2024高考數(shù)學二輪專題復習測試專題強化練六含解析

PAGE專題強化練(六)1．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A．若l⊥α，α⊥β則l?β B．若l∥α，α∥β，則l?βC．若l⊥α，α∥β，則l⊥β D．若l∥α，α⊥β則l⊥β解析：對于A、B、D均可能出現(xiàn)l∥β，而對于C是正確的．答案：C2．(2024·邯鄲一中模擬)《孫子算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有圓窖周五丈四尺，深一丈八尺，問受粟幾何？”其意思為：“有圓柱形容器，底面圓周長五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圓周率π＝3)，則該圓柱形容器能放米()A．900斛 B．2700斛C．3600斛 D．10800斛解析：設(shè)圓柱形容器的底面圓半徑為r，則r＝eq\f(54,2π)＝eq\f(54,6)＝9(尺)，所以，該圓柱形容器的體積為V＝πr2×18＝3×92×18＝4374(立方尺)，因此，該圓柱形容器能放米eq\f(4374,1.62)＝2700(斛)．答案：B3．(2024·遂寧診斷)已知m，n，是兩條不重合的直線，α是一個平面，則下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m⊥n，m⊥α，則n∥αD．若m⊥α，n∥α，則m⊥n解析：選項A中直線m，n還可能相交或異面，選項B中m，n還可能異面，選項C，由條件可得n∥α或n?α，故選D.答案：D4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解析：如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案：C5．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的)．下圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺的容量約為()A．100cm3 B．200cm3C．300cm3 D．400cm3解析：設(shè)大圓錐的高為h，所以eq\f(h－4,h)＝eq\f(6,10)，解得h＝10.故V＝eq\f(1,3)π×52×10－eq\f(1,3)π×32×6＝eq\f(196,3)π≈200cm3.答案：B6．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，給出四個命題：①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中正確的命題是()A．①② B．②③C．①④ D．②④解析：①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，如圖，則α與β不肯定垂直，故①為假命題；②若m⊥α，m⊥β，依據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行，則α∥β；故②為真命題；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β，故③為真命題；④若m∥α，n∥β，m∥n，如圖，則α與β可能相交，故④為假命題．答案：B7．(2024·武漢外國語學校模擬)已知某三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，若其外接球的表面積為eq\f(43π,3)，則該三棱柱的高為()A．eq\f(3,2) B．3C．4 D．eq\f(5,2)解析：由題意易知該三棱柱是底面邊長為2的正三棱柱．設(shè)C，B分別為三棱柱上、下底面的中心，連接BC，則三棱柱外接球的球心為BC的中點O，如圖．設(shè)三棱柱外接球的半徑為R.因為三棱柱的外接球的表面積為eq\f(43π,3)，所以4πR2＝eq\f(43π,3)，所以R＝eq\r(\f(43,12)).又R＝OA＝eq\r(OB2＋AB2)＝eq\r(OB2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(43,12))，所以O(shè)B＝eq\f(3,2)，所以該三棱柱的高為BC＝2OB＝3.答案：B8．(2024·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)《算數(shù)書》竹簡于20世紀八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍．其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V≈eq\f(1,36)L2h的近似公式．它事實上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式V≈eq\f(3,112)L2h相當于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A.eq\f(22,7) B.eq\f(157,50)C.eq\f(28,9) D.eq\f(337,115)解析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則V＝eq\f(1,3)πr2h，又V≈eq\f(3,112)L2h＝eq\f(3,112)(2πr)2h，故eq\f(3,112)(2πr)2h≈eq\f(1,3)πr2h，所以π≈eq\f(112,36)＝eq\f(28,9).答案：C＝PD＝2，AB＝AD＝1，PC＝eq\r(3)PA＝3，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD，則四棱錐PABCD的體積為()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\r(6)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\r(3)解析：依題意可得，PA2＋AB2＝PB2，則PA⊥AB，同理可得PA⊥AD，因為AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD，則PA⊥AC.因為PC＝eq\r(3)PA＝3，所以AC＝eq\r(32－（\r(3)）2)＝eq\r(6).因為∠BAD＝120°，且AC平分∠BAD，所以四邊形ABCD的面積為1×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),2)，從而四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(1,3)×eq\f(3\r(2),2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),2)，故選A.答案：A10．(2024·淄博模擬)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何？”其意思為：“今有一個長方體的糧倉，寬3丈，長4丈5尺，可裝粟一萬斛，問該糧倉的高是多少？”已知1斛的體積為2.7立方尺，一丈為10尺，該糧倉的外接球的體積是________立方丈．()A.eq\f(133,4)π B.eq\f(133,48)πC.eq\f(133\r(133),4)π D.eq\f(133\r(133),48)π解析：因為該長方體的糧倉可裝粟一萬斛，1斛的體積為2.7立方尺，所以該長方體的體積為2.7×10000＝27000立方尺，所以該長方體的高為eq\f(27000,45×30)＝20尺，因為長方體的外接球直徑為其體對角線，所以長方體的外接球半徑R＝eq\f(\r(452＋302＋202),2)＝eq\f(5\r(133),2)尺．所以體積為eq\f(4π,3)R3＝eq\f(125×133\r(133),6)π立方尺，即為eq\f(133\r(133),48)π立方丈．答案：D11．(多選題)(2024·淄博模擬)在正方形ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為棱BC和棱CC1的中點，則下列說法正確的是()A．BC1∥平面AQPB．平面APQ截正方體所得截面為等腰梯形C．A1D⊥平面AQPD．異面直線QP與A1C1所成的角為60°解析：如圖，因為P，Q分別為棱BC和棱CC1的中點，所以PQ∥BC1，又BC1?平面AQP，PQ?平面AQP，由線面平行的判定定理，知BC1∥平面AQP，故A正確；由AD1∥PQ，知平面APQ截正方體所得截面為APQD1，是等腰梯形，故B正確；若A1D⊥平面AQP，則A1D⊥AP，又AA1⊥AP，AA1∩A1D＝A1，所以AP⊥平面A1AD，而AB⊥平面A1AD，這與垂直于同一平面的兩條直線平行沖突，故C不正確；異面直線QP與A1C1所成的角為∠A1C1B，而△A1C1B為等邊三角形，故D正確．答案：ABD12.(多選題)(2024·威海模擬)如圖直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AB中點，以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC＝2eq\r(3).則()A．平面PED⊥平面EBCDB．PC⊥EDC．二面角P-DC-B的大小為eq\f(π,4)D．PC與平面PED所成角的正切值為eq\r(2)解析：A中，PD＝AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，在三角形PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又CD⊥DE，可得CD⊥平面PED，CD?平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，A項正確；B中，若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，則ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA，明顯沖突，故B項錯誤；C中，二面角P-DC-B的平面角為∠PDE，依據(jù)折前折后不變知∠PDE＝∠ADE＝45°，故C項正確；D中，由上面分析可知，∠CPD為直線PC與平面PED所成角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(2),2)，故D項錯誤．答案：AC＝AC＝5，則三棱錐ABCD的體積為________________．解析：如圖所示，把三棱錐A-BCD置于長方體AECF-HBGD中，由題意可得AE2＋EB2＝13，EC2＋EB2＝20，AE2＋EC2＝25，解得AE＝3，EB＝2，EC＝4，所以三棱錐ABCD中的體積VA-BCD＝VAECF-HBGD－4VB-AEC＝2×3×4－4×eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×3×4＝8.答案：814．(2024·無錫市、常州市5月調(diào)研)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都是a，點P，Q分別為棱CC1，BC的中點，四面體A1B1PQ的體積為eq\f(\r(3),2)，則a的值為________．解析：如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都是a，點P，Q分別為棱CC1，BC的中點，取B1C1的中點H，連接A1H，則A1H⊥平面BB1C1C，且A1H＝eq\f(\r(3),2)a，S△B1PQ＝a2－eq\f(1,2)×eq\f(a,2)×eq\f(a,2)－2×eq\f(1,2)×eq\f(a,2)×a＝eq\f(3a2,8).所以四面體A1B1PQ的體積為eq\f(1,3)×eq\f(3a2,8)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),16)a3＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝2.答案：215．(2024·遼寧省部分重點中學協(xié)作體模擬)古代中國，建筑工匠們特別注意建筑中體現(xiàn)數(shù)學美，方形和圓形的應用比比皆是，在唐、宋時期的單檐建筑中較多存在eq\r(2)∶1的比例關(guān)系，這是當時工匠們著意設(shè)計的常見比例，今日，A4紙之所以流行的重要緣由之一，就是它的長與寬的比無限接近eq\r(2)∶1，我們稱這種滿意了eq\r(2)∶1的矩形為“美麗”矩形．現(xiàn)有一長方體ABCD-A1B1C1D1，AD1＝2eq\r(6)，AC＝2eq\r(5)，AC1＝2eq\r(7)，則此長方體的表面六個矩形中，“美麗”矩形的個數(shù)為____________．解析：由題意，該長方體如圖所示：＝2eq\r(2)，AD＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－CCeq\o\al(2,1))＝4，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝2，所以AB＝CD＝2，AA1＝CC1＝2eq\r(2)，所以eq\f(AA1,AB)＝eq\r(2)，eq\f(AD,AA1)＝eq\r(2)，eq\f(AD,AB)＝2，所以此長方體的表面六個矩形中，“美麗”矩形的個數(shù)為4.答案：41