第二講 線與圓的位置關系

第二講直線與圓的位置關系

THESECONDCHAPTER

一圓周角定理

營預習導學一挑戰(zhàn)自我，點點落實___________________________________________________________

［學習目標］

1.探究并理解圓周角定理的證明過程.

2.通過圓周角定理的證明過程，體會分類討論思想，并能對一些簡單的數學問題

進行分類討論.

3.理解圓周角定理、圓心角定理及圓周角定理的兩個推論，能用這些定理、推論

解決相關的幾何問題.

［知識鏈接］

1.“相等的圓周角所對的弧相等”是否正確？

提示不正確.“相等的圓周角所對的瓠相等”是在“同圓或等圓中”這一大前

提下成立的，如圖.

若A8〃OG,則但比W分.

2.圓的一條弦所對的圓周角都相等嗎？

提示不一定相等.一般有兩種情況:相等或互補.弦所對的優(yōu)弧與所對劣弧所成的

圓周角互補，所對同一條弧上的圓周角都相等，直徑所對的圓周角既相等又互補.

［預習導引］

1.圓周角定理

圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

語言

A

圖形

語言

符號在。。中，比所對的圓周角和圓心角分別是NBAC,ZBOC,則有NBAC

語言==ZBOC

作用確定圓中兩個角的大小關系

2.圓心角定理

文字

圓心角的度數等于它所對弧的度數

語言

圖形

語言0

符號

A,8是。。上兩點，則檢的度數等于NAQB的度數

語言

作用確定圓弧或圓心角的度數

3.圓周角定理的推論

推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧

也相等.

推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直免；90°的圓周角所對的弦是直逛.

h課堂講義E重點難點,個個擊破

要點一圓周角定理及其推論

例1在半徑為5cm的圓內有長為5，5cm的弦A3,求此弦所對的圓周角.

解如圖所示，過。點作OO_LAB于點D

因為0O_LA3,。。經過圓心，

所以十(cm).

在RtzXAOO中，OD=^/(9A2—AD2=|(cm),

E

所以NOAO=30。，

所以NAOD=60。.

所以NAO8=2NAOD=120°,

所以NAC8=3NAOB=60°.

因為NAO5=120°,所以/麗的度數為120°,

的度數為240。.

所以NAEB=gx240°=120°.

所以此弦所對的圓周角為60?；?20。.

規(guī)律方法弦所對的圓周角有兩個，易丟掉120°導致錯誤，另外求圓周角時易

應用到解三角形的知識.

跟蹤演練1如圖，已知：△A3C內接于00,D,E在8C邊上，且&)=CE,

Z1=Z2.

求證：AB=AC.

證明延長A。，AE,分別交。。于憶G,連接8b，CG,

VZ1=Z2,：.BF=CG,

：.BF=CG,BG=&,

：.乙FBC=ZGCE.

火,：BD=CE,:ABFD經ACGE,

：.AF=AG,AB=A^,：.AB=AC.

要點二圓心角定理

例2如圖所示，AB,C。是。O的兩條直徑，CE//AB,求證：BC=AE.

D

A

證明連接。E,因為OE=OC,所以NC=N￡

因為CE〃/LB.所以NC=NBOC,NE=NAOE.

所以NBOC=ZAOE.

所以比=能.

規(guī)律方法證明弧相等只需證明弧所對的圓心角相等，通常用圓周角定理或平行

來轉化.

跟蹤演練2如圖所示，已知。。中，/AOB=2N8OC求證：

ZACB=2ZBAC.

證明,/ZACB=^ZAOB,

NBAC=：NBOC,

又由已知NAO3=2NBOC,

ZACB=^X2ZB0C=ZBOC.

i^ZBAC=^ZACB,即：ZACB=2ZBAC.

要點三直徑上的圓周角

例3如圖所示，已知A3為。。的直徑，AC為弦，OD//BC,

交AC于。，BC=4cm.

(1)試判斷0D與AC的位置關系；

⑵求。。的長；

(3)若2sinA-1=0,求。。的直徑.

解(DOOLAC.理由如下：

:48為的直徑，：.ZACB=90°.

VOD//BC,：.ZADO=ZACB=9Q°,AODA.AC.

(2)V^AOD^AABC,?,?段=笆=〈，

￡>CZ\DZ

/.2(cm).

(3)2sinA-1=0,二?sinA=；.

Be

又人也A=”，.\AB=2BC=Scm,

AD

即。。的直徑為8cm.

規(guī)律方法此題充分利用了“直徑所對的圓周角是直角”這一特征，并在此基礎

上對前面所學知識進行適當的綜合.

跟蹤演練3如圖，A3是半圓的直徑，AC為弦，且AC：

=4：3,AB=10cm,OO_L4c于D求四邊形。BCD的面積.(X\\\

解?..AB是半圓的直徑，，/。=90°.八°

VAC:5C=4：3,二可設AC=4光，BC=3x.

又?.?A8=10,.116*+9f=100,

.'.x=2,/.AC=8cm,BC=6cm.

又?..ODUC,AOD//BC,

.'.AD=4cm,OD=3cm.

S西邊彤OBCD=SZ^ABC—SAAOD=]X6X8—5X3x4=24—6=18(cm2).

課堂小結

1.圓周角定理揭示了圓周角與圓心角的關系，把角和弧兩種不同類型的圖形聯(lián)系

起來.在幾何證明的過程中，圓周角定理為我們解決角和弧之間的問題提供了一種

新方法.

2.圓心角的度數等于它所對的弧的度數，它與圓的半徑無關，也就是說在大小不

等的兩個圓中，相同度數的圓心角，它們所對的弧的度數相等；反過來，弧的度

數相等，它們所對的圓心角的度數也相等.

3.關于圓周角定理推論的理解

(1)在推論1中，注意：“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”的話結論就不成立了，

因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，在一般情況下是不相等的.

(2)圓心角的度數和它所對的弧的度數相等，但并不是“圓心角等于它所對的

弧”.

(3)”相等的圓周角所對的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”.

(4)在同圓或等圓中，由弦相等今弧相等時，這里的弧要求同是優(yōu)弧或同是劣弧,

一般選劣弧.

聲當堂檢測1當堂訓練，體驗成功

1.如圖,43為。。的直徑，C,。是。。上的兩點，N3AC=20°,c

AD=CD,則ND4c的度數是()一

AO

A.30°B.35°

C.45°D.70°

解析"/NBAC=20。，

比的度數為40°,的度數為140。.

'：AD=Cb,二⑨的度數為70。.

：.ZDAC=35°.

答案B

2.如圖所示，在。。中，ZBAC=25°,則N80C等于()R__y

A.25°B.50°(\\/J

C.30°D.12.5°kyy

解析根據圓周角定理，得NBOC=2N8AC=50°.A

答案B

3.AABC內接于。O,且@：BC:G4=3：4：5,則NA=,NB=

，NC=.

解析,：AB：BC：CA=3：4：5,

二檢的度數為90°,比的度數為120°,為的度數為150°,

AZA=60°,ZB=75°,ZC=45°.

答案60°75°45°

4.如圖所示，在。。中，直徑AB=10cm,8c=8cm,CD平分

ZACB,求AC和DB的長.o/X/\\

解???AB是。。的直徑，而直徑所對的圓周角是直角，.?.△ABCV\7/y

D

是直角三角形.

由勾股定理可得AB1=AC1+BC1,

即1()2=AC2+82,，AC=6(cm).

平分N3C4,：.ZBCD=ZDCA=45°.

..?同弧所對的圓周角相等，

：.ZDBA=ZDCA=45a,NBAD=NBCD=45°,

：.NDBA=NBAD,：.DB=AD,

...由勾股定理可得482=2802,

即102=2。)，：.DB=5由(cm).

事分層訓練i解疑糾偏，訓練檢測___________________________________________________________

一、基礎達標

1.如圖，。是〃的中點，與NABO相等的角有（）發(fā)

A.7個B.3個）

C.2個D.1個

解析與NA8D相等的角分別為NCB。，ZACD,ZCAD.

答案B

2.如圖，已知圓心角NA03的度數為100°,則圓周角NAC8的度

數是（）o

A.80°B.100°

C.120°D.130°

解析VZAOB=100°,所對圓心角為260°,AZACB=130°.

答案D

3.如圖，已知AB是半圓。的直徑，弦AO,BC相交于點P,那么CD看等于

A￡>

()

A.sinNBPO

B.cosZBPD

C.tanZBPZ)

D.以上答案都不對

解析連接80,由區(qū)4是直徑，知是直角三角形.根據

PDCD(

ACPD^/\APB,-^=-ZB=cosZBPD.Z---------

PBABA.oB

答案B

4.弦BC分00為1：3兩部分，00的直徑等于4,則BC=.

解析由圓心角定理NBOC=(X360°=90°,：.BC=yl22+22=2y/2.

答案2也

5.如圖所示，A,B,C,。是。。上四點，且。是AB的中點，CD獷7^A

交0B于E,ZA(9B=100°,ZOBC=55°,則/0EC=_______.

解析VZAC>B=100°,且。是檢的中點，：.ZBCD=25°.：.一J

ZOEC=ZB+ZBCD=80°.

答案800

6.如圖所示，在。。中，直徑A3=10cm,弦BC=8cm,點。是檢產

的中點，連接AC,AD,BD.

⑴求AC和8。的長；D

(2)求四邊形AO8C的面積.

解(1)；A8為。。的直徑，：.ZACB=ZADB=9G°."：AB=IQ,BC=8,.?.在

RtZ\A3C中，AC=、A32-3C2=6(cm)」.?點D是檢的中點,：.AD=BD,：.AD

=BD,.'.△AB。為等腰直角三角形，：.BD=ABsin45°=10X當=5&(cm).

⑵由(1)知“邊衫ADBC=S“8C+SAABD=；XACX3C+14D2=；X6X8+J><(56)2

=49(cm2).

二、能力提升

7.在RtZ\A3C中，ZC=90°,NA=30°,AC=2小,則此三角形的外接圓的半

徑為()

A.4B.2C.2^3D.4

解析由圓周角定理推論2知:

AB為RCABC的外接圓直徑，又「A"2=4,故外接圓半徑r=，B=2.

cos』30；。2

答案B

8.在半徑為6cm的圓中，6cm長的弦所對的圓心角等于.

解析6cm長的弦的端點與圓心構成等邊三角形，故此弦所對的圓心角為60°或

120°.

答案60°或120°

9.如圖所示，A8是。。的直徑，。是念的中點，NA8O=20°,則NBCE=

解析如圖所示，連接A￡>,DE,VZABD=20°,ZAED=

20°,又。是崩的中點，.?.NQAC=NOE4=20。，：A3是。O

的直徑，AZADB=90°,.*.ZDC4=70°,:.NBCE=70°.

答案70。

10.（2016?江寧一中單元測試）如圖，為圓。的直徑，AOLBC,A

AF=AB,8/和AO相交于點E,求證：AE=BE.

證明???8C是。。的直徑，

AABAC為直角.又/.RtABDA^RtABAC.AZBAD=ZACB.

"：AB=AF,：.ZFBA=ZACB.

：.ZBAD=ZFBA.

：./\ABE為等腰三角形，?.AE=BE.

11.已知AO是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑.求證：

NBAE=NDAC.\/I\\

證明連接8E,因為AE為直徑，\//

所以NABE=90°.因為AO是△ABC的高，E一,

所以NAOC=90。.所以NAOC=NABE

因為NE=NC,所以N3AE=180°-ZABE-ZE,

ND4c=180°-ZADC-ZC.

所以NB4E=ND4C.

三、探究與創(chuàng)新

A

12.如圖，AO是。O內接三角形ABC的高線，E為數的中點.求證：(的、

ZOAE=ZEAD.1/(/

證明法一顯然NBAE=/C4E,只要證得NB4O=NC4。，就

E

間接證得NOAE=NE4D故延長A。交。。于尸點，連接3F,如圖①，得NAB尸

為直角，又由NC=NE可得NBA。與NC4。相等.

法二若要直接證NOAE=NE4。，就需要把它們設置成圓周角，因此把A。，

A￡)均延長，分別交。。于尸點和G點，連接R7,如圖②，可證得R7〃8C,由

平行直線所夾的弧相等則有呼=田，又徒=沅，：.fi：=R.：.NFAE=NGAE.

法三如圖③，尋找第三個角，利用等量代換來證NOAE=NEAO,故連接OE,

利用垂徑定理得OELBC,進而易知OE〃AD,可得/E=ND4E；同時，在等腰

三角形OAE中ZOAE=ZE,：.ZOAE=ADAE.

二圓內接四邊形的性質與判定定理

?預習導學J挑戰(zhàn)自我，點點落實___________________________________________________________

［學習目標］

1.理解圓內接四邊形的兩條性質定理，并能應用定理解決相關的幾何問題.

2.理解圓內接四邊形判定定理及推論，能應用定理及推論解決相關的幾何問題.

［知識鏈接］

1.判斷下列各命題是否正確.

(1)任意三角形都有一個外接圓，但可能不止一個；

(2)矩形有唯一的外接圓；

（3）菱形有外接圓；

（4）正多邊形有外接圓.

提示（1）錯誤，任意三角形有唯一的外接圓；（2）正確，因為矩形對角線的交點到

各頂點的距離相等；（3）錯誤，只有當菱形是正方形時才有外接圓；（4）正確，因為

正多邊形的中心到各頂點的距離相等.

［預習導引］

1.性質定理1

文字

圓的內接四邊形的對角互處

語言

符號若四邊形ABCO內接于圓0,則有NA+NC=180°,ZB+ZD

語言=180°

o

圖形

語言

作用證明兩個角互補

2.性質定理2

文字

圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角

語言

符號四邊形ABC。內接于。。，￡為AB延長線上一點，則有NCBE=

語言/ADC

圖形

語言e

作用證明兩個角相等

3.圓內接四邊形判定定理

文字

如果一個四邊形的對角互補,那么這個四邊形的四個頂點共圓

語言

符號在四邊形A8CD中，如果/3+/。=180°（或NA+NC=180°）,那么

語言A,B,C,。四點共圓

_c

0

圖形

語言

作用證明四點共圓

4.判定定理的推論

文字如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點

語言共圓

符號在四邊形A5CD中，延長AB到E,若NCBE=NADC,則A,B,C,D

語言四點共圓

/_______C

O

圖形

語言

作用證明四點共圓

尹課堂講義重點難點，個個擊破

要點一圓內接四邊形的性質

例1如圖，在Rt4ABC中，ZACB=90°,在A8上截取出

=AC,以PC為直徑的圓分別交AB,BC,AC于。，E,E求證:

PADA

~PB='DP-

證明連接OF,PF.

：PC是直徑，：.PF1AC.

VBC±AC,J.PF//BC,

.PA__FA

,"PB=FC-

:四邊形PCFD內接于。0,

ZADF=ZACP,

\"AP=AC,：.ZAPC=ZACP.

：.ZADF=NAPC.：.DF//PC,

.DAFA.PA_DA.

,"DP=FC,,，PB=DP-

規(guī)律方法1.在本題的證明過程中，都是利用角相等證明了兩直線平行，然后利

用直線平行，得到比例式相等.

2.圓內接四邊形的性質如對角互補，一個外角等于其內對角，可用來作為三角形

相似或兩直線平行的條件，從而證明一些比例式成立或證明某

些等量關系.

跟蹤演練1如圖所示，。。1和。。2交于A,B兩點，經過A

點的直線分別交兩圓于C,D,經過B點的直線分別交兩圓于E,

F.

求證：CEHDF.

證明連接A3,；四邊形A8EC內接于。。1,

/.ZABF=ZC,?.?四邊形ABF。內接于。。2,

.../48￡=/。.又/48￡：+/48尸=180°,

.?.NC+NO=180°.故可得CE〃。尺

要點二圓內接四邊形的判定

例2如圖，在△ABC中，E,D,尸分別為AB,BC,AC的中點，人

且APL3C于P./\\\

求證：E,D,P,尸四點共圓.B-\tc

解連接PF,

\'AP±BC,尸為AC的中點，人

???PJAC/UK

BDPC

FC=^AC,：.PF=FC,

ZFPC=ZC.

E,F,。分別為AB,AC,BC的中點,

EF//CD,ED//FC,

四邊形EDCE為平行四邊形，：.ZFED=ZC,

ZFPC=ZFED,：.E,D,P,尸四點共圓.

規(guī)律方法1.本題證明的關鍵是如何使用點E、。、口是中點這一條件.

2.要判定四點共圓，多借助四邊形的對角互補或外角與內對角的關系進行證明.

跟蹤演練2如圖，在正△ABC中，點。，E分別在邊3C,AC入

上，且CE=^CA,AD,BE相交于點P,求證：四

BD

點尸，D,C,七共圓；

證明在正△ABC中，由8D=；8C,CE=；CA知△A3。g△3CE,

二NAOB=NBEC,即ZADC+NBEC=況.

二四點P,D,C,E共圓.

要點三圓內接四邊形性質與判定的綜合運用

例3如圖，已知△ABC中，AB=AC,。是△ABC外接圓劣弧

念上的點(不與點A,。重合)，延長3。至E(/

(1)求證：A。的延長線。/平分NCDE；”

⑵若NBAC=30°,ZXABC中8C邊上的高為2+S.求△ABC

外接圓的面積.

(1)證明如圖，B,C,。四點共圓，

二/CDF=NABC.又AB=AC,

AZABC=ZACB,S.ZADB=ZACB,：.ZADB=ZCDF.

又由對頂角相等得ZEDF=ZADB,

故NEDF=/CDF,

即AD的延長線DF平分NCDE.

⑵解設。為外接圓圓心，連接A。并延長交3c于"，則連接0C,

由題意N0AC=N0CA=15°,ZACB=75°,AZOCH=60°,

設圓半徑為r,則r+冬=2+小，得r=2,外接圓的面積為4n.

規(guī)律方法1.在解答本題時用到了圓內接四邊形的性質，垂徑定理等知識，綜合

性較強.

2.此類問題考查知識較為豐富，往往涉及圓內接四邊形的判定與性質的證明和應

用，最終得到某些結論的成立.

跟蹤演練3如圖所示，已知四邊形A3CO為平行四邊形，過AP_______P

FC

點A和點8的圓與AD,分別交于點E,F,連接EF求證：E,F,C,。四點

共圓.

證明由題意知四邊形ABEE是圓內接四邊形，

...NA+N3FE=180°.又在oABCD中，AB//CD,

二乙4+/。=180°,:.NBFE=ND,

：.E,F,C,。四點共圓.

課堂小結

1.對圓內接四邊形的理解

(1)圓內接四邊形是圓內接多邊形的一種特殊情況，它們的關系可以用集合形式表

示：｛圓內接四邊形｝U｛圓內接多邊形｝.

(2)掌握一些常見的結論，例如，正多邊形一定存在外接圓；三角形一定存在外接

圓，并且三角形的外接圓的圓心(即外心)是三條邊的垂直平分線的交點；圓內接

梯形一定是等腰梯形等.

2.判斷四點共圓的基本方法

(1)如果四個點與一定點的距離相等，那么這四個點共圓；

(2)如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；

(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內對角，那么這個四邊形的四個頂點共

圓；

(4)如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且在公共邊的同側，那么這兩

個三角形的四個頂點共圓.

尹當堂檢測J當堂訓練，體驗成功

1.下列說法正確的個數有()

①平行四邊形內接于圓；②梯形內接于圓；③菱形內接于圓；④矩形內接于圓；

⑤正方形內接于圓.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析根據圓內接四邊形的判定定理知，④⑤正確.

答案B

2.四邊形ABCO內接于圓。，NA=25°,則NC等于()

A.25°B.75°C.115°D.155°

解析?.?四邊形ABC。內接于圓O,...NA+NC=180°.又NA=25°,?.ZC

=180°-ZA=155°.

答案D

3.如圖，點A,B,C,。在同一個圓上，直線AB,DC相交于廠

點尸，直線AO,8C相交于點°,如果乙4=50°,/P=30°,(/X

那么NQ=.'Q

解析VZA=50°,ZP=30°,，/QDC=NA+/P=80°.又NQCO=N4

=50°,.\Z2=180°-80°-50°=50°.

答案50°

4.如圖所示，以銳角AABC的三邊為邊向外作三個等邊三角形汴工\

ABD,BCE,C4G.求證：AABD,ABCE,△CAG的外接圓。Oi,

。。2，。。3交于一點.

證明設。Oi,。。3交于點居連接ARBF,CF,SA,F,B,E

D四點共圓，

△A3。為等邊三角形,

同理，ZAFC=120°,又NA尸3+/4尸。+/3尸。=360°,

AZBFC=120°.VZBFC+ZE=180°,：.B,E,C,產四點共圓,

即。。1,。。2,0。3交于一點.

守分層訓練J解疑糾偏，訓練檢測__________________________________________

一、基礎達標

1.如圖，A8CD是。。的內接四邊形，延長BC到E,已知去―

NBCD:NECD=3:2,那么NBOO等于()(

A.12O0B.136°E

C.144°D.15O0

解析'：ABCD：ZECD=3：2,:"ECD=72",AZBOD=2ZA=2ZECD

=144°.

答案C

2.在圓內接四邊形ABC。中，NA：N8：NC：N?？梢允牵ǎ?/p>

A.4：2：3：1B.4：3：1：2

C.4：1：3：2D.以上都不對

解析四邊形ABC。內接于圓，故/A+NC=N3+NO,所以只有B適合.

答案B

3.如圖所示，已知在圓內接四邊形ABC。中，氏4的延長線和CO

的延長線交于點P,AC和3。相交于點E,則圖中共有相似三角

形（）

A.5對B.4對

C.3對D.2對

解析由圓內接四邊形的性質和圓周角定理可以判定：XABESXDCE,MADE

SABCE,△/?4cs△PDB,△如0s△PCB共4對.

答案B

4.如圖所示，四邊形A8CO內接于。0,若N300=110°,那么

NBCD的度數為.

解析VZA=1zBOD=1xilO°=55°,/.ZBCD=180°-

55°=125°.

答案125°

5.如圖，兩圓相交于點A,B,過點A的直線交兩圓于點C,

D,過點8的直線交兩圓于點E,F,連接CE,DF,若NC

=115°,則N0=.

解析如圖，連接A3,

VZC=115°,/.ZABE=65°,

：.ZD=ZABE=65°.

答案65°

6.如圖，在△ABC中，C。是NACB的平分線，△ACO的外接A

Dj

圓交BC于點E,AB=2AC.

E

B

⑴求證：BE=2AD；

(2)當AC=1,EC=2時，求A。的長.

⑴證明連接OE,

..?ACE。是圓的內接四邊形,

:./BDE=ZBCA.

又NDBE=NCBA,

:ABDEsABCA,

_,BEDE一

即有，而，：

^D/7\=CK/iA3=2AC.BE=2DE.

又CO是NACB的平分線，

：.AD=DE,從而BE=2AD.

(2)解由條件得AB=2AC=2,設AD=t,根據割線定理得BDBA=BEBC,即(A8

-AD)BA=2AD-(,2AD+CE),

：.(2~t)X2=2t(2t+2),

即2戶+3/—2=0,解得或-2(舍去)，

即AD=^.

二、能力提升

7.如圖，A8是。。的弦，過A,O兩點的圓交BA的延長線于C,

交00于D,若CO=5cm,則CB等于()(K'TO

A.25cmB.15cm

5

C.5cmD，2cm

解析連接。4,OB,OQ,9：OA=OB=OD,

：.ZOAB=ZOBA,

NODB=NOBD.(Xoj/)

VC,D,0,A四點共圓，

：.NOAB=NCDO,

ZCDO=ZOBA,

：.ZCDO+ZODB=ZOBA+ZOBD,

即NCDB=NC8O,

：.CD=CB,VCD=5cm,

：.CB=5cm.

答案C

8.(2014.陜西高考)如圖，△ABC中，BC=6,以為直徑的半圓

分別交AB,AC于點E,F,若AC=2AE,則EF=.

A(J

解析VZA=ZA,ZAEF=ZACB,AAEF^AACB,：.TE=

答案3

9.如圖，在圓內接四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=6Q°,

AC=a9則四邊形A5c。的面積為.

解析如圖，連接易知NB4O=NA8O=NAOB=NAC8

=ZAC￡>=60°.

設NCA￡>=。，AB=AD=b,

則N8AC=60°—仇

S辿邊形ABCD=S^ABc+SAACD

=；a/?sin(60°—9)+^〃加in0

=；Q/?sin(60°+9)=；"sinNABC,

在△ABC中，由正弦定理可知

a_____b________b

sinZABCsinZACSsin60°'

.\bsmZABC=asin60°.

???SQ四邊形ABCz_>__=_?]?z-6rxfO?6??sin260=a.

答案凜2

10.四邊形ABCD是圓內接四邊形，過點C作DB的平行線交AB的延長線于E點.

求證：BEAD=BCCD.

證明如圖，連接AC.煤一

C

ABE

?四邊形A8CO為圓內接四邊形，

，ZADC=ZEBC.

又BD//EC,

：.ZCEB=ZDBA,且NACD=NDBA,

ZCEB=ZACD.：.△ADCsACBE.；M=器,即BEAD=

/幾Dt!a

BCCD./C

11.如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC,。是AC的中點,

OE平分NAO8交A3于E,過A,D,E的圓交3。于N.求證：

BN=2AE.

證明連接EN.

四邊形AEND是圓內接四邊形，

?.NBNE=NA,又<ZABD=ZABD,

:ABNEsABAD,:瑞=焉

\"AB=AC,AC=2AD,

：.AB=2AD,BN=2EN,

X,/ZADE=ZNDE,：.AE=EN,

:.AE=EN,：.BN=2AE.

三、探究與創(chuàng)新

12.如圖所示，在銳角三角形ABC中，A。是8C邊上的高，DE

1AB,DFLAC,E,尸為垂足.求證：E,B,C,b四點共圓.

證明法一連接EF,

\'DE±AB,DF±AC,

：.ZAED+ZAFD=9Q°+90°=180°,

：.A,E,D,F四點共圓，/.Z1=Z2.

AZBEF+ZC=ZBED+Z1+ZC=90°+Z2+ZC=90°+90°=180°,

：.E,B,C,產四點共圓.

法二連接EF,"JDELAB,DFLAC,

：.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,

E,D,F四點共圓，.\Z3=Z4.

：.ZCFE+ZB=ZCFD+Z4+ZB=90°+Z3+ZB=90°+90°=180°,

：.E,B,C,產四點共圓.

法三連接EF,"：DE±AB,DF±AC,

：.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,

：.A,E,D,尸四點共圓,.".Z1=Z2.

VZAEF=90°-Zl=90°-Z2,ZC=90°-N2,

二ZA￡：F=ZC,

：.E,B,C,尸四點共圓.

法四連接EF,'：DE±AB,DFLAC,

：.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,

E,D,F四點共圓，/.Z3=Z4.

VZAFE=9Q0-Z4=90°-Z3,

ZB=90°-Z3,/.ZAFE=ZB,

：.E,B,C,尸四點共圓.

三圓的切線的性質及判定定理

聲預習導學挑戰(zhàn)自我，點點落實

［學習目標］

1.理解切線的性質定理、判定定理及兩個推論，能應用定理及推論解決相關的幾

何問題.

2.能歸納并正確表示由圓的切線性質定理和兩個推論整合而成的定理.

［知識鏈接］

1.根據直線與圓公共點的個數，說明它們有怎樣的位置關系？

提示直線與圓有兩個公共點時，直線與圓相交；直線與圓有一個公共點時，直

線與圓相切；直線與圓沒有公共點時，直線與圓相離.

2.下列關于切線的說法中，正確的有哪些？

⑴與圓有公共點的直線是圓的切線；

(2)垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；

(3)與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；

(4)過直徑的端點，垂直于此直徑的直線是圓的切線.

提示(3)(4)正確.

［預習導引］

1.切線的性質定理

文字

圓的切線垂直于經過切點的半徑

語言

符號

直線/與圓。相切于點A,則0A11

語言

丁

圖形

語言

A1

作用證明兩條直線垂直

2.性質定理推論1

文字

經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

語言

符號

直線/與圓。相切于點A,過點。作直線〃」/,則A且加

語言

a

圖形

語言

作用證明點在直線上

3.性質定理推論2

文字

經過切點且垂直于切線的直線必經過皿

語言

符號

直線/與圓。相切于點A,過點A作直線〃2,/,則。豆〃2

語言

￡

圖形

語言

41

m

作用證明點在直線上

4.切線的判定定理

文字

經過半徑的外端并且垂直王這條半徑的直線是圓的切線

語言

符號OA是圓。的半徑，直線@04,且AS/,貝心是圓。的

語言切線

￡

圖形

語言

A1

作用證明直線與圓相切

尹課堂講義J重點難點，個個擊破

要點一切線的性質

例1如圖所示，已知AB是。。的直徑，直線CO與。。相切于

點、C,AC平分ND4B,AD.LCD.

⑴求證：OC〃AO；

(2)若AD=2,AC=y[5,求AB的長.

⑴證明如圖所示，連接8C

■:CD為。0的切線，

:.OCLCD.

又A"CD,AOC//AD.

(2)解:,AC平分NOA3,

：.ZDAC=ZCAB.

?.?AB為。。的直徑，

-3=90°.

又A"C￡>,ZADC=90°,

AADC^AACB.

，替=弟，".AC2=ADAB.

AC/In

'."AD=2,AC=y[5,'.AB=^.

規(guī)律方法1.本例中第(2)小題是通過三角形相似來尋找A。、AC與AB之間關系

的.

2.利用圓的切線的性質來證明或進行有關的計算，有時需添加輔助線，其中連接

圓心和切點的半徑是常用輔助線.從而可以構造直角三角形，利用直角三角形邊角

關系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.

跟蹤演練1如圖所示，NC=90°,點。在AC上，CO為。。

的直徑，。。切43于E,若BC=5,AC=12,求。。的半徑.cC.

解連接OETAB與。。切于點E,

AOEA.AB,即NOEA=90°.

VZC=90°,ZA=ZA,

RtAACB^RtAAEO,c、/

OEAO=

:￡.>C{Q.*?8c=5,AC12,

.OE12—OE._W

.\AB=13,..手=-—'?.OE=y.

要點二圓的切線的判定

例2已知：是。。的直徑，BC是。。的切線，切點為B,過點A作AO〃OC,

交。。于點D

求證：0c是。。的切線.

證明如圖，連接。。，設NOAO=N1,Z0DA=Z2,ZBOC

=Z3,ZC0D=Z4.

'：OA=OD,.\Z1=Z2.

\'AD//OC,.\Z1=Z3,Z2=Z4.

；.Z1=Z2=Z3=Z4.

又?：0B=0D,Z3=Z4,OC=OC.

:.△0B8X0DC,

：.ZOBC=ZODC.

是。。的切線，

：.ZOBC=90°.：,ZODC=900,即OOLCD是。。的切線.

規(guī)律方法判斷一條直線是圓的切線時，常用輔助線的作法：

(1)如果已知這條直線與圓有公共點，則連接圓心與這個公共點，設法證明連接所

得到的半徑與這條直線垂直，簡記為“連半徑，證垂直”；

(2)若題目未說明這條直線與圓有公共點，則過圓心作這條直線的垂線，得垂線段,

再證明這條垂線段的長等于半徑，簡記“作垂直，證半徑”.

跟蹤演練2如圖所示，在△ABC中，已知以A8為直

徑的。。交8C于。，DELAC,垂足為￡求證：OE是。。的切

線.

證明連接。。和AD〈AB是。。的直徑，

J.ADLBC,又?.?AB=AC,

:.BD=CD,又?.?A0=80,

OD//AC.'：DE±AC,

：.ODLDE,是。。的切線.

要點三圓的切線的判定與性質定理的綜合應用

例3如圖所示，正方形A3C。是。。的內接正方形，延長84到E,

使AE=A8,連接ED

(1)求證：直線磯＞是。。的切線.

(2)連接E0交AO于點凡求證：EF=2F0.

證明(1)如圖所示，連接0D

?四邊形A5CD為正方形，AE=AB,

：.AE=AB=AD,ZEAD=ZDAB=90°.

AZEDA=45°,又NODA=45°.

ZODE=ZADE+ZODA=90°.

二直線ED是。。的切線.

(2)如圖所示，作OMLA3于M.

?。為正方形ABC。的中心，為A3的中點.

：.AE=AB=2AM,XAF//OM,

世=絲=。

^?FO~AM~Z：.EF=2FO.

規(guī)律方法對圓的切線的性質與判定的綜合考查往往是熱點，其解答思路常常是

先證明某直線是圓的切線，再利用切線的性質來求解相關結果.

跟蹤演練3已知：如圖，A是。。上一點，半徑。。的延長線

與過點A的直線交于3點，OC=BC,AC=^OB.

(1)求證：AB為。。的切線；

(2)若/ACO=45°,0C=2,求弦C。的長.

⑴證明如圖，連接04,

V0C=BC,AC=^0B,：.0C=BC=CA=0A,

.,.△ACO為正三角形，AZ0=60°,AZB=30°,

：.ZOAB=90°,...AB為。。的切線.

(2)解VZACD=45°,...RtZvlCE中，AE=EC,

、歷

又?.'△ACO為正三角形，:.AE=EC=^AC=戊,

又?.?CO=TNAOC=30°,在RtaAEO中，

DE=y[5AE=#,：.CD=CE+DE=p+m

課堂小結

1.圓的切線的判定方法有

(1)定義法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；

(2)幾何法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；

(3)判定定理：過半徑外端點且與這條半徑垂直的直線是圓的切線.

2.圓的切線的性質與判定的綜合運用

在解決有關圓的切線問題，添加輔助線有以下規(guī)律：

(1)已知一條直線是圓的切線時，通常連接圓心和切點，這條半徑垂直于切線.

(2)要證明某條直線是圓的切線時，若已知直線經過圓上的某一點，則需作出經過

這一點的半徑，證明直線垂直于這條半徑，簡記為“連半徑，證垂直”；若直線與

圓的公共點沒有確定，則應過圓心作直線的垂線，得到垂線段，再證明這條垂線

段的長等于半徑，簡記為“作垂直，證半徑”.

尹當堂檢測當堂訓練，體驗成功

1.(2016.石家莊模擬)如圖所示，直線/與。。相切于點A,8是/上任一點(與點A

不重合)，則△。48是()

AB

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

解析:/與。。相切，,△048是直角三角

形.

答案C

2.已知A3是。。的切線，下列給出的條件中，能判定的是（）

AAB與。。相切于直線CD上的點C

B.CO經過圓心。

C.CD是直線

D.AB與。。相切于點C,CD過圓心0

解析由圖①②③可知，根據選項A,B,C中的條件都不能判定A5_LCO；因為

圓的切線垂直于經過切點的半徑，所以選項D正確（如圖④）.

答案D

3.如圖所示，DB,0c是。。的兩條切線，A是圓上一點，已知NO=46°,則NA

解析如圖②所示，連接。8,0C,則。OCLCD,

故NOBO+NDCO=90。+90°=180°，則四邊形OBOC內

接于一個圓.則有N8OC=180°-ZD=180°-46°=

134°,所以NA=gN80C=gx134°=67°.

答案67°

F分層訓練J解疑糾偏，訓練檢測

一、基礎達標

1.下列說法中正確的個數是（）

①過圓心且垂直于切線的直線必過切點;②過切點且垂直于切線的直線必過圓心;

③過半徑的一端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；④同心圓內大圓的弦A3

是小圓的切線，則切點是A8的中點.

A.2B.3C.4D.5

解析由切線的判定及性質定理知：①②④正確，③不正確，過半徑的外端點且

垂直于這條半徑的直線是圓的切線或直徑.

答案B

2.如圖所示，。。是正△ABC的內切圓，切點分別為E,F,G,

點P是弧EG上的任意一點，則NEPR等于（）

A.12O0B.9O0

C.60°D.30°

解析如圖所示，連接。E,OF.

VOEA.AB,OFLBC,

：.ZBEO=ZBFO=90°.

：.ZEOF+ZABC=\SO°.

：.ZEOF=nO0.

:./EPF=g/EOF=60：

答案C

3.如圖，在。。中，AB為直徑，A。為弦，過8點的切線與AO

的延長線交于C,若AQ=OC,則sinNACO等于（）

A.嚅B*

c坐

解析連接3。，作OELAC于E

TBC切。O于8,

cB

；AB為直徑，：.BD±AC,

'：AD=DC,：.BA=BC,

NA=45°,設。。的半徑為R

二OC=^BC2+OB2=^4/?2+7?2=V5/?.

答案A

4.如圖