山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023~2024學(xué)年懷仁一中高二年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若可導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榭蓪?dǎo)函數(shù)滿足，所以.故選：D2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在R上單調(diào)遞減 D.在R上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)性.【詳解】∵導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸及x軸上方，則，函數(shù)為增函數(shù),∴在R上遞增.故選：D.3.曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.【詳解】令，則，設(shè)該曲線在點(diǎn)處切線為，需求曲線到直線的距離最小，必有該切線的斜率為2，所以，解得，則切點(diǎn)為，故切線的方程為，即，所以直線到直線距離為，即該曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為.故選：C4.從4位男同學(xué)、5位女同學(xué)中選出3位同學(xué)，男女生都要有的選法有（）A.140種 B.44種 C.70種 D.252種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算，結(jié)合間接法求解即可.【詳解】利用間接法可得男女生都要有的選法種數(shù)為.故選：C.5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可得在上恒成立，分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在時(shí)取得最大值4，所以，所以的最小值為4.故選：D．6.被除所得的余數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，而的展開式中除最后一項(xiàng)外，其它項(xiàng)均能被8整除，所以將其最后一項(xiàng)加上10，再除以8可得結(jié)果詳解】，其中所有含有的項(xiàng)都能被整除，只剩下，被除所得的余數(shù)是，故選：A.7.，則等于（）A.180 B. C.45 D.【答案】C【解析】【分析】求出二項(xiàng)式通項(xiàng)公式，賦值后代入求解即可.【詳解】，展開式的通項(xiàng)為，令，解得，故.故選：C.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，則不等式可化為，即，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集是.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，其中，正確的是（）A. B.C.（） D.【答案】ACD【解析】【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)判斷A；利用排列數(shù)階乘公式判斷B；利用排列數(shù)公式推理判斷C；利用組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，由組合數(shù)性質(zhì)知，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD10.某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁四名醫(yī)生奔赴某市的四個(gè)區(qū)參加防疫工作，每名醫(yī)生只能去一個(gè)區(qū)，則下列說法正確的是（）A.若四個(gè)區(qū)都有人去，則共有24種不同的安排方法B.若恰有一個(gè)區(qū)無人去，則共有144種不同的安排方法C.若甲不去區(qū)，乙不去區(qū)，且每區(qū)均有人去，則共有18種不同的安排方法D.若該醫(yī)院又計(jì)劃向這四個(gè)區(qū)捐贈(zèng)18箱防護(hù)服，且每區(qū)至少發(fā)放3箱，則共有84種不同的安排方法【答案】ABD【解析】【分析】全排列可得A正確；先將人員分組為2,1,1，再將三組人員送到三個(gè)地方可得B正確；全排中除去甲去區(qū)，乙去區(qū)，再加上多減的即可判斷C錯(cuò)誤；隔板法，先每個(gè)區(qū)發(fā)2箱，然后使用3塊隔板將剩下的10箱分成4份，且隔板不相鄰，不在兩端，再計(jì)算后可得D正確.【詳解】A：若四個(gè)區(qū)都有人去，則共有種不同的安排方法，故A正確；B：若恰有一個(gè)區(qū)無人去，則共有種不同的安排方法，故B正確；C：若甲不去區(qū)，乙不去區(qū)，且每區(qū)均有人去，則共有種不同的安排方法，故C錯(cuò)誤；D：若該醫(yī)院又計(jì)劃向這四個(gè)區(qū)捐贈(zèng)18箱防護(hù)服，且每區(qū)至少發(fā)放3箱，先每個(gè)區(qū)發(fā)2箱，然后使用3塊隔板將剩下的10箱分成4份，且隔板不相鄰，不在兩端，則共有種不同的安排方法，故D正確；故選：ABD.11.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（）A.，B.函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C.過可以作兩條直線與圖像相切D.若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則【答案】ACD【解析】【分析】由對(duì)稱中心是，結(jié)合題中“拐點(diǎn)”的定義，求出和的值，再通過求導(dǎo)畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，則，因?yàn)辄c(diǎn)是對(duì)稱中心，結(jié)合題設(shè)中“拐點(diǎn)”的定義可知，且，解得，所以A正確；對(duì)于B中，由，可知，則，令，可得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，則函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，因?yàn)?，所以點(diǎn)恰好在的圖象上，畫出函數(shù)的切線，如圖所示，由圖象可知過點(diǎn)可作函數(shù)的兩條切線，所以C正確；對(duì)于D中，若在區(qū)間上有最大值，由上圖可知，最大值只能是，所以且，解得，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.身高各不相同的六位同學(xué)A、B、C、D、E、F站成一排照相，A、C、D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有__________種站法.【答案】【解析】【分析】利用捆綁法先對(duì)A、C、D三位同學(xué)進(jìn)行排列，再對(duì)其余同學(xué)進(jìn)行全排列可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意先將A、C、D三位同學(xué)看成一個(gè)整體，A只能在C與D的中間，共有種排法，再將其他三位同學(xué)與A、C、D三位同學(xué)組成的整體進(jìn)行全排列，共有種排法，因此共有種.故答案為：13.的展開式中的系數(shù)為____________.【答案】【解析】【分析】借助二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)，有，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，則的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.已知，，若，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】首先令，并構(gòu)造函數(shù)表示，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由已知，則，得，，則，設(shè)，，令，得，當(dāng)時(shí)，h'x<0，hx單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，h'所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且是的極值點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.【答案】（1）（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為，最小值為，無最大值【解析】【分析】（1）求得，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）知，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其最值.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，且是的極值點(diǎn)，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；所以函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】解：由（1）知，令f'x>0，解；令f'所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，無最大值.即函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，最小值為，無最大值.16.某學(xué)校派出6名同學(xué)參加省教育廳主辦的理科知識(shí)競賽，分為數(shù)學(xué)競賽，物理競賽和化學(xué)競賽，該校每名同學(xué)只能參加其中一個(gè)學(xué)科的競賽，且每個(gè)學(xué)科至少有一名學(xué)生參加．（1）求該校派出的6名學(xué)生總共有多少種不同的參賽方案？（2）若甲同學(xué)主攻數(shù)學(xué)方向，必須選擇數(shù)學(xué)競賽，乙同學(xué)主攻物理方向，必須選擇物理競賽，則這6名學(xué)生一共有多少種不同的參賽方案？【答案】（1）540種；（2）65種.【解析】【分析】（1）對(duì)參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分三種情況討論，先分組、再分配求出各組情況的方案數(shù)，最后相加；（2）對(duì)選擇化學(xué)競賽的人數(shù)分四種情況討論，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理與分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【小問1詳解】若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，1，4時(shí)，共有種參賽方案；若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，2，3時(shí)，共有種參賽方案；若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為2，2，2時(shí)，共有種參賽方案；該校派出的6名學(xué)生總共有種不同的參賽方案．【小問2詳解】若有4人選擇化學(xué)競賽，則有1種參賽方案；若有3人選擇化學(xué)競賽，余下的一人有2種選法，則有種參賽方案；若有2人選擇化學(xué)競賽，余下的兩人各有2種選法，則有種參賽方案；若有1人選擇化學(xué)競賽，余下的三人各有2種選法，則有種參賽方案；所以總共有種不同的參賽方案．17.已知在的展開式中，第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．（1）求n的值；（2）求展開式中的有理項(xiàng)；（3）若其展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，求其展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．【答案】（1）（2）（3）和【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）求出展開式的通項(xiàng)，再令的指數(shù)為整數(shù)，即可得解；（3）先根據(jù)項(xiàng)的系數(shù)求出，再利用不等式組法求解即可.【小問1詳解】由題意可得，所以；【小問2詳解】展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，所以展開式中的有理項(xiàng)為；【小問3詳解】令，則，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，得，又，所以，所以二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，設(shè)第項(xiàng)為系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)，則，解得，又且，所以或，所以展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為和.18.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域，該場地由線段、、及曲線段圍成．經(jīng)測量，，米，曲線是以為對(duì)稱軸的拋物線的一部分，點(diǎn)到、的距離都是50米．現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂場，其中點(diǎn)在曲線段上，點(diǎn)、分別在線段、上，且該游樂場最短邊長不低于30米．設(shè)米，游樂場的面積為平方米．（1）試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段的方程；（2）求面積關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）試確定點(diǎn)的位置，使得游樂場的面積最大．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)到距離為米時(shí)，游樂場面積最大.【解析】【分析】（1）先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意求解析式即可；（2）根據(jù)（1）求出，求出矩形面積；（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最大值.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)曲線所在的拋物線方程為，，點(diǎn)在拋物線上，則，解得，，所以曲線段所在的拋物線方程為.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在曲線段上，，，所以，，.【小問3詳解】，，令，解得，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，是極大值也是最大值，由，米，即當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且到的距離為米時(shí)，游樂場的面積最大.19.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論f(x)（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí).【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（Ⅱ）見解析【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)在