函數(shù)的應用(一)34數(shù)學建?；顒記Q定蘋果的最佳出售時間點

函數(shù)的應用(一)

數(shù)學建模活動:決定蘋果的最佳出售時間點函數(shù)一二知識點一、函數(shù)模型1.思考(1)在函數(shù)建模中,怎樣確立兩個變量是哪種函數(shù)關系提示:通常需要先畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像來確定兩個變量的關系,選擇函數(shù)類型.(2)函數(shù)模型在實際應用中,函數(shù)的自變量有什么特點提示:在實際應用中,函數(shù)的自變量x往往具有實際意義,如x表示長度時,x≥0;x表示件數(shù)時,x≥0,且x∈Z等.在解答時,必須要考慮這些實際意義.一二(3)已知某商場經(jīng)營一批進價為12元/個的小商品,在4天的試銷中,對此商品的銷售單價x(元)與相應的日銷售量y(個)進行了統(tǒng)計,其數(shù)據(jù)如下表:你能否找到一種函數(shù),使它反映y關于x的函數(shù)關系若能,寫出函數(shù)解析式.一二提示:觀察x,y的數(shù)據(jù),可大體看到y(tǒng)與x是一次函數(shù)關系,令y=kx+b(k≠0).因為當x=16時,y=42,當x=20時,y=30,即y=-3x+90.顯然當x=24時,y=18;當x=28時,y=6.對照數(shù)據(jù),可以看出y=-3x+90即為所求的函數(shù)解析式.考慮到x的實際意義及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.一二2.填空(1)一次函數(shù)模型解析式:y=kx+b(k≠0).(2)二次函數(shù)模型①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);②頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中頂點坐標為(h,k).(3)分段函數(shù)模型有些實際問題,在事物的某個階段對應的變化規(guī)律不盡相同,此時我們可以選擇利用分段函數(shù)模型來刻畫它,由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式,因此分段函數(shù)在研究條件變化的實際問題中,或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應用.一二歸納提高1.在求其解析式時,應先確定分“段”,即函數(shù)分成幾段,并抓住“分界點”,確保分界點“不重,不漏”.2.在求函數(shù)值時,先確定自變量的值所屬的區(qū)間,再代入;同樣,已知函數(shù)值,求解自變量的值時,就是解方程的過程,即每段都令y取已知函數(shù)值,解出相應x的值,再判斷是否屬于所在區(qū)間.一二知識點二、解決數(shù)學應用題的一般步驟1.思考對教材例3中的“客房問題”你有什么體會在現(xiàn)實問題中,有沒有與它類似的問題如果有,請舉例說明.提示:“客房問題”反映的規(guī)律性在實際生活中有很多典例,實際歸結到最后,“客房問題”是一個二次函數(shù)模型的具體應用,在現(xiàn)實生活中的“調價問題”與其類似,其模型為:當某類商品在銷售價格為b元時,可售出a件,現(xiàn)欲提價,若單價每提高m元,則銷售量平均減少n件,求提高多少元時銷售的總收入最高設將商品售價提高x個m元,則總收入為y=(b+xm)·(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.它是一個自變量為自然數(shù)的二次函數(shù),且其二次項系數(shù)小于零,根據(jù)二次函數(shù)的知識知它有最大值.一二2.做一做某家報刊銷售點從報社買進報紙的價格是每份0.35元,賣出的價格是每份0.50元,賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社,在一個月(30天)里有20天每天可以賣出報紙400份,其余10天每天只能賣出250份.若每天從報社買進報紙的數(shù)量相同,則每天應該從報社買進多少份報紙,才能使每月所獲得的利潤最大并計算該銷售點一個月最多可賺多少元解:設每天應從報社買x份報紙,由題意知250≤x≤400,設每月賺y元,根據(jù)題意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1050,x∈[250,400].因為y=0.3x+1050是定義域上的增函數(shù),所以當x=400時,ymax=120+1050=1170(元).答:每天應該從報社買進400份報紙,才能使每月所獲得的利潤最大,每月最多可賺1170元.探究一探究二探究三思維辨析一次函數(shù)模型的應用例1(1)某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關系為y=6x+30000.而出廠價格為每套12元,要使該廠不虧本,至少日生產(chǎn)文具盒()A.2000套 B.3000套C.4000套 D.5000套(2)商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價為每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法:①買一個茶壺贈一個茶杯;②按總價的92%付款.某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個),若購買茶杯x(個),付款y(元),分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優(yōu)惠當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析(1)解析:因利潤z=12x-(6x+30

000),所以z=6x-30

000,由z≥0解得x≥5

000,故至少日生產(chǎn)文具盒5

000套.答案:D(2)解:由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由優(yōu)惠辦法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,當購買34個茶杯時,兩種辦法付款相同;當4≤x<34時,y1<y2,即優(yōu)惠辦法①更省錢;當x>34時,y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟1.一次函數(shù)模型的實際應用:一次函數(shù)模型應用時,本著“問什么,設什么,列什么”這一原則.2.一次函數(shù)的最值求解:一次函數(shù)求最值,常轉化為求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答時,注意系數(shù)a的正負,也可以結合函數(shù)圖像或其單調性來求最值.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓練1若一根蠟燭長20cm,點燃后每小時燃燒5cm,則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關系用圖像表示為圖中的(

)

解析:蠟燭剩下的長度隨時間增加而縮短,根據(jù)實際意義不可能是D,更不可能是A,C.故選B.答案:B當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析二次函數(shù)模型的應用例2某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果,假設每箱售價不得低于50元且不得高于55元.市場調查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱,價格每提高1元,平均每天少銷售3箱.(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式;(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式;(3)當每箱蘋果的售價為多少元時,可以獲得最大利潤最大利潤是多少當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析分析:本題中平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)是一個一次函數(shù)關系,雖然x∈[50,55],x∈N,但仍可把問題看成一次函數(shù)模型的應用問題;平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)是一個二次函數(shù)關系,可看成是一個二次函數(shù)模型的應用題.解:(1)根據(jù)題意,得y=90-3(x-50),化簡,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9

600(50≤x≤55,x∈N).(3)因為w=-3x2+360x-9

600=-3(x-60)2+1

200,所以當x<60時,w隨x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以當x=55時,w有最大值,最大值為1

125.所以當每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤,且最大利潤為1

125元.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟二次函數(shù)的實際應用1.在根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后,可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調性等方法來求函數(shù)的最值,從而解決實際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結合二次函數(shù)的圖像來解答.2.對于本題要清楚平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓練2有A,B兩城相距100km,在A,B兩城之間距A城xkm的D地建一核電站給這兩城供電.為保證城市安全,核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月,B城供電量為10億度/月.(1)把月供電總費用y表示成x的函數(shù),并求定義域;(2)核電站建在距A城多遠時,才能使供電費用最小當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析分段函數(shù)模型的應用例3WAP上網(wǎng)每月使用量在500min以下(包括500min),按30元計費;超過500min的部分按0.15元/min計費.假如上網(wǎng)時間過短(小于60min)使用量在1min以下不計費,在1min以上(包括1min)按0.5元/min計費.WAP上網(wǎng)不收通話費和漫游費.(1)寫出上網(wǎng)時間xmin與所付費用y元之間的函數(shù)關系式.(2)12月份小王WAP上網(wǎng)使用量為20h,要付多少錢(3)小王10月份付了90元的WAP上網(wǎng)費,那么他上網(wǎng)的時間是多少分析:由于上網(wǎng)時間不同,收費標準不同,因此對所付費用作分段討論,以確定付費標準,建立函數(shù)關系式,解決付費與上網(wǎng)時間的問題.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解:(1)設上網(wǎng)時間為x

min,由已知條件所付費用y關于x的函數(shù)關系式為(2)當x=20×60=1

200(min)時,x>500,應付y=30+0.15×(1

200-500)=135(元).(3)90元已超過30元,所以上網(wǎng)時間超過500

min,由解析式可得上網(wǎng)時間為900

min.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟分段函數(shù)的實際應用1.在刻畫實際問題中,變量之間的關系因自變量x取值范圍的不同,對應的函數(shù)關系不能用同一個解析式表示時,常用分段函數(shù)建立函數(shù)模型解決問題.2.分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)有著不同對應法則的函數(shù).求解分段函數(shù)的最值問題時應注意:分段函數(shù)的最大值是各段函數(shù)最大值中較大的一個,分段函數(shù)的最小值是各段函數(shù)最小值中較小的一個.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析延伸探究為支持福利事業(yè),解決殘疾人就業(yè)問題,銀行決定給某福利企業(yè)免息貸款46.8萬元,用于經(jīng)營某種商品.已知該種商品的進價為每件40元,每月銷售量q(單位:百件)與銷售價p(單位:元/件)之間滿足關系式:該企業(yè)職工每人每月工資為1200元,其他經(jīng)營性費用為每月13200元.(1)如果暫時不考慮還貸的前提下,當銷售價p為52元/件,每月剛好收支平衡,求該企業(yè)的職工人數(shù);(2)若該企業(yè)只有20名職工,在保證職工工資及其他經(jīng)營性支出外,剩余的利潤都用來償還貸款,試問最早幾年后還清貸款當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解:(1)設該企業(yè)職工人數(shù)為t,依題意當p=52時,q=36,則(52-40)×36×100=1

200t+13

200,∴t=25.即該企業(yè)有25名職工.(2)設每個月的利潤為f(p),則f(p)=∵當p=55時,[(-2p+140)(p-40)]max=450,當p=61時,[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴當p=55時,能更早還清貸款,又(100×450-1

200×20-13

200)×12=93

600,∴當定價為55元時,最早5年后能還清貸款.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析因忽視實際問題中x的范圍而致誤典例如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在AB,AD,CB,CD上分別截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),設四邊形EFGH的面積為y.(1)寫出四邊形EFGH的面積y與x之間的函數(shù)關系式;(2)求當x為何值時,y取得最大值,最大值是多少當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析以上解答過程中都有哪些錯誤出錯的原因是什么你如何訂正你怎么防范提示:錯解過程中一是沒注意實際問題中x的取值范圍,二是求函數(shù)最值時沒有討論對稱軸與區(qū)間的關系,但從根本上錯誤的根源是第(1)問中沒有明確定義域.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析防范措施1.對實際問題中的函數(shù)解析式一定要注意自變量x要受實際問題的約束,養(yǎng)成遇到實際問題“定義域優(yōu)先”的習慣.2.有時一個小細節(jié)的失誤,會導致嚴重錯誤的產(chǎn)生.因此解決實際問題時,要充分考慮問題的背景、實際意義、隱含條件等.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓練某企業(yè)實行裁員增效.已知現(xiàn)有員工a人,每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬元,據(jù)評估,在生產(chǎn)條件不變的條件下,每裁員一人,則留崗人員每人每年可多創(chuàng)收0.01萬元,但每年需付給每位下崗工人0.4萬元生活費,并且企業(yè)正常運轉所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的,設該企業(yè)裁員x人后年純收益為y萬元.(1)寫出y關于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍;(2)當140<a≤280時,該企業(yè)應裁員多少人,才能獲得最大的經(jīng)濟效益(注:在保證能取得最大經(jīng)濟效益的情況下,能少裁員,應盡量少裁)當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測1.一個等腰三角形的周長是20,則底邊長y是關于腰長x的函數(shù),其解析式為(

)A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10)答案:D探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測2.某生產(chǎn)廠家的生產(chǎn)總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(件)之間的關系式為y=x2-80x,若每件產(chǎn)品的售價為25萬元,則該廠獲得最大利潤時,生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為(

).或53解析:因為利潤=收入-成本,當產(chǎn)量為x件時(x∈N),利潤f(x)=25x-(x2-80x),所以x=52或x=53時,f(x)有最大值.答案:D探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測3.某商店進貨單價為45元,若按50元一個銷售,能賣出50個;若銷售單價每漲1元,其銷售量就減少2個,為了獲得最大利潤,此商品的最佳售價應為每個

元.

解析:設漲價x元,銷售的利潤為y元,則y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450,所以當x=10,即銷售價為60元時,y取得最大值.答案:60探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測4.已知直