平均變化率學(xué)案(有答案)(五)

3.1.1平均變化率

高二?一部數(shù)學(xué)組劉蘇文2017年4月3日

知識(shí)梳理?］

1.函數(shù)f(X)在區(qū)間因，X2］上的平均變化率為.習(xí)慣

上用Jx表示,即,可把/X看作是相對(duì)于XI

的一個(gè)““，可用代替X2；類似地，4y=

,因此，函數(shù)f(x)的平均變化率可以表示為.

2.函數(shù)y=f(x)的平均變化率務(wù)=*■)二*x］)的幾何意義是:表示

連接函數(shù)y=f(x)圖象上兩點(diǎn)(X1,f(xi))>(X2,f(X2))的割線的

作業(yè)設(shè)計(jì)?］

一'填空題

1.當(dāng)自變量從XO變到X］時(shí)-，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量

之比是函數(shù).(填序號(hào))

①在［X。，Xi］上的平均變化率；

②在XO處的變化率；

③在X］處的變化率；

④以上都不對(duì).

2.設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x由XO改變到Xo+/x時(shí)，函數(shù)的

增量/y=.

3.已知函數(shù)f(x)=2x2—1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(l+/x,

f(l+Jx)),則曝=.

4.某物體做運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t),則該物體在t至!Jt+/t這段時(shí)間

內(nèi)的平均速度是.

5.如圖，函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均變化率是.

6.已知函數(shù)y=f(x)=x2+l,在x=2,zfx=0.1時(shí)，，Ay的值為

7.過曲線y=2x上兩點(diǎn)(0,1),(1,2)的割線的斜率為.

8.若一質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)=8+t2運(yùn)動(dòng)，則該質(zhì)點(diǎn)在一小段時(shí)間

［2,2.1］內(nèi)相應(yīng)的平均速度是.

二、解答題

9.已知函數(shù)f(x)=x2—2x,分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間［—3,—1］,［2,4］

上的平均變化率.

10.過曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P(l,l)和Q(l+/x,l+/y)作曲線的割

線，求出當(dāng)/x=0.1時(shí)割線的斜率.

【能力提升】

11.

甲、乙二人跑步路程與時(shí)間關(guān)系如右圖所示，試問甲、乙二人哪

一個(gè)跑得快？

12.函數(shù)f(x)=x?+2x在［0,a］上的平均變化率是函數(shù)g(x)=2x—

3在［2,3］上的平均變化率的2倍，求a的值.

?反思感悟

1.做直線運(yùn)動(dòng)的物體，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用函數(shù)s=s(t)描述，設(shè)

山為時(shí)間改變量，在to+山這段時(shí)間內(nèi)，物體的位移(即位置)改

變量是Js=s(to+Jt)—S(to),那么位移改變量Js與時(shí)間改變量Jt

的比就是這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度即7=堂=

s(tp+/t)-s(t())

Jt.

2.求函數(shù)f(x)的平均變化率的步驟：

⑴求函數(shù)值的增量Zly=f(x2)-f(x1)；(2)計(jì)算平均變化率9=

f(X2)—f(Xi)

X2—X1,

3.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)

知識(shí)梳理

1.和(或差)>不)土g'(力

2.第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(x>g(x)+/)-g'(x)C-f(x)

g。)/"(r)—甕)

3.分母的積分母的導(dǎo)數(shù)分母的平方?

g(x)

(g(x)WO)

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.3/+32n3解析(In3)'=0,注意避免出現(xiàn)(In3)'=；的錯(cuò)誤.

2.x—y+l=0解析y'=ev+xev,當(dāng)x=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)值為1,故所求的

切線方程是y=x+l,即x—y+l=0.

3.18解析。)=4/+2依一仇

小。)一3—/?=—13,

(-1)=-27—4—2a-/?=-27.

a=5,

.7.,.?+/?=5+13=18.

b=13.

4.y=12Qx解析y'=(x—l)(x—2)***(x—6)+x[U—1)U—2)*(%—6)]',

所以/(0)=1X2X3X4X5X6+0=720.

故切線方程為y=720x.

5.1e2解析\'y'=(ex)/=eA；

.,.在(2,e2)處的切線斜率為e2,

...曲線在點(diǎn)(2,e2)處的切線方程為y-e2=e2(x—2),

即y=e2%—e2.當(dāng)尤=0時(shí)，y=~e2-,當(dāng)y=0時(shí)，x=l.

；.SA=；X1X|—e2|=^e2.

6.1解析，)cosx+sinx,

：.f[x)=~f像inx+cosx：.f(4)=-/儕X乎+坐

"佯)=^^=啦-L故周=(啦一DX陰￥=1.

7.2x—y+3=0解析由?x)=sinx+et+2得/'(x)=cosx+e1,

從而/'(0)=2,又.*0)=3,所以切線方程為y=2x+3.

12533125

8.而解析=2t-p,二當(dāng)?shù)?秒末，v=8—^=j^-(m/s).

9.解(l)y'=(10'y=10vln10.

f(x+cosX)’(尤一COSX)—(x+cos■￥)(■￥-COSX)’

Q)，(X-cosx)2

(1-sinx)(x-cosx)—(x+cosx)(1+sinx)

(x-cosx)2

-2(cosx+xsinx)

(x-cosx)2

(3)y'=(2Aycosx+(cosx)'2"-3[>log2oux+(log2?！竣棰?/p>

=2vln2-cosx—sinx-2x—3flog2onx+|-log2onelx]

=2'ln2-cosx—2Asin%—31og2oii%—31og2one.

(4)y'=(xtanx)'

(xsinx)'cos尢-xsinx(cosx)’

(cosx)2

(sin尤+xcosx)cosx+xsiMx

(cosx)2

sinxcosx+Mcos2尤+sin2尤)

(cosx)2

^sin2x+x.cIn

_2__________sm2x十2x

(cosx)2-2cos2尤,

10.解f(x)=2x+cosx.

故曲線在點(diǎn)(兀，兀2)的切線斜率為2?！猧,

所以切線為y—兀2=（2兀-1）（九一兀），

即（2兀一l）x—y—兀2+兀=o.

11?卷，兀）解析/一西%4

T，

^+2+~

e1

■3兀、

,.,&，+最22,，一iWy'<0,即一lWtana<0,/.otGn\.

12.解依題意知與直線萬(wàn)一y一2=0平行的拋物線y=f的切線的切點(diǎn)到直

線x—y—2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（次，成）.

=（x2）/=2x,/.2xo=l,.*.xo=1.切點(diǎn)坐標(biāo)為（；，

1-1-2廠

2447\12

.?.所求的最短距離d=-忑—=等.

3.1.2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)（一）

高二-一部數(shù)學(xué)組劉蘇文2017年4月3日

知識(shí)梳理?

1.瞬時(shí)速度的概念

作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在不同時(shí)刻的速度是不同的，把物體在某

一時(shí)刻的速度叫.

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系是s=f(t),

當(dāng)Jt趨近于0時(shí)，函數(shù)f(t)在to至ljto+Jt之間的平均變化率

幽士竽儂趨近于常數(shù)，我們這個(gè)常數(shù)稱為.

2.導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，x0e(a,b),當(dāng)/x無限趨

近于0時(shí)一，比值今=___________無限趨近于一個(gè)常數(shù)A,則稱

ZJX

f(x)在點(diǎn)x=X0處，并稱該常數(shù)A為

______________________________，記作f'(X0).

3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若f(x)對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨

著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱

為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f'(X).

4.瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)物體的位移S(。對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=

5.瞬時(shí)加速度是運(yùn)動(dòng)物體的速度v(t)對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即a(t)

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、填空題

1.任一作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是S=3t—12,

則物體的初速度是.

f（x（）-/x）~~f（x（））

2.設(shè)f(x)在x=xo處可導(dǎo)，則當(dāng)/x無限趨近于0時(shí)

Jx

的值為.

3.一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s=：at2(a為常數(shù))，則該物體在t=to時(shí)

的瞬時(shí)速度是.

3

4.已知f(x)=-x2+10,貝！)f(x)在x=］處的瞬時(shí)變化率是

5.函數(shù)y=x+：在x=l處的導(dǎo)數(shù)是.

A.

6.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+2,若f'(—1)=3,則a=

7.曲線￡儀)=正在點(diǎn)(4,2)處的瞬時(shí)變化率是一

8.已知物體運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間之間的關(guān)系是：v(t)=t2+2t+2,

則在時(shí)間間隔［1,1+戊］內(nèi)的平均加速度是，在t=l時(shí)的

瞬時(shí)加速度是.

二、解答題

比在

9.用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)=x=l處的導(dǎo)數(shù).

10.槍彈在槍筒中可以看作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是a=

5X105m/?,槍彈從槍口射出時(shí)所用的時(shí)間為1.6X10-3$.求槍彈射

出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度.

甫自力提升】

11.已知函數(shù)y=ax?+bx+c,求函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù).

12.以初速度vo(vo>O)垂直上拋的物體，t秒時(shí)間的高度為s(t)=

vot—^gt2,求物體在時(shí)刻to處的瞬時(shí)速度.

@反思感悟

1.利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的步驟:

(1)計(jì)算函數(shù)的增量：Jy=f(xo+zlx)—f(xo).

(2)計(jì)算函數(shù)的增量與自變量增量的比任

⑶計(jì)算上述增量的比值當(dāng)/X無限趨近于0時(shí)，%

ZJA.

f(x。+髭一即。)無限趨近于A.

Z.1A.

2.導(dǎo)數(shù)的物理意義是物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

上一節(jié)答案

3.1.1平均變化率

知識(shí)梳理

］於2)—加1)

X2~X\\x=X2~X\增量為+Ar/(%2)一兀3

?X2~X\

Ax

2.斜率

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.①

2./(xo+Ar)—?xo)

3.4+2Ax

解析A^=/(1+Ar)-/(l)=2(l+Ar)2-l-2Xl2+l=4Ax+

2(Ax)2,

.Ay4AX+2(AX)2

=4+2Ax

,,ZAx

5(Z+Az)—S?)

4,Ar

解析由平均速度的定義可知，物體在/到r+加這段時(shí)間內(nèi)的平

均速度是其位移改變量與時(shí)間改變量的比.

As_s(，+A/)—s(/)

所以V=

△「Nt

5.—1

解析W3)一?i)q

用牛忻3-121.

6.0.41

7.1

解析由平均變化率的幾何意義知

1-I)

8.4.1

解析質(zhì)點(diǎn)在區(qū)間［2,2.1］內(nèi)的平均速度可由寸求得，即。=苗=

t^)=4l

0.1'J。

9.解函數(shù)7U)在［-3,—1］上的平均變化率為：

八—If—3)

(-1)-(-3)

［(1)22X(1)］［(3)22X(3)］,

——6.

函數(shù)人工)在［2,4］上的平均變化率為:

/4)—A2)(422X4)Q22X2)

4-2

10.解?.?Ay=/(1+Ax)-A1)=(1+Ar)3—1

=3Ax+3(Ar)?+(AXP,

二.割線PQ的斜率

Ay(△x)3+3(Ax)2+3Ar

=(AX)2+3AJC+3.

當(dāng)△x=0.1時(shí)，割線P。的斜率為2,

則々=『=(0.1)2+3X0.1+3=3.31.

二.當(dāng)Ax=0.1時(shí)割線的斜率為3.31.

11.解乙跑的快.因?yàn)樵谙嗤臅r(shí)間內(nèi)，甲跑的路程小于乙跑

的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.

12.解函數(shù)兀t)在［0,司上的平均變化率為

X?)-A0)〃+2Q

--==Q十2.

a—0a

函數(shù)g(x)在［2,3］上的平均變化率為

g(3)—g(2)(2X3—3)—(2X2—3)

3-2~1-2,

?.?。+2=2*2,：.a=2.

3.1.2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)(二)

高二?一部數(shù)學(xué)組劉蘇文2017年4月3日

知識(shí)梳理?

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x()處的導(dǎo)數(shù)f'(x())的幾何意義是:

2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟：

⑴求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x()處的導(dǎo)數(shù)(xo)；

(2)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y-yo=f(xo).(x-

Xo).

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、填空題

1.曲線y=1在點(diǎn)P(l,l)處的切線方程是.

2.已知曲線y=2x3上一點(diǎn)A(l,2),則A處的切線斜率為

3.曲線y=4x—x3在點(diǎn)(一1,—3)處的切線方程是.

4.若曲線y=x”的一條切線/與直線x+4y—8=0垂直，則/的

方程為.

5.曲線y=2x—x3在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為.

6.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x()處可導(dǎo)，且(x())>0,則曲線y=f(x)

在點(diǎn)(xo,f(xo))處切線的傾斜角的范圍是.

7.曲線f(x)=x3+x—2在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=4x—1,則

P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

8.已知直線x—y—1=0與曲線y=ax2相切，則a=.

二、解答題

9.已知曲線y=?在點(diǎn)P(l,4)處的切線與直線/平行且距離為小兀

A.

求直線I的方程.

10.求過點(diǎn)(2,0)且與曲線丫=:相切的直線方程.

A.

【能力提升】

11.已知曲線y=2x2上的點(diǎn)(1,2),求過該點(diǎn)且與過該點(diǎn)的切線垂

直的直線方程.

12.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2—9x—1(a<0).若曲線y=f(x)的斜率最

小的切線與直線12x+y=6平行，求a的值.

⑥反思感悟

1.利用導(dǎo)數(shù)可以解決一些與切線方程或切線斜率有關(guān)的問題.

2.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上.如

果已知點(diǎn)在曲線上，則切線方程為y—f(xo)=f'(xo)(x-xo)；若已

知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(xo,f(x0)),表示出切線方程，然后

求出切點(diǎn).

上一節(jié)答案

3.1.2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)(一)

知識(shí)梳理

1.瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度

2M+黑一刎可導(dǎo)函數(shù)人x)在點(diǎn)x=xo處的導(dǎo)數(shù)

4.S'(/)5.v'(r)

作業(yè)設(shè)計(jì)

2

.Q翻加△S.v(Ar)-5(0)3Ar-(Ar).

1.3解析瓦=-&一=-&-=3Q—△/，

當(dāng)加無限趨近于0時(shí)，卻無限趨近于3.

..7(X0—Ax)-*xo),/(x())-*X0-Ax)

2.—f(xo)解析Ax—Ax

__/(A-O)-/(A-O-AA-)

Ax

???當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，原式無限趨近于一/(次).

3.ato

s(fo+△，)一5(△)1

斛析A/一—2必1+。加，

當(dāng)加無限趨近于。時(shí)，黑無限趨近于〃0.

4.-3

解析

當(dāng)心無限趨近于0時(shí)，碧無限趨近于一3.

5.0

A)，(l+Ax)+]+--2

解析

AxAr

(1+?>+1-2(1+Ax)

""Ml+Axj-

(Ax)2Ar

AA(1+AX)1+AX*

當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，言無限趨近于0.

6.1

解析.『y)

a(—1+Ax)3—4(—1)3

=Ax

=a(Ax)2—3aAx+3a.

.?.當(dāng)Ax無限趨近于。時(shí)，言無限趨近于3m

即3a=3,.*.a=l.

葩矯)

斛析比M=,一A4+直AA-—)-/(4)4+A%一-2

―N4+Ax+2'

.?.當(dāng)Ar無限趨近于。時(shí)，當(dāng)無限趨近于由

8.4+△/4

解析在［1,1+4］內(nèi)的平均加速度為第=蛆嗯二也=0+4,當(dāng)加無限

趨近于0時(shí)，風(fēng)無限趨近于4.

9.解VAJ=A1+Ax)-Xl)=^^-^

1—yj1+Ax_________-_______

yj1+Axyj1+Ax-(1+'1+Ax)

.△「_一］

,,戰(zhàn)，1+Ax?(l+51+?)'

???當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，

________2J________

\1+Ax.(1+yj1+Ax)

無限趨近于T"(i)=-q

10.解運(yùn)動(dòng)方程為s=；aK

因?yàn)椤?=淤(九)+0)2—呼招

=a/oAr+^fl(Ar)2,

所以治=砒)+/心大

所以當(dāng)△/無限趨近于。時(shí)，巖無限趨近于mo.

由題意知，a=5XIO5m/s2,r()=1.6X103s,

所以30=8義102=800(m/s).

即槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為800m/s.

11.解Ay=6f(2+Zkx)2+/?(2+Ax)+c—(4a+2/7+c)

=4aA%+^z(Ax)2+/?Ax,

.AyA^)2+Z?Ax,,

*/----------------------------------------------------------------------------------------------AC—I—Al—I—ZTIA-V

當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，黨無限趨近于4a+4

所以函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)為4a+b.

12.解A5=uo(fo+A/)—^g(Zo+A/)2—

所一上而)=Qo—8助加一金(加)2,：.^=vo-gto—^gAt,

當(dāng)無限趨近于0時(shí)，器無限趨近于優(yōu)一g/0.

故物體在時(shí)刻ro處的瞬時(shí)速度為00-gm.

§3.2.1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

高二?一部數(shù)學(xué)組劉蘇文2017年4月3日

知識(shí)梳理?

1.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(kx+b)'=;C'=(C為常數(shù))；x'

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

(Xn)z=_______(n為常數(shù))

(a)=________(a>0,且aWl)

(logaX)'=~loge=----_____(a>0,且aW1)

Aa

cy=________

(bix)'=_______

(5Z71X)f~~________

(cosx)，=________

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一'填空題

1.下列結(jié)論不正確的是______.(填序號(hào))

①若y=3,則y，=0；②若y=白，則y，=—1A/X；

③若y=-5，則y'=-2^x;④若y=3x,則y'=3.

2.下列結(jié)論:①(cosx)'=sinx；②'比如=cos?③若y=±,

2

貝ijf,(3)=一冷淇中正確的有個(gè).

3.設(shè)fo(x)=s%x,fl(x)=f'0(X),f2(X)=f'i(x),…，fn+l(x)=f'n(x),

n￡N,則及oio(%)=.

4.已知曲線)=必在點(diǎn)尸處的切線斜率為攵，則當(dāng)％=3時(shí)的P

點(diǎn)坐標(biāo)為.

5.質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間f的關(guān)系是5=%，則質(zhì)點(diǎn)在

t=4時(shí)的速度為.

6.若函數(shù)yy%)滿足兀￥—1)=1—2%+/,則/(%)=______.

7.曲線y=cos%在點(diǎn)A后期處的切線方程為

8.曲線丫=好上切線傾斜角為例點(diǎn)是

二、解答題

9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=log4-log4x2；

2x2+l

(2)產(chǎn)x2x；

10.已知曲線y=/上有兩點(diǎn)A(l/)，3(2,4).求:

(1)割線AB的斜率ZAB;

(2)在［1/+時(shí)內(nèi)的平均變化率；

⑶點(diǎn)4處的切線斜率Mr；

(4)點(diǎn)4處的切線方程.

甫自力提升】

11.若曲線+存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

12.假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%,物價(jià)p(單

位：元)與時(shí)間/(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：

MO=po(l+5%)’，

其中po為t=0時(shí)的物價(jià)，假定某種商品的po=L那么在第10

個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少？(注In

1.05-0.05,精確到0.01)

⑥反思感悟

1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以利用導(dǎo)數(shù)的定義，也可以直接使用基本初

等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

2.對(duì)實(shí)際問題中的變化率問題可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題解決.

上一節(jié)答案

3.1.2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)(二)

知識(shí)梳理

1.曲線y=/a)上過點(diǎn)X。的切線的斜率

作業(yè)設(shè)計(jì)

1—Ax

Ay1+Ax1+Ar-1

1.x+y-2=0

解析Ax-AxAx—1+Ax'

當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，會(huì)無限趨近于一1,

'.k=—1,

，切線方程為y—1=—(x—1),即x+y—2=0.

2.6解析；y=2x3,

2(x+Ax)3—2J?2(AX)3+6X(AX)2+6%2Ax,,,,

?Av_-一屋-----=----靖-------=2(右)2+6必x+6f.

二當(dāng)/x無限趨近于0時(shí)，票無限趨近于6f,

.?.點(diǎn)41,2)處切線的斜率為6.

-lAy4(x+Ax)—(x+Ax)3—4%+x3

3.x-y-2=0解析一--------

=4—(Ax)2—3X2—3x(Ax),

當(dāng)Ax無限趨近于。時(shí)，會(huì)無限趨近于4—3f,

(-1)=1.所以在點(diǎn)(一1,一3)處的切線的斜率為2=1,

所以切線方程是y=x—2.

4.4x—y—3=0解析與直線x+4y-8=0垂直的直線/為4x-y+

m=0,即y=*4在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4,而y'=4x3,所以y=%4在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為4,

此點(diǎn)的切線方程為4x—y—3=0.

5.x+y-2=0解析^=2—(Ax)2—3/—3x(—)，

當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，言無限趨近于2—31,

.\yf—2—3f,:?k=2—3=—1.

???切線方程為y~~1=—(X—1),即x+y—2=0.

6.(0,目解析k=f(xo)>O,/.tan6b>0,0e^0,"

7.(1,0)或(一1,—4)解析設(shè)P(xo,yo),由共幻二X3+尤一2,

^=(AX)2+3X2+3X(AA)+1,當(dāng)1無限趨近于0時(shí)，圖無限趨近于3f+l.

???f(x)=3f+1,令fr(xo)=4,即3xo+1=4,得xo=l或xo=-1,

???「(1,0)或(一1,-4).

8.1解析好心+.一江=2以+人,

當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，2ax+aAx無限趨近于2ax,

/./(x)=2ax.設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),則/'(xo)=2oxo,2axo=1,

且yo=xo-1=ax(i,解得xo=2,a=[

4_4

△y/+Av)—/(x)x+Axx_4AJC4

9.解

△xAxAA-XAX(X+AX)X(X+AJC)'

44

10.當(dāng)Ax無限趨近于。時(shí)，—/.：八、無限趨近于一表,

4

即，(x)=-J.k=f'(1)=—4,切線方程是y—4=—4(x—1),

即為4x+y—8=0,設(shè)/：4x+y+c=0,則3^=小學(xué),，

，|c+8|=17,/.c=9,或c=-25,

?二直線/的方程為4x+y+9=0或4x+y—25=0.

10.解(2,0)不在曲線上，令切點(diǎn)為(x(),yo),則有、()==；.①

A-A-0

1_1

Avx+Axxi1

又△吃x=-ixxx(x二+AKx)，當(dāng)Ar無限趨近于0時(shí)，一x((x+:AKx)無限趨近

于一點(diǎn)■-k=f(xo)=-^.二切線方程為y=T(L2).而￡?]=一*②

由①②聯(lián)立方程組可得xo=l,故切線方程為x+y—2=0.

2

AJ：=2(1+AX)-2

”,用牛AxAx

4Ax+2(Ax)2

=------=4+2Ax,

AAx

當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，圖無限趨近于4,

(1)=4....所求直線的斜率為％=一

.'.y—2=—^(x—l),即x+4廠9=0.

12.解VAy=f(x()+Ax)~f(xo)

=(xo+ZU)3+a(xo+Ax)2—9(xo+Ax)—1~(x^+ax^—9xo—1)

=(3君+2axo—9)Ax+(3xo+a)(Ax)2+(Ax)3,

辭=3x8+20ro—9+(3xo+a)Ax+(Zkx)2.

3.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)

高二?一部數(shù)學(xué)組劉蘇文2017年4月3日

知識(shí)梳理?］

1.兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的

，即伏4)±虱初'--

2.兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)，

加上,即

優(yōu)力?必朝'=.特別地［C7U)］，=(其

中C為常數(shù)).

3.兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與減去

與分子的積，再除以.即

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、填空題

1.已知＜%)=必+3'+1113,則，(%)=.

2.曲線y=%e'+l在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是.

3.已知函數(shù)/U)=d+or2—法，且/(())=-]3,/(―1)=一

27,則a+b=.

4.曲線y=%(%—1)(%—2)…—6)在原點(diǎn)處的切線方程為

5.曲線y=e，在點(diǎn)(2,eV處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面

積為?

6.已知函數(shù)/(%)=/'令cos%+sin%,則就)的值為.

7.曲線C：f(x)=sinx+e+2在x=Q處的切線方程為

3

8.某物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是的單位是秒，s

的單位是米)，則它在第4秒末的瞬時(shí)速度應(yīng)該為m/s.

二、解答題

9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=l(r；

%+cosX

(2)y=%—cosx;

(3)y=2"cos%—3%log2oii%;

(4)y="tanx.

10.求曲線y=%2+sin%在點(diǎn)(兀，/)處的切線方程.

前力提升】

4

11.已知點(diǎn)尸在曲線)=再彳上，a為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾

斜角，則a的取值范圍為.

12.求拋物線y=X2上的點(diǎn)到直線％—2=0的最短距離.

⑥反思感悟

1.理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的

前提條件.

2.對(duì)于一些應(yīng)用問題如切線、速度等，可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,

利用公式進(jìn)行計(jì)算.

上一節(jié)答案

3.2.1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

知識(shí)梳理

1.4012%一土

2.

_____________—=紗"一[a為常數(shù))_____________

___________⑷)'=Tlna(a>0,且aWl)__