7.1隨機現(xiàn)象與隨機事件課件高一上學期數(shù)學北師大版

1隨機現(xiàn)象與隨機事件第七章概率北師大版

數(shù)學

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.了解隨機現(xiàn)象、樣本點和樣本空間的概念.2.理解隨機事件的概念,在實際問題中,能正確地求出事件包含的樣本點的個數(shù),并會寫出相應(yīng)的樣本空間.3.理解事件的關(guān)系與運算,并會簡單應(yīng)用.4.理解互斥事件與對立事件的概念及二者之間的關(guān)系.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

現(xiàn)象的相關(guān)概念1.確定性現(xiàn)象:在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象.2.隨機現(xiàn)象:在一定條件下,進行試驗或觀察會出現(xiàn)不同的結(jié)果,而且每次試驗之前都無法預言會出現(xiàn)哪一種結(jié)果的現(xiàn)象,稱為隨機現(xiàn)象.名師點睛隨機現(xiàn)象的兩個特點(1)結(jié)果至少有兩種;(2)事先并不知道會出現(xiàn)哪一種結(jié)果.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)確定性現(xiàn)象是必然發(fā)生的現(xiàn)象.(

)(2)隨機現(xiàn)象是在試驗之前能預測出會出現(xiàn)哪一個結(jié)果的現(xiàn)象.(

)√×2.以下現(xiàn)象是隨機現(xiàn)象的是(

)A.過了冬天就是春天B.物體只在重力作用下自由下落C.不共線的三點確定一個平面D.下一屆奧運會中國獲得30枚金牌D解析

A,B,C均是確定性現(xiàn)象,D是隨機現(xiàn)象.知識點2

樣本空間1.試驗:在概率與統(tǒng)計中,把觀察隨機現(xiàn)象或為了某種目的而進行的實驗統(tǒng)稱為試驗,一般用E表示,把觀察結(jié)果或?qū)嶒灲Y(jié)果稱為試驗結(jié)果.2.樣本空間:一般地,將試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為試驗E的樣本空間,記作Ω.3.樣本點:樣本空間Ω的元素,即試驗E的每種可能結(jié)果,稱為試驗E的樣本點,記作ω.4.有限樣本空間:如果樣本空間Ω的樣本點的個數(shù)是有限的,那么稱樣本空間Ω為有限樣本空間.思考辨析對于同一試驗E的樣本點與樣本空間是什么關(guān)系?提示

樣本空間是集合,樣本點是樣本空間里的元素.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)如果試驗E的樣本空間中只含有一個樣本點,則它是有限樣本空間.(

)(2)樣本空間Ω是其自身的子集,因此Ω是一個事件.(

)(3)空集不含任何樣本點,因此空集不是一個事件.(

)√√×2.[人教A版教材例題]拋擲一枚硬幣,觀察它落地時哪一面朝上,寫出試驗的樣本空間.解

因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結(jié)果,所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上,反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,則樣本空間Ω={h,t}.3.[人教A版教材例題]拋擲兩枚硬幣,觀察它們落地時朝上的面的情況,寫出試驗的樣本空間.解

擲兩枚硬幣,第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示,第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示,那么試驗的樣本點可用(x,y)表示.于是,試驗的樣本空間Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.知識點3

隨機事件1.隨機事件:一般地,把試驗E的樣本空間Ω的子集稱為E的隨機事件,簡稱事件.常用A,B,C等表示.2.必然事件:樣本空間Ω是其自身的子集,因此Ω也是一個事件;又因為它包含所有的樣本點,每次試驗無論哪個樣本點ω出現(xiàn),Ω都必然發(fā)生,因此稱Ω為必然事件.3.不可能事件:空集?也是Ω的一個子集,可以看作一個事件;由于它不包含任何樣本點,它在每次試驗中都不會發(fā)生,故稱?為不可能事件.名師點睛應(yīng)注意事件的結(jié)果是相對于條件而言的,所以必須明確何為事件發(fā)生的條件,何為此條件下產(chǎn)生的結(jié)果.自主診斷1.判斷下列事件是否為隨機事件,是的畫√,不是的畫×.(1)“瑞雪兆豐年”.(

)(2)長度為2,3,4的三條線段可以構(gòu)成一直角三角形.(

)(3)方程x2+2x+3=0有兩個不相等的實根.(

)(4)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在定義域上為增函數(shù).(

)√××√2.[人教A版教材例題]如圖,一個電路中有A,B,C三個電器元件,每個元件可能正常,也可能失效.把這個電路是否為通路看作一個隨機現(xiàn)象,觀察這個電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗的樣本空間;(2)用集合表示下列事件:M=“恰好兩個元件正?！?N=“電路是通路”;T=“電路是斷路”.解

(1)分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài),則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地,用1表示元件的“正常”狀態(tài),用0表示“失效”狀態(tài),則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.(2)“恰好兩個元件正?！钡葍r于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有兩個為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.同理,“電路是斷路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.知識點4

隨機事件的運算1.交事件與并事件名稱定義表示法圖示交事件(或積事件)一般地,由事件A與事件B都發(fā)生所構(gòu)成的事件,稱為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)

并事件(或和事件)一般地,由事件A和事件B至少有一個發(fā)生(即A發(fā)生或B發(fā)生,或A,B都發(fā)生)所構(gòu)成的事件,稱為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)

2.互斥事件與對立事件

互斥事件定義一般地,不能同時發(fā)生的兩個事件A與B(A∩B=?)稱為互斥事件符號A∩B=?(或AB=?)圖示

注意事項例如,在擲骰子試驗中,記C1={出現(xiàn)1點},C2={出現(xiàn)2點},則C1與C2互斥對立事件定義若A∩B=?,且A∪B=Ω,則稱事件A與事件B互為對立事件圖示

注意事項A的對立事件一般記作名師點睛事件運算的性質(zhì)(1)A∪B=B∪A.(2)并事件包含三種情況:①事件A發(fā)生,事件B不發(fā)生;②事件A不發(fā)生,事件B發(fā)生;③事件A,B都發(fā)生.即A∪B表示事件A,B至少有一個發(fā)生.(3)A∩B或AB表示事件A與事件B同時發(fā)生.思考辨析“事件A與B至少有一個發(fā)生”的含義是什么?提示

①事件A發(fā)生事件B不發(fā)生;②事件A不發(fā)生事件B發(fā)生;③事件A和事件B同時發(fā)生.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)事件A∩B是由事件A與事件B所有的樣本點構(gòu)成的集合.(

)(2)若事件A與B是互斥事件,則事件A與B同時發(fā)生這一事件是不可能事件.(

)(3)對立事件一定是互斥事件.(

)(4)互斥事件一定是對立事件.(

)×√√×2.同時拋擲兩枚硬幣,向上都是正面為事件M,向上至少有一枚是正面為事件N,則有(

)

A.M?N

B.M?NC.M=N

D.M∩N=?A解析

事件N包含兩種結(jié)果,向上面都是正面或向上面是一正一反,則當M發(fā)生時,事件N一定發(fā)生,則有M?N,故選A.3.[人教A版教材例題]一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球,其中有2個紅色球(標號為1和2),2個綠色球(標號為3和4),從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,M=“兩個球顏色相同”,N=“兩個球顏色不同”.(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件;(2)事件R與R1,R與G,M與N之間各有什么關(guān)系?(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系?事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關(guān)系?解

(1)所有的試驗結(jié)果如圖所示.用數(shù)組(x1,x2)表示可能的結(jié)果,x1是第一次摸到的球的標號,x2是第二次摸到的球的標號,則試驗的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.事件R1=“第一次摸到紅球”,即x1=1或2,于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)};事件R2=“第二次摸到紅球”,即x2=1或2,于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}.同理,有R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.(2)因為R?R1,所以事件R1包含事件R;因為R∩G=?,所以事件R與事件G互斥;因為M∪N=Ω,M∩N=?,所以事件M與事件N互為對立事件.(3)因為R∪G=M,所以事件M是事件R與事件G的并事件;因為R1∩R2=R,所以事件R是事件R1與事件R2的交事件.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一樣本點與樣本空間【例1】

同時擲3枚硬幣,觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.(1)寫出這個試驗的樣本空間.(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù).(3)“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個樣本點?解

(1)試驗的樣本空間Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)樣本點的總數(shù)是8.(3)“恰有兩枚正面向上”包含以下3個樣本點:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).變式探究同時擲3枚硬幣,觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面,寫出這個試驗中“恰有一枚正面向上”這一事件包含的樣本點.解

“恰有一枚正面向上”這一事件包含3個樣本點,分別是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).規(guī)律方法

確定樣本空間的方法(1)必須明確事件發(fā)生的條件;(2)根據(jù)題意,按一定的次序列出問題的答案.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的,按規(guī)律去寫,要做到既不重復也不遺漏.探究點二隨機事件的概念及分類【例2】

以下的隨機事件中不是必然事件的是(

)A.標準大氣壓下,水加熱到100℃,必會沸騰B.長和寬分別為a,b的矩形,其面積為a×bC.走到十字路口,遇到紅燈D.三角形內(nèi)角和為180°C解析

在A中,標準大氣壓下,水加熱到100

℃,必會沸騰是必然事件,故A不符合題意;在B中,長和寬分別為a,b的矩形,其面積為a×b是必然事件,故B不符合題意;在C中,走到十字路口,遇到紅燈是隨機事件但不是必然事件,故C符合題意;在D中,三角形內(nèi)角和為180°是必然事件,故D不符合題意.規(guī)律方法

1.要判斷一個事件是必然事件、隨機事件、還是不可能事件,要從定義出發(fā).2.必然事件和不可能事件不具有隨機性,但為了統(tǒng)一處理,將必然事件和不可能事件作為隨機事件的特殊情形,具有隨機性的和不具有隨機性的事件都可以理論上認為是隨機事件.變式訓練1從6個籃球、2個排球中任選3個球,則下列事件中,不可能事件是(

)A.3個都是籃球

B.至少有1個是排球C.3個都是排球

D.至少有1個是籃球C解析

根據(jù)題意,從6個籃球、2個排球中任選3個球,四個選項都是隨機事件,進一步C是不可能事件,D是必然事件.探究點三互斥事件與對立事件的判定【例3】

某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學參加演講比賽,判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”與“全是男生”;(3)“至少有1名男生”與“全是女生”;(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.解

從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果:2名男生、2名女生、1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,與“恰有2名男生”不能同時發(fā)生,它們是互斥事件;但是當選取的結(jié)果是2名女生時,該兩事件都不發(fā)生,所以它們不是對立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果,與事件“全是男生”可能同時發(fā)生,所以它們不是互斥事件.(3)“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生,所以它們互斥,由于它們必有一個發(fā)生,所以它們是對立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果,當選出的是1男1女時,“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發(fā)生,所以它們不是互斥事件.規(guī)律方法

互斥事件和對立事件的判定方法利用基本概念,要判斷兩個事件是不是互斥事件,只需要找出各個事件所包含的所有樣本點,看它們能不能同時發(fā)生,在互斥的前提下,看兩個事件中是否必有一個發(fā)生,可判斷是否為對立事件.注意辨析“至少”“至多”等關(guān)鍵詞語的含義,明晰它們對事件結(jié)果的影響.變式訓練2(1)把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個人,每人分得1張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(

)A.對立事件B.不可能事件C.互斥但不對立事件D.以上答案都不對解析

“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會同時發(fā)生,但分得紅牌的還可能是丙或丁,所以不是對立事件.故選C.C★(2)從一批產(chǎn)品中取出3件產(chǎn)品,設(shè)A={3件產(chǎn)品全不是次品},B={3件產(chǎn)品全是次品},C={3件產(chǎn)品不全是次品},則下列結(jié)論正確的是

(填序號).

①事件A與事件B互斥;②事件B與事件C互斥;③事件A與事件C互斥;④事件A與事件B對立;⑤事件B與事件C對立.①②⑤解析

A={3件產(chǎn)品全不是次品},指的是3件產(chǎn)品全是正品,B={3件產(chǎn)品全是次品},C={3件產(chǎn)品不全是次品}包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3個樣本點,由此知,事件A與事件B是互斥事件,但不是對立事件;事件A與事件C是包含關(guān)系,不是互斥事件,更不是對立事件;事件B與事件C是互斥事件,也是對立事件.所以正確結(jié)論的序號為①②⑤.探究點四事件的運算角度1事件間的運算【例4】

[2024重慶渝中月考]對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)事件A={兩彈都擊中飛機},事件B={兩彈都沒擊中飛機},事件C={恰有一彈擊中飛機},事件D={至少有一彈擊中飛機},下列關(guān)系不正確的是(

)A.A?D

B.B∩D=?C.A∪C=D D.A∪B=B∪DD解析

“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中,“至少有一彈擊中”包含兩種情況:一種是恰有一彈擊中,另一種是兩彈都擊中,故A?D,B∩D=?,A∪C=D,A∪B≠B∪D.規(guī)律方法

事件間的運算方法(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算.(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想,分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,把這些結(jié)果在圖中列出,進行運算.變式訓練3盒子里有6個紅球、4個白球,現(xiàn)從中任取3個球,設(shè)事件A={3個球中有1個紅球2個白球},事件B={3個球中有2個紅球1個白球},事件C={3個球中至少有1個紅球},事件D={3個球中既有紅球又有白球}.(1)事件D與A,B是什么樣的運算關(guān)系?(2)事件C與A的交事件是什么事件?解

(1)對于事件D,可能的結(jié)果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球,故D=A∪B.(2)對于事件C,可能的結(jié)果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球或3個均為紅球,故C∩A=A.角度2事件運算的綜合問題【例5】

拋擲編號為1,2的兩枚骰子,記“1號骰子出現(xiàn)2點”為事件A,“2號骰子出現(xiàn)3點”為事件B,分別判斷下列兩對事件是否為互斥事件:(1)事件A與事件AB;(2)事件B與事件A.解

由題意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.(1)事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠?,所以事件A與事件AB不是互斥事件.(2)事件

={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件A={(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)},所以B∩A=?,所以事件B與事件A是互斥事件.規(guī)律方法

事件運算應(yīng)注意的兩個問題(1)進行事件的運算時,一是要緊扣運算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析.(2)在一些比較復雜的判斷事件之間互斥關(guān)系的題目中,要嚴格按照定義來推理.變式訓練4設(shè)A,B,C為三個事件,下列表述不正確的是(

)A本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)隨機事件、必然事件、不可能事件的概念;(2)實際問題中樣本空間及樣本點的求法;(3)隨機事件的含義,隨機事件的樣本空間的表示;(4)交事件與并事件;(5)互斥事件與對立事件.2.方法歸納:列舉法、Venn圖法.3.常見誤區(qū):因未按照一定的順序列舉樣本點,導致樣本點重復或遺漏;未弄清事件之間的關(guān)系,導致互斥、對立事件判斷錯誤.學以致用·隨堂檢測促達標123451.下列現(xiàn)象:①當x是實數(shù)時,x-|x|=2;②某班一次數(shù)學測試,及格率低于75%;③從分別標有0,1,2,3,…,9這十個數(shù)字的紙團中任取一個,取出的紙團是偶數(shù);④體育彩票某期的特等獎號碼.其中是隨機現(xiàn)象的是(

)A.①②③ B.①③④