高考數(shù)學(xué)真題及變式題 7直線與圓的方程學(xué)生版

第第頁(yè)高考真題及變式題7直線與圓的方程考情分析：2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直線與圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，Ⅱ卷在多選題的一個(gè)選項(xiàng)中考到了直線與圓相切的問(wèn)題，在壓軸題中也有直線斜率的影子。直線與圓直接考查的話，難度一般是較易的，一般計(jì)算不出錯(cuò)即可。在一些上難度的題型中，往往有直線斜率的一些影子。直線與圓的考查以常規(guī)題型、常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合基本不等式、函數(shù)、三角形面積等知識(shí)考查最值問(wèn)題。直線與圓的復(fù)習(xí)應(yīng)關(guān)注：直線、圓的方程及位置關(guān)系，直線方程的求解、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解、含參直線方程中參數(shù)取值范圍求解、直線與圓的位置關(guān)系中涉及的弦長(zhǎng)與切線方程的求解。預(yù)計(jì)2025年高考如果考查直線與圓，還是主要考查直線與圓的位置關(guān)系。必備知識(shí)：一．直線(一)直線的方程1．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.2．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．即k＝tanα(α≠90°)．(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).注意：①直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān)．②當(dāng)x1=x③傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；(3)三點(diǎn)共線兩直線的斜率相等→三點(diǎn)共線；反過(guò)來(lái)，三點(diǎn)共線，則直線的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在．(二)直線的方程1、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用(三)兩直線的位置關(guān)系：1.當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率都存在時(shí)：(1)兩直線平行：l1∥l2?k1＝k2且b1(2)兩直線垂直：l1⊥l2?k1·k2＝－1.提醒當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略.2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：線段AB的中點(diǎn)為：M（3.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組A14.兩直線的夾角公式若直線y=k1x+b1與直線y=5.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距離．|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d=A特例：若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離(3)兩條平行直線間的距離：l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d=C注：兩平行直線方程中，x，y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等．二．圓(一)圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圓心C(?D2,?E2)，半徑r＝12eq\r(D2＋E(3)直徑式方程：若，以線段AB為直徑的圓的方程是(二)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：①|(zhì)MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；②|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；③|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．(2)點(diǎn)M(x0，y0)與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．(三)直線與圓的位置關(guān)系直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元后利用判別式Δ判斷Δ>0Δ＝0Δ<0(四)圓與圓位置關(guān)系(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)公切線條數(shù)43210(2)代數(shù)法：通過(guò)兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．(3)圓C1【直線與圓常用結(jié)論】(一)直線1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P(x1,y12.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)P(x1,y1)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為P'故可得kl?k3.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱法一：在已知直線上任取兩點(diǎn)，求出它們關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩對(duì)稱點(diǎn)式求出對(duì)稱直線方程；法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．4.直線關(guān)于直線對(duì)稱求直線l1:ax+by+c=0，關(guān)于直線l第一步：聯(lián)立l1,l第二步：算出l1上任一點(diǎn)（非交點(diǎn)）Q(x1,y1第三步：利用兩點(diǎn)求出l35.常見的一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k?y,k?x)，關(guān)于直線x?y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k+y,x?k)．6.直線系(1)過(guò)定點(diǎn)直線系:過(guò)已知點(diǎn)P(x0,y0(2)斜率為定值直線系:斜率為的直線系方程y=kx+b（是參數(shù)）．(3)平行直線系與已知直線Ax+By+C=0平行的直線系方程Ax+By+m=0（m為參數(shù),m≠(4)垂直直線系與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程Bx?Ay+m=0（m為參數(shù)）．(5)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系過(guò)兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．(二)圓1.關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論(1)過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為:．(2)過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線為:(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為:(4)求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形符合題意，需要加上斜率不存在的那一條．題型一直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系【真題在線】【2024新高考Ⅱ卷T10】(多選題)拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【2024北京卷T3】圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【2024甲卷T12】已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．【2023新高考Ⅰ卷T6】過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【2023新高考Ⅱ卷T15】已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值．【2022新高考Ⅰ卷T14】寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【2022新高考Ⅱ卷T15】設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．【變式題基礎(chǔ)】1.圓x2＋y2＋2x－1＝0的圓心到直線y＝x＋3的距離為（

）A．1 B．2C．D．22.圓的圓心到直線的距離為（

）A．2 B． C． D．3.（2024·陜西西安·三模）若過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東汕頭·三模）已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，（i）則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（ii）若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是.【變式題鞏固】1.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．62.直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·三模）直線與相交于兩點(diǎn)，若是直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或 B．或 C．或 D．或4．（2024·山東煙臺(tái)·三模）若圓與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．5．（2024·北京·三模）已知直線，圓，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線被圓所截弦長(zhǎng)為；C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓不關(guān)于直線對(duì)稱；D．存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切．6．(多選題)（2024·河南鄭州·三模）已知直線（不同時(shí)為0），圓，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與圓相切B．當(dāng)時(shí)，直線與圓不可能相交C．當(dāng)時(shí)，與圓外切且與直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是一條拋物線D．當(dāng)時(shí)，直線與坐標(biāo)軸相交于兩點(diǎn)，則圓上存在點(diǎn)滿足7．(多選題)（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．【變式題提高】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與圓C：相交于點(diǎn)A，B，若，則（

）A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－72.已知C，D是圓：上兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)P，若以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，則CD最小值為（

）A． B． C． D．3.（2024·江西新余·二模）已知直線交圓C：于M，N兩點(diǎn)，則“為正三角形”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．（2024·北京·三模）已知，若點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知直線：與圓：，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，則的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2024·重慶·二模）已知圓是圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若，則（

）A． B．3 C． D．7．（2024·北京·三模）已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024·江西鷹潭·三模）已知，直線與的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（

）A． B． C． D．9．(多選題)（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知圓，直線，則（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．直線與圓可能相切D．若圓與圓恰有三條公切線，則10．(多選題)（2024·山西臨汾·三模）已知是以為圓心，為半徑的圓上任意兩點(diǎn)，且滿足，是的中點(diǎn)，若存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，滿足，則線段長(zhǎng)度的可能值為（

）A．3 B．4 C．5 D．611．(多選題)（2024·山東青島·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在圓和上，動(dòng)點(diǎn)在軸上，則（

）A．圓的半徑為3B．圓和圓相離C．的最小值為D．過(guò)點(diǎn)做圓的切線，則切線長(zhǎng)最短為12．(多選題)（2024·浙江紹興·三模）已知，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．外接圓圓心的軌跡方程為D．重心的軌跡方程為13．（2024·天津和平·三模）已知圓以點(diǎn)為圓心，且與直線相切，則滿足以上條件的圓的半