線性代數(shù)習(xí)題解答(王中良)

線性代數(shù)習(xí)題解答（王中良）

線性代數(shù)習(xí)題解答

習(xí)題一

1.計(jì)算下列行列式。

(1)37

24=12+14=26123

(2)231=123213321111222333183618

312

OxyOxyOxy

(3)xOzxOz(1)3xOzD0yzOyzOyzO

allal2al3

(4)a21a220al3a22a31

a3100

2.解三元線性方程組：

xl2x2x32

2x1x23x

31

xlx2x30

解：

121221D2131623415,DI1135,

111011121122D221310,D32115

101110

xl1,x22,x31.

3.求下列排列的逆序數(shù)，并指出奇偶性。

(1)354612解：T=4+4+1=9奇排列

(2)7563421解：T+6+5+3+3+1+1=19奇排列1

(3)345?n21工=nT+n-2=2n-3奇排列

(n1)(n2)(4)(nT)(n-2),,21nT=(n-2)+(n-3)+?+l=2

當(dāng)n=4m時(shí),排列為奇排列；當(dāng)n=4m+l時(shí),排列為偶排列；當(dāng)n=4m+2時(shí),排列為偶排

列；當(dāng)n=4m+3時(shí),排列為奇排列。

4.求i、j使

(1)2i68j431為奇排列解：i=5,j=7.

(2)162i54j8為偶排列解：i=7,j=3.

5.在5階行列式中，下列各項(xiàng)的前面應(yīng)帶什麼符號(hào)？

(1)al3a24a31a42a55

解:因?yàn)門(34125)=2+2=4,所以此項(xiàng)前面的符號(hào)為“+”。

(2)a31a24a53al2a45al2a24a31a45a53

解:因?yàn)門(24153)=2+2=4,所以此項(xiàng)前面的符號(hào)為“+”。

6.寫出4階行列式展開式中所有帶負(fù)號(hào)且含元素a32的項(xiàng)。解：

alla23a32a44;al3a24a32a41;al4a21a32a43.

7.按定義計(jì)算行列式：all00al4

(l)Oa22a230

0a32a330alla22a33a44alla23a32a44al4a23a32a41al4a22a33a41a4100a44

0001010000020n(n1)00200

(2)(l)2n!(3)(l)nIn!

On100000OnInOOOnOO0000010

00200(n1)(n2)

(4)(l)2n!

n10000

0000n2

8.由行列式定義證明：allal2al3al4al5

a21a22

a23000

a24000

a25

0000

a31a32

a41a42a51a52

證：展開式中任意一項(xiàng)為alJla2j2a3j3a4j4a5j5,而j3,j4,j5中至少有一個(gè)取到3、

4、5中的一個(gè)，所以

a3j3,a4j4,a5j5中至少有一個(gè)數(shù)為零。故行列式的所有項(xiàng)均為零一--即行列式為零。

9.由定義計(jì)算

2x

xl2

x

21x

131

xl111

f(x)二中x4與x3的系數(shù)，并說明理由。解：x4項(xiàng)必在2xxxx中出現(xiàn)，故系

數(shù)為2；x3項(xiàng)必在al2a21a33a44x1xxx3中出現(xiàn)，系數(shù)為-1。10.計(jì)

算行列式：

5

12

32

52

12

32

524

123

3281

(1)2

341

(2)3

211

1

203199200420032001

1

13331147

6(31)3485325(47);(3)

1131444

1422

1113

131

3111

x

yxyx

xyxy

2(xy)

y

xyxy

1

2(xy)0

yx

xyyx

(4)yxy=2(xy)xy2(xy)x

Oxy

=2(xy)(x2xyy2)2(xy)(x2xyy2)2(x3y3)

x

11xll

111yl

1111y

1xxlO

1xlO

101yy

101y

xy

1xllOO

10

001

001

(5)

111

01yl

=xyxyx2y23

a2(a1)2(a2)2(a3)2a22a14a46a9

(6)b2(bl)2(b2)2(b3)22b14b46b9

c2(cl)2(c2)2(c3)2b2c22c14c46c90

d2(dl)2(d2)2(d3)2d22d14d46d9

11.計(jì)算行列式

mi

(1)4321

16941(34)(24)(14)(23)(13)(12)12

642781

23000

14000120

(2)21812023034[1(2)]22

96503414102

37102

12.用行列式按一行（列）展開公式計(jì)算行列式:

12041000

2513111111

(1)4126211

4921007109=(399327)726

3271347130357

10321032

(2)0121121121

32420

02540922221270143022

222222242

(3)254254294245011001

(1)24

29(1)(21110)(1)2(10)

272232212

(4)182182142

2143022001(1)(269)(1)(3)24

13.計(jì)算下列n階行列式：

abOO00

abOOOOab00

OabOOOOOab00a000a00

0000ab(1)

n1

bO00b

ab00

00abn1

(1)

000abbOOOa

0000Oan1

an(l)nIbn

aall010101

11(2)

11a2

1ala200

al

0a301

1

1analOO

anlll111

1aOOOalaalaO0al2

=aaala2

00112031

03

0=ala2an

101aO

al

0an

1

an

1

11ala1112aaal20n

n

=aO

n

la2an

+ala2an=ala2an(1

1)ilai

1

方法二：

al

101000OallO0D101aO00100210

a2

n

0a3001a3

10

10

1a

n

anOl

an

laOn

0ala2a3

15

alO0

0

0a200

000

alO0

00

00

a3

a2

an

111

1)ala2an

a2a3anala3anala2an1ala2anala2an(

n

ala2an(l

1

ia)1

i

方法三：

1111111101all1lalOODn0

11a2110a2

0

111an(n1)100

anl

1

In

laa

1

llaa111

02n

i1

aaaOOi

1102la2an1010ala2an

0011

1

122210002222222222320

010(2)[(n2)!]

222n

00n2

2100012100(4)D012OOn

2Dn2Dn2

0002100012

DnDn1Dn1Dn2又DI2,D23,D34

laOn

n

0ala2aln(1

i1

a)i

1

6(3)

說明Dn是一個(gè)等差數(shù)列，Dnn1.

albl

(5)

alb2

albn

a2bl

a2b2a2bn

anblanb2anbn

n2時(shí)，解：

albla2bl

alb2a2b2

(albl)(a2b2)(alb2)(a2bl)(ala2)(blb2)

al

n3時(shí)，Dn

a2an

blb2b2

b3bnb3bn

b3bn

bl

al

alala2a2

anan

000

bla2blan

注：將Dn的第一列拆分后，得到兩個(gè)相應(yīng)的行列式，將左邊行列式的第一列乘（1）再

分別加到后面各列上去；將右邊行列式的第一列加到后面的各列上去即得到上面右邊的兩

個(gè)式子。

方法二：

將Dn第一行乘（1）加到其他各行上去，得

albl

Dn

a2al

alb2albn

a2ala2al

n1albl

(ala2)(blb2)n2

On3anal

analanal

注：顯然，當(dāng)n3時(shí)，Dn從第二行起任意兩行都是成比例的。

14.試證:aOl(11

1

lalO0

100

10

0ala2an(aO

1

)ilai

n

a2(其中ai0,i1,2,n)

an

證明：從第二列起，各列提出因子ai(i1,2,,n),得

aOl

Dala2anl

1

lai

la2

lan

100

01

0ala2an

aOal

000

i1

n

i

lai2a2

Ian

100

01

0

1

(aaa)(a)12n0a0i1

i

n

01

017

abab

labab

(2)an1bn1

lababab

lab

證明：用數(shù)學(xué)歸納法證

當(dāng)n2時(shí)

Db)2aba3b3

2(aab

假設(shè)當(dāng)行列式的階數(shù)不大于n時(shí)，上述結(jié)論成立

)Danbnan1bn1

由于Dn(abn1abDn2(ab)ababab

an1abnanbbn1anbabnan1bn1

abab

由數(shù)學(xué)歸納法知，上述結(jié)論成立。

x1000

Ox100

(3)00x00n

xa1

Ixnanlxan

000x1

ananlan2a2alx

證明：由數(shù)學(xué)歸納法

n2時(shí)?

D12

2x

a2aalxa2

1xx

假設(shè)行列式的階數(shù)不大于n時(shí)，命題成立

1

XDnxDn1(l)n1xanxDn1anx(xn1a2

Ixnan2xan1)an

xn1

xnan1

lxa2

n2xanlxan

命題得證。

8

cos100012cos100

(4)012cos00cosn00012cos

證明：用數(shù)學(xué)歸納法n2時(shí)D2cos1

12cos2cos21cos2

假設(shè)階數(shù)n1時(shí)命題成立

對(duì)Dn按最后一行展開，得

Dn2cosDn1Dn2(2cos)cos(n1)cos(n2)cosn

15.計(jì)算n階行列式：

111

ala2an

1

an2

lan2n2

2an

an

lan

2an

n

解：造n1階范德蒙行列式

111

ala2an1

n

D

n1

an2

lan2n2

2an1(an1ai)i11(aiaj)jinan1

lan1

2an1

n1

an

lan

2an

n1

111

ala2an

將Dn1

n1按最后一列展開，其中有一項(xiàng)為an1

an2

lan2an2

2n

an

Ian

2an

n

且只有這一項(xiàng)含有an1

n1

而Dn(an1

n1[an11a2an)an1

1(aiaj)jin

比較之，原式(ala2an)

1(aiaj)jin9(

abbb

cabb

(2)Dnccab

ccca

abbb

cabbabbabb

解：原式ccabcabcab

0cOcOc(ab)bOOabccbacbc0

(ab)DOac0

n1(ab)D1

n1(ac)nb

ccb

b、c的對(duì)稱性，還可以得到Dn(ac)Dn1(ab)n1c,與上式聯(lián)立，消去Dn1,

解出Dn得Db(ac)nc(ab)n

nbc

注：顯然，b<:時(shí):我們會(huì)有另一種解法將各列都加到第一列上

(16)用克萊姆法則解下列線性放程組：

xlx22x3x43

(1)

4x1x22x32

5x1x32x40

xlx2x3x42

11211121

41205041541

解：D5012501203131

11112032232

31213121

D21201041141

1

0012001201231

21115032532

1321

D4220

250120,類似有D331,D462

1211

xl1,x20,x3I,x4210由

5x16x21

x5x6x32

⑵12

x5x2

236x4

x35x46x52

x45x54

解：56000

15600

D01560665,DI665,D2665,D3665,D4665,D5665

00156

00015

xl1,x21,x31,x41,x51

(17).Fibonaci數(shù)列Fn:l,2,3,5,8,滿足遞推關(guān)系:

Fl1,F22,F3Fn1Fn2,n3.試證：

110000

111000

F011100

n

000011

0000U(n階)

110000

111000

證：F11100

n0

Fn1(1)Fn2Fn1Fn2000000

000011

(18).設(shè)Ml(xl,yl),M2(x2,y2)是平面上兩個(gè)不同的點(diǎn),試證過Ml,M2的直線方程是xy

xlyl0

x2y2

證：平面上的直線方程為abxcy0

abxcy0

cyabx

110

abx2cy20

a,b,c不全為零應(yīng)有系數(shù)行列式11

xy

yl0

y2xlx2

(19).已知對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線過三點(diǎn)：(1,1),(2,1),(1,7).試求該拋物線

方程。解：設(shè)拋物線方程為tyax2bxc

tyax2

bxcax2

bycty0

由abct0

t4a2bc得abc

ct0

4a2b

7tabcabc7t0

x2xly

a,b,c,t不全為零1111

42110

1117

將上述行列式按第一行展開，得

111111111111

211x2411x421421y

117117117111

12x224x66yy2x24x1即為所求。

(20).已知平面上一個(gè)圓過三點(diǎn)：(6,1),(4,3),(3,2),求該圓的方程。

解：設(shè)圓的方程為a(x2y2)bxcyd0

a(x2y2)bxcyd0

37a6xyd0

25a4x3yd0a,b,c,d不全為零

13a3x2yd0

x2y2xy1371137637616

25430(x2y2)43x2531y254

133232132113330(x2y2)60x60y6900x2y22x2y230既為

所求。

習(xí)題二

376254133302121111123140A,B.求

AB,AB,ATB203012

202解:

AB215426AB21112314AT

B10211

23

318

314

652

2.計(jì)算

(1).310010000

34

004)0051060156

11012

(2).224102

48

13

38

351161079

1231

3.設(shè)A212

,B11

101求(1)AB;(2)ATBBTA.

321010

112(1)301(1)20311121301

解：

(l)AB211(1)202(1)10212111202

10

312(1)103(1)101131211012

123111110123012

(2)ATbBTA212101101212105

321010110321250

4.計(jì)算

1259

(1)35(2)430134

11

1424

717

917261062

⑶Oil

4326

102643(4)1

00

03

07

0400

22431223

⑸1H

1212

124

29

00

00

(6)12

3361321158

00

22

(6)123

121

1

243

29232300

292900

580033

513

allal2al3x

5,計(jì)算xlx2x

3a21aa12

2223x2a2

llxlal2xlx2al3xlx3a21x2xla22x2a31x3xla32x3x

a31a32a33x32

a33x2

aijxixj

i1J1

6.已知兩個(gè)線性替換xl2yly3

xyl3zlz2

22yl3y2y

23y22zz3求從xl,x2,x3到zl,z2,z3的線性替換

x34yly25y31y3z23z3

1ylyl

解：已知xl20

2

y

2y310zl

2201

x3415y3z

2則有

y3oz3

xl201310zl613

x

2232201

zzl

21249z2

x3415013z310116z3

7.設(shè)A,B為同階方陣，且A1

2(BE);試證A2A當(dāng)且僅當(dāng)B2E

證:A21(B22BE)1(BE)1B2111111

2B4E2B2E4B2

4244EB2E

8,設(shè)A12

10

13B12，問⑴ABBA嗎?(2)(AB)22ABB2嗎？

(3).(AB)(AB)A2B2嗎？解：AB121010

1212

131246,BA1213

38

ABBA(1),(2),(3)均不成立。

9計(jì)算:

22

(1).01

1001

10

01

1010

01(2).11

00

11

00

n

(3).10

10

11nl(4).由歸納法可證cossinnsinn

sincoscosn

sinncosn14

nnnln(n1)2n2(5).由歸納法可證

10010nnn1

00

00n

21151310.⑴設(shè)A312,f(x)x2x1,則

f(A)A2AE803

110212(2)設(shè)A2122

0033,f(x)x5x3,則f(A)A5A3E00

11.已知(DA1101;(2)12100

11

；(3)012求所有與A可交換的矩陣.312

a

解：設(shè)Babcd則由11101ac

abcdabcd1101

bdab

d

cdc0adBab

0a

(2).與上同理，設(shè)BabcdBa

2cca2c

0(3).同上,Ba

03b3ab2c2b

3c3bcbe12.舉反例說明下列命題是借誤的。

⑴若A20,則A0；反例A11112

.(2)若AA,則A0或AE;反例A1000

(3).若ABAC,且A0,則BC;反例

A1111,B1234,C01

23

有ABAC,但BC.

13.按指定分塊,用矩陣分塊乘法求F列矩陣的乘積:

(1)10110設(shè)AAA121

301A

3A其中Al2,A0

4

112130315B201，其中

B,B1120,B30,B41B4

21ABABABAB11231224則ABABABABAB12

4332443132

Al(2)AA2其中

Al102,A2213,A3420BlA3

124A1B1其中Bl01,B22則

ABA2B1230AB31

(14).用矩陣分塊乘法計(jì)算AB,其中

12101200

A312000030000

24200240

624000030006

相同。B1A42;BB3

B2A1B2544A2B24146A3B26204020000

002000A102E302A10000200

03E2OBI03B1000011300023000

注：當(dāng)矩陣分塊后成為準(zhǔn)對(duì)角形時(shí)，其乘法規(guī)則與對(duì)角矩陣39

15.設(shè)A是n階方陣，證明存在一個(gè)n階非零矩陣B,使AB0的充分必要條件是A0.

證：ABAB1,B2,,BnABI,

故命題得證。

16.試證：任意一個(gè)n階矩陣都可以表示成一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和。證：

設(shè)A為一個(gè)任意的n階矩陣，則A11(AAT)(AAT)。顯然22

AB2,,ABn0ABi0(i1,2,,n)Bi為線性方程組AX0的解。若Bi不全為

零，則充分必要條件為方程組的系數(shù)行列式A0.11(AAT)是一個(gè)對(duì)稱矩陣，而(AAT)

是一個(gè)反對(duì)稱矩陣。命題得證。22

17.試證：如果A是n階對(duì)稱矩陣，B是n階反對(duì)稱矩陣，則ABBA是反對(duì)稱矩陣。

證：(ABBA)T(AB)T(BA)TBTATATBTBAAB(ABBA)

故命題得證。

16

18.試證：如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，且A20,則A0.

n

a2

1j**

j1

證：A2AAT*n

a2

2j*

n

j1a2ij（其中i1,2,,n）

0

J1

n

**

a2nj

j1

aij0A0

19.試證：如果A與B都是n階對(duì)稱矩陣，那么AB也對(duì)稱的充分必要條件是A與B可交

換。證：已知ATA,BTB.假設(shè)AB對(duì)稱，則有AB(AB)TBTATBA;反之假設(shè)

ABBABTAT(AB)T,則有(AB)TAB.故命題得證。

20.試證：若A是n階矩陣，且滿足AATE,A1,則EA0.

EAAATAAATEA(AE)TAAEEAEA0.

21.試證：若A是n階矩陣，n是奇數(shù)，且滿足AATE,A1,則EA0.

EAAATAAATE(AE)TAE(l)nEAEAEA0

22.判斷下列矩陣是否可逆？若可逆，求它的逆矩陣：

(1)ab

cd,adbe0

ab1

解：

cd1

adbedb

ca

12

121523

53453414

313

12sin1

36不可逆;(4)cossin

sincoscos

sincos

12112131111

⑸

345543

53(6)

221012214

225111101112

23.設(shè)A為n階方陣，Ak0(k2為正整數(shù))，求EA1.

解：有Ak0AkEkEkEEkAk(EA)(EAA2Ak1)

(EA)1(EAAk1).

17

24.設(shè)方陣A滿足A2A3E0,證明AE和A2E都可逆，并求它們的逆矩陣。證:

A2A3E(AE)(A2E)E0(AE)1(A2E)

A2A3E(A2E)(A3E)3E0(A2E)11

3(A3E)

25.設(shè)A為n階矩陣，AE為可逆矩陣，如果f(A)(EA)(AE)1,證明：

(1)[Ef(A)](EA)2E;

(2)f[f(A)]A.

證：(1).[EfA)](EA)[E(EA)(EA)1](EA)EAEA2E.

(2).f[f(A)][Ef(A)][f(A)E]1[E(EA)(AE)1]1

2(EA)

1

2(EA)1

2(EA)A

26.試證：如果A是可逆矩陣，則A*也可逆，并求A*及(A*)1.

證：AA*AE,兩邊取行列式A*An10A*可逆。

又由AA*AE1AA*EA*

A11

AA.

又由(A1)(AD*AIE(A1)*1A(A*)1(A1)*

A?

27.設(shè)A為3階矩陣，且A1

2,求(3A)12A*(3A)12A*1

3A12A*2

3A*2A*4

3A*(4116

3)3(2)3127.

28.試證：如果A是可逆對(duì)稱(反對(duì)稱)矩陣，那麼A1也是對(duì)稱(反對(duì)稱)矩陣。

證：⑴由ATAA1(AT)1(A1)TA1為對(duì)稱矩陣。

(2)由ATA(AT)1A1(A1)TA1A1為反對(duì)稱矩陣。

29.試證：設(shè)B0B

1

B0，其中B1,B2均為可逆矩陣，則B也可逆，并且

2

BOB1

12

B1

10.

證：0B

10B10

B20

2

10E

Bl0EE.故命題得證。

30.求下列矩陣的逆矩陣：

1

5600035104

(1)4500

047

56000

450003

00118

00563007500.0067;(2)0

00768

006511400

430018

31.用初等變換法求下列矩陣的逆矩陣：

12313100123100

⑴00

212010

12

034210011101134001011101001513

1001123121

21

0106142121

614

001513134

513

1200100010000001

(2)20120100

010000

1101001001011230

100000010001

01

1

12000001

2012

001101

1123

100001

32.設(shè)A為n階可逆矩陣，Al為n1矩陣，為常數(shù)，記分塊矩陣

PE0AA

AT

1A*A,Q

1

AT

lb;

其中A*是A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣。

(1)計(jì)算并簡(jiǎn)化PQ;

⑵證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是AT

1A1A1b.

解：(l)PQEOAAA

1Al

AT

1A*A

AT

lbAT*T

1AAAA1AT*A

1AA1b

AA

1

OA(bATA1

1A1)

⑵由P可逆，故Q可逆PQ可逆PQA2(bAT1

1AA1)0bAT

1A1A1

1111

33.設(shè)A1111

1

0011用分塊法及不分塊的方式求A.

0011

解：僅就分塊法給出過程。

令A(yù)BC

111111111B1B1CD10D，則

B211,D211，由A0D1191111

11111

20011

011

34.求下列矩陣方程

(1)23

35X12

34

1

解：X2312

531242

3534323432

(2)X111

022213

045

110

1111

解：X213

045

0221

11064716

2142

11110

(3)0111

H'OX11210

1

100012211

11111100111324

解：X110110112112

100211012402

221

35.設(shè)矩陣A102，求矩陣X,使AXAX.

271

157

解：由AXAXAXXA(AE)XAX(AE)1A41

53

111

36.矩陣AOil2X.

，求矩陣X,使A*XA1

OOI

解：由A*XA12X(A*2E)XA1兩邊同時(shí)左乘A(AA*2A)XE

X(AE2A)11110

4011

101

3102011137.設(shè)矩陣AOil

，求矩陣X,使A2AXE.

001

021

解：由A2AXEA(AX)EAXA1XAA1000

000

38.計(jì)算下列矩陣的秩：

12

41312413124

1(1).A37

61501644

640111105701644

00004112800318121200

00R(A)2

01

11211011(2).A022200111R(A)4

01111

011011000100404

39.試確定參數(shù)的值使矩陣A的秩最小112A215

11061

1121

106111061

解：A2150105101

12

11106102112321010517

110

126

101

1

5)(213)7

33時(shí),R(A)2為最小。

00217

xl

x2x3140.判斷下述線性方程組有無解：

xl2x2

3x34xl4x29x316xl8x227x364

1

111解：A

12

341

4

9

10

0,R(A)4,但R(A)3,方程組無解。

182764

3

4

0

0

21

41.用消元法求解下列線性方程組:

3x2xl2x5x2(1).1

3x17x2

x2xl7x32x33x32x310124

710137101325210111621解：(用第四

行乘(3)加到第二行上去)

0162432373211244560

137101001101130101唯一

解為X

1.00480012204500006

2315610113xl3x3x4(2).31245

01114一般解為x24x3x412311100000

2315812(3).A3124507

12311100

1533961(4).132510

263103031117730方程組無解。

0023053x33x20101一般解為1x3100005x4

131202351(5).A1743041579

0

注：求解方程組時(shí)，對(duì)增廣矩陣只能做初等行變換。1xx413210

一般解為x2x4301x1x0003430022

42.試證：線性方程組xlx2x3x4x5

x2x3x4x5xl

ala2a3a4a5

001lOal

00110a2

00110a301100a400000a5

ala2a3

方程組有解a45aii1

有解的充分必要條件是ai0,在有解時(shí)，求出一般解。

i15

00110

11000

證：A00110

00110

00110

a

i1

5

i

0

1

0

0

00

000laia2a3a4

xl

100la2a3a4x

一般解為2010la3a4

x3

001la4

x400000

ala2

a2

a3a3a3

a4a4a4a4

x5x5x5x5

x5為自由未知量。

43.當(dāng)a和b取什麼值時(shí)，線性方程組有解？在有解時(shí)，求它的一般解。xlx2

x2

3x12x25x14x21

0

解：

35

x32x3x33x3111

x42x4x43x4

1

x56x53x5x5

13ab

11

122630

1226a30

1226b50

x3x45x52x3

2x4

6x5

1

1

1

1

0115100

200

200

600

2

3ab2

11

122630

02113a0433lbn5xl2

a0,b2時(shí)有解，一般解為

x2323

44.當(dāng)a取何值時(shí)，齊次線性方程組

2x2(a2)x1(a5)x22x12x4x21

a2

A22a52x34x3(a5)x324a22000有非零解，并求出它的一

般解。2a524a2(a1)222a222a54(a1)2a94

24a50alaOil

(al)a22

2a9(al)2(a10)

當(dāng)a1且a10時(shí)，方程組只有零解。

12222

a1時(shí)A2441

00

0一般解為xl2x22x3

000000

8220

a10時(shí)A1541

1

0一般解為xl

11x3

245000x2

2x3

45.取何值口寸，方程組2x1x2x31

XX

1x232

4x15x25x31

無解，有唯一解或無窮多解？并在有無窮多解時(shí)寫出方程組的一般解。

21210

A1111(54)(1)

4555400

211

1且4

5時(shí)，方程組有唯一解。4

5時(shí)，112

4551

104

55

45510

10455

4551R(A)RO,方程組無解。

45510009

1時(shí)，2111

111211121001

03330111

455103330000

00124(按最后一行展開)(A)R(23,方程組有無窮多解，一般解為

xl1

x21x3

習(xí)題三

1.坐標(biāo)平面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什麼特點(diǎn)？指出下列各點(diǎn)的位置：

A(1,3,0),B(0,2,5),C(4,0,0),D(0,2,0).

解：xy平面上的點(diǎn)：(x,y,0);yz平面上的點(diǎn)：(0,y,z);xz平面上的點(diǎn)：(x,0,z);

x軸上的點(diǎn)；(x,0,0);y軸上的點(diǎn)：(0,y,o);z軸上的點(diǎn)：(0,0,z)

A在xy平面上;B在yz平面上;C摘x軸上;D在y軸上。

2.求點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于(1)各坐標(biāo)平面；(2)各坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：(1)關(guān)于xy平面：(X,y,z);⑵關(guān)于x軸：(x,y,z);(3)關(guān)于原

點(diǎn)：(x,y,z)

3.求點(diǎn)P(3,4,5)與原點(diǎn)及各坐標(biāo)平面間的距離。

P09425252

P與x軸的距離PA5242;P與y軸的距離PB325241;P與z軸PC5

4.在yoz平面上，求與三個(gè)已知點(diǎn)A(3,1,2),B(4,2,2)及C(0,5,1)等距離的點(diǎn).

解:設(shè)點(diǎn)為P(0,y,z),則有

PAPBPC(03)2(y1)2(z2)2(04)2(y2)2

(z2)202(y5)2(z1)26y8z10

14y6z2yl,z2;點(diǎn)P(0,x,y)(0,1,2)

5.在y軸上,求與點(diǎn)A94,2,1)和B(3,5,1)等距離的點(diǎn)。

解：設(shè)點(diǎn)P(O,y,O),由已知

(04)2(y2)2(01)2(03)2(y5)2(01)2

y1,P(0,y,0)P(0,1,