浙江省寧波市奉化中學2024-2025學年高一上學期分班考試數學試卷（解析版）

奉化中學2024分班考數學一、單選題1.已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因為在上單調遞增，且時，單調遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.2.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據必要不充分條件的定義即可求解.【詳解】四邊形是平行四邊形不能推出四邊形是菱形，但是四邊形是菱形能推出四邊形是平行四邊形，所以“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的必要不充分條件．故選：B．3.已知函數，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數對有（）A0個 B.1個 C.2個 D.無數個【答案】B【解析】【分析】由題意有，通過分析得到，是滿足題意的唯一解，注意檢驗.【詳解】由題意若不等式在上恒成立，則必須滿足，即，由，兩式相加得，再由，兩式相加得，結合（4），（5）兩式可知，代入不等式組得，解得，經檢驗，當，時，，有，，滿足在上恒成立，綜上所述：滿足要求的有序數對為：，共一個.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是首先得到，進一步由不等式的性質通過分析即可求解.4.已知，且，則下列不等式中恒成立是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式的性質的應用和基本不等式的應用求出結果．【詳解】解：①已知，，且，所以，則，故錯誤．②利用分析法：要證，只需證明即可，即，由于，，且，所以：，，故正確．③，故錯誤．④由于，，且，利用分析法：要證成立，只需對關系式進行平方，整理得，即，故，當且僅當時，等號成立．故錯誤．故選：．【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方5.已知集合，，定義集合，則中元素的個數為A.77 B.49 C.45 D.30【答案】C【解析】【詳解】因為集合，所以集合中有5個元素（即5個點），即圖中圓中的整點，集合中有25個元素（即25個點）：即圖中正方形中的整點，集合的元素可看作正方形中的整點（除去四個頂點），即個．考點：1．集合的相關知識，2．新定義題型．二、多選題6.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，是解析數論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數成為狄利克雷函數，則關于，下列說法正確的是（）A.B.函數是偶函數C.任意一個非零有理數，對任意恒成立D.存在三個點，使得ΔABC為等邊三角形【答案】ABCD【解析】【分析】依次判斷每個選項：，故；判斷，為偶函數；判斷；取為等邊三角形，得到答案.【詳解】，正確；，偶函數，正確；，正確；易知三點構成等邊三角形，正確；故選：【點睛】本題考查了函數的新定義問題，意在考查學生對于函數性質的應用能力.7.已知函數的定義域為，且，若，則（）A. B.C.函數是偶函數 D.函數是減函數【答案】ABD【解析】【分析】對抽象函數采用賦值法，令、，結合題意可得，對A：令、，代入計算即可得；對B、C、D：令，可得，即可得函數及函數函數性質，代入，即可得.【詳解】令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；令，則有，即，故函數是奇函數，有，即，即函數是減函數，令，有，故B正確、C錯誤、D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于利用賦值法解決抽象函數問題，借助賦值法，得到，再重新賦值，得到，再得到.三、填空題8.，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據條件等式可設，代入所求式子，利用二倍角公式和輔助角公式化簡，根據三角函數的性質可求出最值.【詳解】，則，即，設，則，，其中是輔助角，且，當時，原式取得最小值.故答案為：.【點睛】本題考查條件等式求最值，解題的關鍵是設，利用三角恒等變換化簡可求出.9.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．【答案】①.130.②.15.【解析】【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質?數學的應用意識?數學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設問題情境，考查學生身邊的數學，考查學生的數學建模素養(yǎng).四、解答題10.已知集合，集合．（1）當時，求和；（2）若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．【答案】（1）或，；（2）或.【解析】【分析】（1）當時，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根據補集和并集的運算，從而可求出；(2)由題意知，當時，；當時，或，從而可求出實數的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，當時，則，或，則，所以.（2）由題可知，是的必要不充分條件，則，當時，，解得：；當時，或，解得：