出所求未知?shù)的取值范圍；最后再結(jié)合實際問題確定方案設(shè)計的種數(shù)．2．解決函數(shù)型方案設(shè)計問題，先根據(jù)題意和實際情況列出不等式（組）或函數(shù)關(guān)系式，再確定最優(yōu)方案．1．【天津市河北區(qū)2019屆中考一模數(shù)學(xué)試題】某貨運公司有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨29噸，2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨31噸．I.請問1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨多少噸；Ⅱ.目前有46.4噸貨物需要運輸，貨運公司擬安排大小貨車共10輛，全部貨物一次運完.其中每輛大貨車一次運貨花費500元，每輛小貨車一次運貨花費300元，請問貨運公司應(yīng)如何安排車輛最節(jié)省費用？【答案】I.1輛大貨車一次可以運貨5噸，1輛小貨車一次可以運貨3.5噸；Ⅱ.當(dāng)該貨運公司安排大貨車8輛，小貨車2輛時花費最少．【解析】I.設(shè)1輛大貨車一次可以運貨x噸，1輛小貨車一次可以運貨y噸．根據(jù)題意可得，解得．答：1輛大貨車一次可以運貨5噸，1輛小貨車一次可以運貨3.5噸．Ⅱ.設(shè)貨運公司安排大貨車m輛，則小貨車需要安排輛，根據(jù)題意可得，解得，∵m為正整數(shù)，∴m可以取8，9，10．當(dāng)時，該貨運公司需花費（元）．當(dāng)時，該貨運公司需花費（元）．當(dāng)時，該貨運公司需花費（元）．∴當(dāng)時花費最少．答：當(dāng)該貨運公司安排大貨車8輛，小貨車2輛時花費最少．【名師點睛】本題以運貨安排車輛為背景考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想，考查了學(xué)生用方程解實際問題的能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立方程組，并利用不等式求解大貨車的數(shù)量，解題時注意題意中一次運完的含義，此類試題常用的方法為建立方程，利用不等式或者一次函數(shù)性質(zhì)確定方案．2．【2019年黑龍江省大慶市初中畢業(yè)升學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬測試卷】某市某中學(xué)組織部分學(xué)生去某地開展研學(xué)旅行活動，在參加此次活動的師生中，若每位老師帶17個學(xué)生，還剩12個學(xué)生沒人帶；若每位老師帶18個學(xué)生，就有一位老師少帶4個學(xué)生，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示．甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）3042租金/（元/輛）300400學(xué)校計劃此次研學(xué)旅行活動的租車總費用不超過3100元，為了安全，每輛客車上至少要有2名老師．（1）參加此次研學(xué)旅行活動的老師和學(xué)生各有多少人？（2）①既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛客車上至少要有2名老師，需租用幾輛客車；②求租車費用的最小值．【答案】（1）老師有16名，學(xué)生有284名；（2）①需租8輛客車；②租車費用最低為2900元．【解析】（1）設(shè)老師有x名，學(xué)生有y名，依題意，列方程組為，解得，答：老師有16名，學(xué)生有284名；（2）①∵每輛客車上至少要有2名老師，∴汽車總數(shù)不能大于8輛；要保證300名師生有車坐，汽車總數(shù)不能小于（取整為8）輛，∴需租8輛客車；②設(shè)租用x輛乙種客車，則甲種客車數(shù)為（8–x）輛，∵車總費用不超過3100元，∴400x+300（8–x）≤3100，解得x≤7，為使300名師生都有座，∴42x+30（8–x）≥300，解得x≥5，∴5≤x≤7（x為整數(shù)），∵乙種車輛租金高，∴租用乙種車輛最少，租車費用最低，∴租用甲種客車3輛，乙種客車5輛，租車費用最低為2900元．3．【2019年廣西梧州市中考數(shù)學(xué)二模試卷】為了保護環(huán)境，某開發(fā)區(qū)綜合治理指揮部決定購買A、B兩種型號的污水處理設(shè)備共10臺（注：要求同時有兩種型號），買2臺A型設(shè)備和3臺B型設(shè)備共需要90萬元，其中A型設(shè)備單價是B型設(shè)備單價的1.5倍；經(jīng)預(yù)算，指揮部購買污水處理設(shè)備經(jīng)費不超過180萬元，請解答下列問題：（1）A型設(shè)備和B型設(shè)備的單價各是多少萬元？（2）指揮部有哪幾種購買方案？（3）若A型設(shè)備月處理污水量200噸，B型設(shè)備月處理污水量180噸，現(xiàn)要求月處理污水量不低于1840噸，設(shè)購買設(shè)備需要總費用為y萬元，A型設(shè)備x臺，請寫出y與x的函數(shù)解析式，并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇更省錢的購買方案？【答案】（1）A型設(shè)備和B型設(shè)備的單價各是22.5萬元、15萬元；（2）4種購買方案；（3）當(dāng)購買A型設(shè)備2臺，B型設(shè)備8臺更省錢．【解析】（1）設(shè)A型設(shè)備和B型設(shè)備的單價各是x萬元、y萬元，，得．答：A型設(shè)備和B型設(shè)備的單價各是22.5萬元、15萬元；（2）設(shè)購買A型設(shè)備a臺，則購買B型設(shè)備（10–a）臺，22.5a+15（10–a）≤180，解得a≤4，∵a≥1，∴1≤a≤4，∴共有4種購買方案，方案一：購買A型設(shè)備1臺，B型設(shè)備9臺；方案二：購買A型設(shè)備2臺，B型設(shè)備8臺；方案三：購買A型設(shè)備3臺，B型設(shè)備7臺；方案四：購買A型設(shè)備4臺，B型設(shè)備6臺；（3）由題意可得，y與x的函數(shù)解析式是：y=22.5x+15（10–x）=7.5x+150，即y與x的函數(shù)解析式是y=7.5x+150，∵A型設(shè)備月處理污水量200噸、B型設(shè)各月處理污水量180噸，現(xiàn)要求月處理污水量不低于1840噸，∴200x+180（10–x）≥1840，解得x≥2，由（2）知x≤4，∴2≤x≤4，∴當(dāng)x=2時，y取得最小值，此時y=165，即當(dāng)購買A型設(shè)備2臺，B型設(shè)備8臺更省錢．4．【2019年江蘇省泰州市姜堰區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試卷】五一期間，某商場計劃購進甲、乙兩種商品，已知購進甲商品1件和乙商品3件共需240元；購進甲商品2件和乙商品1件共需130元．（1）求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元；（2）商場決定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，為滿足市場需求，需購進甲、乙兩種商品共100件，且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍，請你求出獲利最大的進貨方案，并確定最大利潤．【答案】（1）甲商品每件進價30元，乙商品每件進價70元；（2）甲商品進80件，乙商品進20件，最大利潤是1200元．【解析】（1）設(shè)商品每件進價x元，乙商品每件進價y元，得，解得．答：甲商品每件進價30元，乙商品每件進價70元；（2）設(shè)甲商品進a件，乙商品（100–a）件，由題意得，a≥4（100–a），解得a≥80，設(shè)利潤為y元，則y=10a+20（100–a）=–10a+2000，∵y隨a的增大而減小，∴要使利潤最大，則a取最小值，∴a=80，∴y=2000–10×80=1200．答：甲商品進80件，乙商品進20件，最大利潤是1200元．【名師點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．5．【云南省紅河州蒙自市2019屆九年級初中學(xué)業(yè)水平模擬考試試題】某校一課外小組準(zhǔn)備進行“綠色環(huán)?！钡男麄骰顒?，需要印刷一批宣傳單，學(xué)校附近有甲、乙兩家印刷社，甲印刷社收費y（元）與印數(shù)x（張）的函數(shù)關(guān)系是：y=0.15x；乙印刷社收費y（元）與印數(shù)x（張）的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（1）寫出乙印刷社的收費y（元）與印數(shù)x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該小組在甲、乙兩印刷社打印了相同數(shù)量的宣傳單共用去70元，則共打印多少張宣傳單？（3）活動結(jié)束后，市民反映良好，興趣小組決定再加印1500張宣傳單，若在甲、乙印刷社中選一家，興趣小組應(yīng)選擇哪家印刷社比較劃算？【答案】（1）；（2）共打印400張宣傳單；（3）興趣小組決定再加印1500張宣傳單，興趣小組應(yīng)選擇乙印刷社比較劃算．【解析】（1）當(dāng)0≤x≤500，設(shè)y=k1x，由題意可知500k1=100，解得k1=0.2，即y=0.2x；當(dāng)x>500時，設(shè)y=k2x+b，根據(jù)題意得，解得，即y=0.1x+50，故乙印刷社的收費y（元）與印數(shù)x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=；（2）根據(jù)題意得：0.15x+0.2x=70，解得x=200，故共打印400張宣傳單；（3）當(dāng)0≤x≤500時，0.15x<0.20x，選擇甲印刷社；當(dāng)x>500時，若0.15x<0.1x+50，解得x<1000，即500<x<1000，選擇甲印刷社劃算；若0.15x=0.1x+50，解得x=1000，即x=1000．選擇兩家印刷社一樣劃算；若0.15x>0.1x+50，解得x>1000，即x>1000，選擇乙印刷社劃算；綜上所述，0≤x<1000時選擇甲印刷社劃算，x=1000時選擇兩家印刷社一樣劃算，x>1000時選擇乙印刷社劃算．答：興趣小組決定再加印1500張宣傳單，興趣小組應(yīng)選擇乙印刷社比較劃算．【名師點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題意，找出題目蘊含的數(shù)量關(guān)系解決問題．6．【2018年河南省安陽市中考數(shù)學(xué)二模試卷】某市飛翔航模小隊，計劃購進一批無人機．已知3臺A型無人機和4臺B型無人機共需6400元，4臺A型無人機和3臺B型無人機共需6200元．（1）求一臺A型無人機和一臺B型無人機的售價各是多少元；（2）該航模小隊一次購進兩種型號的無人機共50臺，并且B型無人機的數(shù)量不少于A型無人機的數(shù)量的2倍．設(shè)購進A型無人機x臺，總費用為y元．①求y與x的關(guān)系式；②購進A型、B型無人機各多少臺，才能使總費用最少？【答案】（1）一臺A型無人機售價800元，一臺B型無人機的售價1000元；（2）①y=–200x+50000；②購進A型、B型無人機各16臺、34臺時，才能使總費用最少．【解析】（1）設(shè)一臺A型無人機售價x元，一臺B型無人機的售價y元，，解得，答：一臺A型無人機售價元，一臺B型無人機的售價元；（2）①由題意可得，即y與x的函數(shù)關(guān)系式為；②∵B型無人機的數(shù)量不少于A型無人機的數(shù)量的2倍，，解得，，∴當(dāng)時，y取得最小值，此時.答：購進A型、B型無人機各臺、臺時，才能使總費用最少．7．【浙江省樂清市2019屆1月初中畢業(yè)升學(xué)考試適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題】某校圖書館為了滿足同學(xué)們閱讀課外書的需求，計劃購進甲、乙兩種圖書共100套，其中甲種圖書每套120元，乙種圖書每套80元．設(shè)購買甲種圖書的數(shù)量套．（1）按計劃用11000元購進甲、乙兩種圖書時，問購進這甲、乙兩種圖書各多少套？（2）若購買甲種圖書的數(shù)量要不少于乙種圖書的數(shù)量的，購買兩種圖書的總費用為w元，求出最少總費用．（3）圖書館在不增加購買數(shù)量的情況下，增加購買丙種圖書，要求甲種圖書與丙種圖書的購買費用相同．丙種圖書每套100元，總費用比（2）中最少總費用多出1240元，請直接寫出購買方案．【答案】（1）購進甲種件，乙種25件；（2）9000；（3）甲種35套，乙種23套，丙種42套．【解析】（1）設(shè)購進甲種套，乙種()套，則120x+80(100–x)=11000，解得x=75，100–75=25（套）．答：購進甲種套，乙種25套．（2）設(shè)購進甲種x套，則，解得，購買兩種圖書的總費用，∵，∴隨的增大而增大∵，∴當(dāng)=25時，最少總費用是9000．（3）設(shè)購買丙種圖書為y本，由題意知120x=100y，∴y=1.2x，于是有120x+100y+80（100–x–y）=9000+1240，解得x=35，則1.2x=42，∴100–x–1.2x=23．答：滿足條件的方案是購買甲種圖書35套，乙種圖書23套，丙種圖書42套．8．【2019年江蘇省鹽城市射陽縣實驗初中中考數(shù)學(xué)模擬試卷】某企業(yè)有員工300人生產(chǎn)A種產(chǎn)品，平均每人每年可創(chuàng)造利潤m萬元（m為大于零的常數(shù)）．為減員增效，決定從中調(diào)配x人去生產(chǎn)新開發(fā)的B種產(chǎn)品．根據(jù)評估，調(diào)配后繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可增加20%，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的員工平均每人每年可創(chuàng)造利潤1.54m萬元．（1）調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤為__________萬元，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤為__________萬元（用含m的代數(shù)式表示）．若設(shè)調(diào)配后企業(yè)全年的總利潤為y萬元，則y關(guān)于x的關(guān)系式為__________；（2）若要求調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤不少于調(diào)配前企業(yè)年利潤的五分之四，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤大于調(diào)配前企業(yè)年利潤的一半，應(yīng)有哪幾種調(diào)配方案？請設(shè)計出來，并指出其中哪種方案全年總利潤最大（必要時運算過程可保留3個有效數(shù)字）．（3）企業(yè)決定將（2）中的年最大總利潤（m=2）繼續(xù)投資開發(fā)新產(chǎn)品，現(xiàn)有六種產(chǎn)品可供選擇（不得重復(fù)投資同一種產(chǎn)品），各產(chǎn)品所需資金以及所獲利潤如下表：產(chǎn)品CDEFGH所需資金（萬元）200348240288240500年利潤（萬元）508020604085如果你是企業(yè)決策者，為使此項投資所獲年利潤不少于145萬元，你可以投資開發(fā)哪些產(chǎn)品？請你寫出兩種投資方案．【答案】（1）（300–x）（1+20%）m；1.54mx；y=（300–x）（1+20%）m+1.54mx；（2）①202人生產(chǎn)A產(chǎn)品，98人生產(chǎn)B產(chǎn)品；②201人生產(chǎn)A產(chǎn)品，99人生產(chǎn)B產(chǎn)品；③200人生產(chǎn)A產(chǎn)品，100人生產(chǎn)B產(chǎn)品；200人生產(chǎn)A產(chǎn)品，100人生產(chǎn)B產(chǎn)品總利潤最大；（3）由所獲年利潤不少于145萬元，可得投資產(chǎn)品為F、H或C、D、E或C、D、G或C、F、G．【解析】（1）生產(chǎn)A種產(chǎn)品的人數(shù)為300–x，平均每人每年創(chuàng)造的利潤為m×（1+20%）萬元，所以調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤為（300–x）（1+20%）m萬元；生產(chǎn)B種產(chǎn)品的人數(shù)為x，平均每人每年創(chuàng)造的利潤為1.54m，∴生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤為1.54mx萬元，調(diào)配后企業(yè)全年的總利潤y=（300–x）（1+20%）m+1.54mx．故答案為：（300–x）（1+20%）m；1.54mx；y=（300–x）（1+20%）m+1.54mx；（2），解得<x≤100，∵x為正整數(shù)