2.4.1空間直線的方向向量和平面的法向量課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

空間直線的方向向量和平面的法向量第2章空間向量與立體幾何湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)課標(biāo)要求1.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面,理解直線的方向向量.2.理解平面的法向量的概念,會(huì)求平面的法向量.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1直線的方向向量1.空間中點(diǎn)的位置向量:在空間中,取一定點(diǎn)O作為原點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P的位置就可以用向量

來表示,稱為點(diǎn)P的

.

2.一般地,如果非零向量v與

,就稱v為l的方向向量.

位置向量

直線l平行

名師點(diǎn)睛1.空間直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)都由它的位置向量唯一確定,從而也就由它的坐標(biāo)唯一確定.2.已知空間直線l上一個(gè)定點(diǎn)A以及這條直線的一個(gè)方向向量,就可以確定這條空間直線的位置.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)一條直線的方向向量可以有無數(shù)個(gè).(

)(2)直線的方向向量都是共線且方向相同的.(

)(3)已知直線l上的點(diǎn)A,B,所有與向量

平行的向量都是直線l的方向向量.(

)2.空間中的直線l的位置能由直線l的方向向量v確定嗎?√××提示

空間中直線l的位置不能由v確定,可由v和直線l上的一個(gè)點(diǎn)唯一確定.知識(shí)點(diǎn)2平面的法向量如果

n所在直線與平面α垂直,則稱n為平面α的法向量.

名師點(diǎn)睛平面的法向量的性質(zhì)(1)如果直線l垂直于平面α,則直線l的任意一個(gè)方向向量都是平面α的一個(gè)法向量.(2)如果n是平面α的一個(gè)法向量,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ≠0,空間向量λn也是平面α的一個(gè)法向量,而且平面α的任意兩個(gè)法向量都平行.(3)如果n為平面α的一個(gè)法向量,A為平面α上一個(gè)已知的點(diǎn),則對(duì)于平面α上任意一點(diǎn)B,向量

一定與向量n垂直,即n·=0,從而可知平面α的位置可由n和A唯一確定.非零向量

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè).(

)(2)若一個(gè)向量與平面內(nèi)的兩條直線的方向向量垂直,則該向量就是平面的法向量.(

)2.如何確定平面的法向量?√×提示

設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則用方程組重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一直線的方向向量的理解【例1】

若A(0,1,2),B(2,5,8)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為(

)A.(3,2,1) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(1,2,3)D解析

因?yàn)锳(0,1,2),B(2,5,8)在直線l上,所以直線l的一個(gè)方向向量

變式探究寫出本例中直線的一個(gè)單位方向向量.規(guī)律方法

根據(jù)直線上的點(diǎn)求直線的方向向量的方法已知直線上的點(diǎn)A,B的坐標(biāo),可以利用直線的一個(gè)方向向量是

以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算求直線的方向向量.探究點(diǎn)二平面的法向量【例2】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.變式探究本題中如何求平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量?它們之間有何關(guān)系?解

如同例題建系方法,易知平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2.規(guī)律方法

求平面的法向量的方法

變式訓(xùn)練[人教B版教材例題]如圖所示,已知空間直角坐標(biāo)系中的三棱錐O-ABC中,O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中abc≠0.求平面ABC的一個(gè)法向量.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)直線的方向向量;(2)平面的法向量.2.方法歸納:(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求直線的方向向量;(2)利用待定系數(shù)法求平面的法向量.3.特別提示:已知直線上的兩點(diǎn)A,B,則直線的方向向量是所有的與

同向或反向的共線的向量;平面的法向量不是唯一的,可以有無數(shù)個(gè).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.已知一直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,2),B(-1,0,5),下列向量中不是該直線的方向向量的為(

)A.a=(1,1,1)B.a=(-1,-1,1)C.a=(-3,-3,3)D.a=(1,1,-1)A123452.(多選題)下列命題中真命題的是(

)A.直線l的方向向量有無窮多個(gè)B.若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反C.若向量a是直線l的一個(gè)方向向量,則向量ka也是直線l的一個(gè)方向向量D.如果a,b與平面α共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一個(gè)法向量AB解析

由直線的方向向量的定義易知A,B為真命題;當(dāng)k=0時(shí),C不成立,故C為假命題;若a,b共線,則n就不是平面α的一個(gè)法向量,故D為假命題.故選AB.123453.已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2),α的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是(

)B123454.已知直線l過點(diǎn)A(3,2,1),B(2,2,2),且a=(2,0,x)是直線l的一個(gè)方向向量,則x=

.

-2123455.