新教材蘇教版必修第二冊(cè)1 3 . 2 基本圖形位置關(guān)系

第13章立體幾何初步

13.2基本圖形位置關(guān)系

13.2.4平面與平面的位置關(guān)系

第1課時(shí)兩平面平行

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一兩個(gè)平面平行的判定

1.（2021江蘇連云港海頭高級(jí)中學(xué)高一月考）六棱柱ABCDEAABCDER的底面是正

六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有（）

對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)

2.（2021山東泰安第二中學(xué)高一期中）若表示兩個(gè)不同的平面，/表示一條直

線，且lua，則“/〃￡”是“a//￡”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)a,￡是兩個(gè)不同的平面，力是直線，且忙。,勿〃￡，若使a〃￡成立,則需增

加的條件是（）

A.77是直線且〃Ua,77〃￡

B.〃,勿是異面直線且77〃￡

C.77,勿是相交直線且〃uaB

D.77,勿是平行直線且〃ua,nil3

4.（2020江蘇鹽城射陽(yáng)中學(xué)月考）如圖所示，在正方體中小人尸分別是

GC4GG〃的中點(diǎn).求證:平面仞花〃平面A.BD.

題組二兩個(gè)平面平行的性質(zhì)

5.（2021江蘇如皋第一中學(xué)高一階段檢測(cè)）如圖，已知平面a〃平面￡，點(diǎn)尸為

。，￡外一點(diǎn)，直線例如分別與a,￡相交于46和C〃則力。與切的位置關(guān)系為

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

6.（2020江蘇海門中學(xué)高一期中）如圖所示的三棱柱山心4夕4,過(guò)46的平面與平

面力a1交于直線/次則應(yīng)與力￡的位置關(guān)系是（深度解析）

A.異面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

7.（2020江蘇口岸中學(xué)階段檢測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體ABChB1aBi中，過(guò)微的中點(diǎn)￡作

一個(gè)與平面力方平行的平面交力￡于點(diǎn)M,交況1于點(diǎn)兒則當(dāng)=.

8.（2021江蘇睢寧李集中學(xué)高一期中）如圖，在正方體ZMMJK〃中,￡為棱回的

中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)瓦￡,〃的平面與棱CQ交于點(diǎn)F.

⑴求證:四邊形亞刃歸為平行四邊形；

（2）試確定點(diǎn)夕的位置.

題組三距離問(wèn)題

9.（多選）若平面a〃平面￡，且a,￡之間的距離為4則在平面￡內(nèi)（）

A.有且只有一條直線與平面a的距離為d

B.所有直線與平面a的距離都等于d

C.有無(wú)數(shù)條直線與平面a的距離都等于d

D.所有直線與平面a的距離都不等于d

10.若不共線的三點(diǎn)到平面￡的距離相等,則這三點(diǎn)確定的平面a與￡之間的關(guān)

系是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.以上都不對(duì)

n.兩平行平面a,￡之間的距離為18cm，直線,與平面￡分別交于46兩點(diǎn)，

點(diǎn)PR，，若用雙則點(diǎn)P到平面￡的距離為.易錯(cuò)

能力提升練

題組一兩個(gè)平面平行的判定

1.（多選）（*?）已知a/表示兩條不重合的直線，a,￡,7表示三個(gè)不重合的平面，給

出下列命題,其中正確的是（）

A.若aCy-a,￡n/=4且a〃6則a〃￡

B.若a力相交且都在a,￡外/〃a,6〃a,a〃￡/〃￡,貝」a〃￡

C,若a//a,a//￡，則a〃￡

D.若aua,a〃￡,aC￡="貝Ua//b

2.（多選）（*?）如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖淇中四邊形/￡切為正方形,￡,￡G,〃分

別為PA,PD,PC,PB的中點(diǎn).在此幾何體中，給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是

（）

A.平面EHGF//平面ABCD

B,直線山〃平面BDG

C,直線用〃平面PBC

D,直線用〃平面BDG

3.（2020湖南長(zhǎng)沙第一中學(xué)高三下月考,*0如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AMD,

中,2仄的尸1,2左次,分別為羽6CG〃的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面力aP內(nèi),若直線以P

〃平面跖G,則線段〃月長(zhǎng)度的最小值是_______.

題組二兩個(gè)平面平行的性質(zhì)

4.（2021江蘇揚(yáng)州中學(xué)高一月考,簡(jiǎn)）如圖，在三棱柱Z於4AG中圈"分別是A^AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)2在線段6c上,則W與平面力船的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.NPa平面AMQD.不確定

5.（多選）（2021山東威海高三期末,?。┰诶忾L(zhǎng)為2的正方體力式》46K〃中,￡/分

別為力￡,4〃的中點(diǎn)，貝IJ（）

A.BDLB.C

B.鰭〃平面DB.B

C.平面BMC

D.過(guò)直線鰭且與直線做平行的平面截該正方體所得截面面積為企

6.（2021山東昌樂(lè)二中高一期中,箱）如圖,四棱錐FZ因力的底面是邊長(zhǎng)為1的正方

形，點(diǎn)￡是棱陽(yáng)上一點(diǎn)，噲3皿若兩=幾近,且滿足麻〃平面Z細(xì)則

A=

7.（2021江蘇石榴高級(jí)中學(xué)高一期中，箱）如圖，在三棱柱Z冊(cè)46K中，點(diǎn)〃〃分別為

ZC4G上的動(dòng)點(diǎn),若平面加〃〃平面問(wèn)券是不是定值？若是定值，求出該值;若

不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題組三距離問(wèn)題

8.（2020江蘇丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)階段測(cè)試,*：）在長(zhǎng)方體Za》〃中,有一過(guò)皿且與

平面4〃田平行的平面a,棱刈=5,股12,則平面a與平面的距離

是.

9.（2020江蘇新浦高級(jí)中學(xué)階段測(cè)試，婚）不共面的四個(gè)點(diǎn)到平面a的距離都相等,

這樣的平面a共有個(gè).

10.（2020江蘇靖江第一高級(jí)中學(xué)期中，箱）如圖所示，三棱柱力叱的各棱長(zhǎng)均

為4,側(cè)棱垂直于底面分別為4?,力C4G4笈的中點(diǎn).求:

⑴笈G到平面比陽(yáng)的距離；

（2）平面4鰭與平面比'組之間的距離.

4

題組四面面平行的綜合應(yīng)用

11.（2021江蘇泰興中學(xué)高一月考,封）平面a過(guò)正方體叱〃的頂點(diǎn)4?！?/p>

平面CBM,an平面ABC廬垣,an平面94=小則m,n所成角的正弦值為

（）

A.—B.—C.—D.i

2233

12.（2021廣東中山第一中學(xué)高一調(diào)研，箱）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體心

中4N分別是4笈的中點(diǎn)，過(guò)直線班的平面?！ㄆ矫媪σ梽t平面a截該正方

體所得截面的面積為

A.V2C.V3D.

82

13.（2020江蘇黃橋中學(xué)階段檢測(cè),封）如圖，在正方體4況》4￡4〃中,￡是力￡的中

點(diǎn)/在CG上，且層26G,點(diǎn)，在側(cè)面4以4（包括邊界）上，必i〃平面如逸JtanN

/"的取值范圍是（）

B.[0,1]

嗚手］。心用

14.（2020江蘇明達(dá)中學(xué)期中,"）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/況〃中,￡/分

別是棱BC,CC\的中點(diǎn)/是側(cè)面比1G8上一點(diǎn)，若42〃平面Z硒則線段4尸長(zhǎng)度的取

值范圍是（）

C.[l,串D.(0,

15.（多選）（2020山東棗莊第三中學(xué)高三月考,*）如圖，在四棱錐降力四中，底面

力aP為正方形，頂點(diǎn)S在底面力aP的射影為底面中心O,E,M,N分荻是BC,CD,SC忸中

點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn),在線段脈上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的有（）

A.EPLACB.EP//BD

C.EP〃平面SBDD.平面必。

16.（2020江蘇張家港高級(jí)中學(xué)學(xué)情檢測(cè),不）如圖所示,￡為所在平面外一

點(diǎn)題兒G分別為△力期△aP的重心.

⑴求證:平面仞歷〃平面ACD,

⑵求S[\MNG?Sl\ADC?

答案全解全析

第13章立體幾何初步

13.2基本圖形位置關(guān)系

13.2.4平面與平面的位置關(guān)系

第1課時(shí)兩平面平行

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.D由于六棱柱"6WL46的底面是正六邊形，

所以上下底面平行,側(cè)面有3對(duì)相互平行的面,故共有4對(duì)互相平行的面.

故選D.

2.C若/ua,l//￡，則平面a和平面￡可能平行,也可能相交;若ka,a//￡,

則1//￡，所以“/〃￡"是“a//￡”的必要不充分條件.故選C.

3.C要使?！ā瓿闪?，需要其中一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，

當(dāng)勿,〃是相交直線，且77Ua,勿〃￡時(shí)，由平面與平面平行的判定定理

可得a〃￡.故選C.

4.證明如圖，連接4〃.

因?yàn)榉謩e是〃G,4G的中點(diǎn)，

所以PN//BM.

因?yàn)槿鏏&Ba,

所以四邊形3砌為平行四邊形,

所以￡4〃能所以PN//BD.

因?yàn)槠矫鍭,BD,BDa平面4做

所以/W平面4做

同理助V〃平面A.BD.

又因?yàn)镸NCP照N,PN,MNu平面腕所以平面仞仍〃平面A.BD.

易錯(cuò)警示

利用兩個(gè)平面平行的判定定理證明兩個(gè)平面平行時(shí)，必須具備兩個(gè)條件:①一個(gè)平

面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面;②這兩條直線必須是相交直線.

5.A由題意知五,4￡,C〃在同一平面內(nèi)，且平面2切C平面a4c平面力切n平面

8=BD.

'：a〃被故選A.

6.B因?yàn)槠矫?6C〃平面眼平面48項(xiàng)n平面461G=4凡平面4笈旗n平面

ABC=DE,所以48〃龍.又因?yàn)?4//仍所以DE//AB.

解題模板

由面面平行，可得線線平行,它提供了證明線線平行的一種方法，應(yīng)用的關(guān)鍵是找到

與兩個(gè)平行平面都相交的第三個(gè)平面.

7.答案|

解析?.?平面小〃平面力細(xì)，

由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理可得EN〃&C￡M〃BA

又為陽(yáng)的中點(diǎn)，

分別為胡，比的中點(diǎn)，

.,.好|陽(yáng)即翳苫.

8.解析⑴證明:在正方體心G〃中，因?yàn)槠矫媪﹃?yáng)4〃平面小G〃，平面

BF1XEC平面ABBJEBE平面BFD\EC平面戊匕〃=〃￡所以BE//D.F,

同理可證EDJ/FB,

所以四邊形位為平行四邊形.

(2)由⑴知四邊形物〃￡為平行四邊形，

所以FB-E1X,

由于宏式后后

所以

所以C戶EA\,

而￡是24的中點(diǎn)，所以尸是CG的中點(diǎn).

9.BC因?yàn)槠矫鎍〃平面￡，且a,8之間的距離為d所以平面￡內(nèi)任意一條直

線與平面a的距離都為d.故選BC.

10.C當(dāng)三點(diǎn)在平面￡的同側(cè)時(shí)，

設(shè)4月。到平面￡的射影分別為DEF,

由點(diǎn)4月。到平面￡的距離相等，

可構(gòu)成三個(gè)長(zhǎng)方形ADEB,BEFC,CADF,如圖①,

于是有AB//DE,BC//EF,

因?yàn)橹矫鎍,龐，到七平面8,ABCBOB,DECE產(chǎn)E,

所以平面a〃平面￡.

圖①

當(dāng)三點(diǎn)在平面￡的異側(cè)時(shí),如圖②，設(shè)力以。到平面￡的射影分別為顯然平

面a與平面J3相交.

故平面a與平面￡之間的關(guān)系是平行或相交.

11.答案12cm或36cm

解析設(shè)點(diǎn)尸到平面a的距離為&cm,到平面￡的距離為&cm.

當(dāng)尸在平面。，萬(wàn)之間時(shí)，&》X18=12(cm)；

當(dāng)尸在平面a,￡同側(cè)時(shí)，

?.?序三必.?麥W，介d=18,

8cm,&=2X18=36(cm).

點(diǎn)尸到平面￡的距離為12cm或36cm.

易錯(cuò)警示

兩個(gè)平行平面間的公垂線段有無(wú)數(shù)條,長(zhǎng)度都相等.

能力提升練

l.BDA錯(cuò)誤，a與￡也可能相交;B正確，設(shè)確定的平面為/,依題意彳導(dǎo)了〃

a,7〃￡，故a〃萬(wàn);C錯(cuò)誤，a與￡也可能相交;由線面平行的性質(zhì)定理可知,D正

確.故選BD.

2.ABC作出立體圖形如圖所示.連接四點(diǎn)構(gòu)成平面EFGH.

因?yàn)椤?分別是44題的中點(diǎn)，

所以鰭〃被

又硒平面ABCD,ADci平面ABCD,

所以廝〃平面ABCD.

同理,〃平面ABCD,又EFCE田E,EFu平面EHGREHu平面EHGF,

所以平面EHGF〃平面ABCD做A正確；

連接AC,BD,DG,BG,設(shè)〃的中點(diǎn)為網(wǎng)連接解所以MGIIPA、又肱上平面如G,/W平面

加G,所以直線力〃平面BDG做B正確；

由A中的分析易知EF〃呢因?yàn)椤暧闷矫鍼BC,BCu平面分C所以直線斯〃平面PBC,

故C正確；

根據(jù)C中的分析再結(jié)合圖形可得，直線鰭與平面劭G不平行，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

3.答案S

解析如圖,連接〃

FR

因?yàn)榉謩e為更況居〃的中點(diǎn)，所以EF"AC、又砒平面ACD\,ACu平面AC4,所

以朋〃平面ACDi.易得￡G〃皿,所以同理可得￡G〃平面ACDi,又EFCEG^E,EF,Eg

平面EFG,

所以平面4曲〃平面EFG.

因?yàn)橹本€〃尸〃平面夕&所以點(diǎn)尸在直線NC上，

故當(dāng)ZC時(shí)，線段〃〃的長(zhǎng)度最小.

在△板中,力〃=傳心2。=2,

所以S△皿c苫XV2XJ22一⑵W，

V7L

所以線段〃/長(zhǎng)度的最小值為心邛.

1x22

4.A如圖，連接8人制

R

?.?可〃分別為2旦4笈的中點(diǎn)，

:.AN〃B朋旦A2風(fēng)M,

，四邊形AN&M為平行四邊形，

：.B,N//AM,

,.?笈/平面AMQ,AMa平面AMQ,

...周V〃平面AMQ.

同理可得CN//MCx,

,：?Q平面AMQ,MQ^平面AMQ,

.?.GV〃平面AMQ,

'：瓦vnC中N,：.平面笈av〃平面AMG,

,舷t平面4M.?.2〃平面AMQ.

故選A.

5.BC選項(xiàng)A中，易知劭〃4〃,所以〃（或其補(bǔ)角）是直線班與4。所成的角.

因?yàn)锽MROBC

所以為等邊三角形，所以N組〃=60°,所以如與4c所成的角為60°,

故A錯(cuò)；

選項(xiàng)B中，記2〃的中點(diǎn)為G,連接FG,GE,易知FG//B&,GE//微則可知FG//平面

DBBGE〃平面DBB又產(chǎn)GAG序G,FG,GEu平面分笫所以平面￡曲〃平面DB.B,

因?yàn)楦鐃平面刀必，所以跖〃平面DBB故B正確；

選項(xiàng)C中，連接陽(yáng)，因?yàn)樗倪呅蜝CCB為正方形，所以B.CLBQ,

又平面4aQ所以26,夕。因?yàn)锽CCAB=B,BC,ABu平面力園,所以6c，平面

Z6G,所以B^CLAa,

同理笈〃，ZG,因?yàn)镾CO合〃笈〃u平面所以4G，平面BDC.故C正

確；

選項(xiàng)D中，取4A的中點(diǎn)。，連接聞￡Q由選項(xiàng)B可知，平面6G￡0〃平面DBBM,

所以必〃平面FGEQ,

又夕七平面FGEQ,

所以過(guò)9且與直線做平行的平面為如圖所示的平面R而0,其面積S=FQ-陷2或.

故D錯(cuò)誤.

故選BC.

6.答案|

解析如圖，連接BD,交AC于點(diǎn)0,連接0E,則B0=0D,

在線段PE上取一點(diǎn)G,使得GE=ED,

因?yàn)镻E=3ED,所以PE=3GE,所以黑金連接BG,FG,則BG〃OE,

又因?yàn)镺Eu平面AEC,BG。平面AEC,

所以BG〃平面AEC.

因?yàn)锽F〃平面ACE,又BGABF=B,BG,BFu平面BGF,

所以平面BGF〃平面AEC.

因?yàn)槠矫鍼CDn平面BGF=GF,平面PCDn平面AEC=EC,所以GF〃EC,

所以巴=02,故入=2.

PCPE3J3

7.解析稱是定值.如圖，連接AB交AB】于點(diǎn)0,連接0及由棱柱的性質(zhì)，可知四邊形

AiABBi為平行四邊形，所以0為AiB的中點(diǎn)，

因?yàn)槠矫鍮GD〃平面ABD,且平面A1BGA平面ABQ尸DQ,平面AiBGA平面BGD=BG,

所以BCi〃O?,

所以Eh為線段AC的中點(diǎn)，

所以C1D1=|A1C1,

因?yàn)槠矫鍮C1D〃平面ABD,平面AAQCn平面BDODG,平面AACCA平面ABJ）尸A?,

所以ADi〃DG,

因?yàn)锳D〃CD,所以四邊形ADCD是平行四邊形，

所以AD=CD帶AC苫AC,

所以夢(mèng)1.

R

8.答案,

解析因?yàn)槠矫鎍〃平面ADCB,ADu平面a,所以AD到平面ADCB的距離即為平

面a與平面ADCB間的距離，易知AD〃平面ADCB,從而點(diǎn)A到平面ADCB的距離

即為所求的距離.

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHLAiB于點(diǎn)H.

易證AHL平面ARCB,則AH即為所求.

在R心卜鼠中,AB=12,AAi=5,貝！]A[B=JAB2+AA：=13,

因?yàn)锳H?AiB=AiA?AB,

所以AH=35=".

A】B13

故平面a與平面ADCB的距離為骨.

9.答案7

解析把不共面的四個(gè)定點(diǎn)看作四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，平面a可以分為兩類：

第一類:如圖1,四個(gè)定點(diǎn)分布在平面a（即過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面）的兩側(cè),

其中一側(cè)有1個(gè)頂點(diǎn)，另一側(cè)有3個(gè)頂點(diǎn)，此類中滿足條件的a共有4個(gè).

第二類:如圖2,四個(gè)定點(diǎn)分布在平面a（即過(guò)兩組相對(duì)棱的中點(diǎn)的平面）的兩側(cè)，每

一側(cè)均有2個(gè)頂點(diǎn)，此類中滿足條件的a共有3個(gè).

綜上，這樣的平面a共有4+3=7（個(gè)）.

10.解析⑴分別取BC,BC的中點(diǎn)Di,D,

連接AD交HG于M,連接DD1,DM,如圖所示.

由題意易得HGXAiD^HGXDDj,

ADnDD1=D1,...HG,平面M?D.

過(guò)點(diǎn)Di作DFLMD,垂足為P,易知DxPXHG,

又HGnMD=M,

；.DiP上平面BCGH,

.?.DP的長(zhǎng)就是點(diǎn)口到平面BCGH的距離.

易知HG〃BC,HGu平面BCGHBGC平面BCGH,

.\BC〃平面BCGH,

.?.?到平面BCGH的距離與BC到平面BCGH的距離相等,

.??DP即為所求.

在7?tADDiM中,DDI=4,DIM=V3,

.\MD=V19,

.?.DF=22IJ_DIM_4V3_4V57

MD919'

.?.BC到平面BCGH的距離是嚕.

R

⑵由題意易知AF〃HB,

'.,AiE。平面BCGH,HBc平面BCGH,

，AiE〃平面BCGH,

同理AF〃平面BCGH,

又AiEnAF=Ai,AiE,AFu平面A】EF,

，平面AiEF〃平面BCGH,

平面AiEF到平面BCGH的距離等于點(diǎn)Ai到平面BCGH的距離.

又H,G分別是AB,AC的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)Ai到平面BCGH的距離等于BC到平面BCGH的距離.

...平面AiEF與平面BCGH之間的距離為嚕.

11.A如圖，a〃平面笫4aA平面2兆次加,aA平面力即4=4

可知n//CDx,m//BM,：.m,n所成的角為N切由（或其補(bǔ)角）.

?.?△曲〃是正三角形,.?./勿a=60:

，力,A所成角的正弦值為:

故選A.

12.B如圖，取BC的中點(diǎn)EM的中點(diǎn)內(nèi)連接硒龍，詼則EF〃BD,BD〃BD,

所以EF〃BD散硒即在同一平面內(nèi),

連接您因?yàn)槠俊攴謩e為A.DM的中點(diǎn)，所以ME〃AB,且M&AB,

所以四邊形力“是平行四邊形，

，斤以AM〃班.

因?yàn)辇媢平面BDFE,A以平面BDFE,

所以平面BDFE.同理4V〃平面BDFE.因?yàn)锳MCyA^A,AM,AN^平面AMN,

所以平面匈W〃平面BDFE,

所以平面a截該正方體所得截面為等腰梯形皮理

因?yàn)檎襟wABOhABCD的棱長(zhǎng)為1，所以盼近，爐飄〃考，叱班考，

故所得截面的面積為衿住+⑹X1囹-囹=1-

故選B.

13.D如圖，在刈上取點(diǎn)必使得聞號(hào)陰，連接￡幽取C〃的中點(diǎn)兒連接4人感則

B、M〃DF,&N〃DE,

■:BMNu平面B、MN,DF,DEu平面DEFRMCB^B、,DFCD所D,

，平面與的〃平面DEF.

過(guò)點(diǎn)N作NG〃DF交加于點(diǎn)G,連接隔貝I」為可6”四點(diǎn)共面，且D*DD\.

,.?閣〃平面DEF,

.?.點(diǎn),在線段如上運(yùn)動(dòng).

當(dāng)點(diǎn)尸分別與點(diǎn)重合時(shí),tanNZ即取得最小值和最大值.

連接AG,BM,BG,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,貝IJZ游今〃39,

則力依祟

.,.在RSZ四中,tanNZ歸，

在R3Z6G中,tanNZ吐手，

tanNZ即的取值范圍為他,目.

故選D.

14.B如圖所示，分別取棱陽(yáng)的中點(diǎn)瓶?jī)哼B接AMN,MN,BG,NE,

,：耳兒￡/分別為所在棱的中點(diǎn)，則MN//Ba,EF//Ba,：.MN//EF.

又仞W平面AEF,EFu平面AEF,

.?.也V〃平面AEF.

'：AAJ/NE,AAX=NE,

：.四邊形/以見(jiàn)為平行四