廣東省深圳市2025屆高三數(shù)學下學期第二次調(diào)研試題理含解析

PAGE26-廣東省深圳市2025屆高三數(shù)學下學期其次次調(diào)研試題理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)z,則|z|＝（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式變形,再由商的模等于模的商求解即可.【詳解】解：∵z,∴|z|＝||.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,是基礎(chǔ)題.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域化簡集合的表示，解一元二次不等式化簡集合的表示，最終依據(jù)集合的交集和并集的定義、子集的定義進行推斷即可.【詳解】因為，，所以，故選項A不正確；，故選項B不正確；依據(jù)子集的定義有.故選：D【點睛】本題考查了集合交集、并集的運算，考查了子集的定義，考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查了解一元二次不等式，考查了數(shù)學運算實力.3.設(shè)α為平面，m，n為兩條直線，若，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)充分性和必要性的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進行推斷即可.【詳解】當時，假如，不肯定能推出，因為直線n可以在平面α外，當時，假如，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)肯定能推出，所以若，則“”是“”的必要不充分條件.故選：C【點睛】本題考查了必要不充分條件的推斷，考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了推理論證實力.4.已知雙曲線C：（，）的兩條漸近線相互垂直，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性，結(jié)合雙曲線離心率的公式、之間的關(guān)系、雙曲線漸近線方程進行求解即可.【詳解】雙曲線C：的漸近線方程為：，因為該雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以有.故選：A【點睛】本題考查了已知雙曲線漸近線的性質(zhì)求離心率問題，考查了數(shù)學運算實力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知定義在R上的函數(shù)滿意，當時，，則（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等式，結(jié)合已知函數(shù)的解析式、指數(shù)冪運算公式進行求解即可【詳解】因為，所以，因為，所以.故選：A【點睛】本題考查了求函數(shù)值，考查了指數(shù)運算公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學運算實力.6.若，，…，的平均數(shù)為a，方差為b，則，，…，的平均數(shù)和方差分別為（）A.2a，2b B.2a，4b C.，2b D.，4b【答案】D【解析】【分析】干脆依據(jù)平均值和方差的性質(zhì)得到答案.【詳解】依據(jù)平均值和方差的性質(zhì)知：，，…，的平均數(shù)和方差分別為和.故選：D.【點睛】本題考查了平均值和方差，意在考查學生的計算實力和對于平均值和方差的性質(zhì)的敏捷運用.7.記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】干脆利用等差數(shù)列和的性質(zhì)得到答案.【詳解】依據(jù)等差數(shù)列和的性質(zhì)知：，故，即.故選：A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列和的性質(zhì)，意在考查學生的計算實力和應(yīng)用實力.8.函數(shù)f（x）的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合選項中函數(shù)圖象的對稱性，先解除不符合題意的，然后結(jié)合特殊點函數(shù)值的正負即可推斷.【詳解】因為f（﹣x）f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，解除選項A，C，又f（2），因為，所以，所以f（2）＜0，解除選項D.故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.9.已知橢圓C：的右焦點為F，O為坐標原點，C上有且只有一個點P滿意，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)對稱性知在軸上，，計算得到答案.【詳解】依據(jù)對稱性知在軸上，，故，，解得，，故橢圓方程為：.故選：D.【點睛】本題考查了橢圓方程，意在考查學生的計算實力，確定在軸上是解題的關(guān)鍵.10.下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖.其陰離子排列如圖2所示,圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切,A,B,C,D是其中四個圓的圓心,則?（）A.32 B.28 C.26 D.24【答案】C【解析】【分析】建立以為一組基底的基向量,其中且的夾角為60°,依據(jù)平面對量的基本定理可知,向量和均可以用表示,再結(jié)合平面對量數(shù)量積運算法則即可得解.【詳解】解：如圖所示,建立以為一組基底的基向量,其中且的夾角為60°,∴,,∴.故選：C.【點睛】本題考查平面對量混合運算,視察圖形特征,建立基向量是解題的關(guān)鍵,考查學生的分析實力和運算實力,屬于中檔題.11.意大利數(shù)學家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項公式為（設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，是不等式的正整數(shù)解，化簡得，即，依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，求出成立的的最小值，即可求出答案.【詳解】解析：∵是不等式的正整數(shù)解，∴，∴，∴，即∴，∴，∴，∴，令，則數(shù)列即為斐波那契數(shù)列，，即，明顯數(shù)列為遞增數(shù)列，所以數(shù)列亦為遞增數(shù)列，不難知道，，且，，∴使得成立的的最小值為8，∴使得成立的的最小值為8.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義，以及利用數(shù)列的單調(diào)性求最值，還依據(jù)對數(shù)運算化簡不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡運算實力.12.已知直線與函數(shù)（）的圖象相交，將其中三個相鄰交點從左到右依次記為A，B，C，且滿意有下列結(jié)論：①n的值可能為2②當，且時，的圖象可能關(guān)于直線對稱③當時，有且僅有一個實數(shù)ω，使得在上單調(diào)遞增；④不等式恒成立其中全部正確結(jié)論的編號為（）A.③ B.①② C.②④ D.③④【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，依次分析四個結(jié)論即可求解.【詳解】解析：如圖所示，不妨設(shè)，，，且線段的中點為，明顯有，，且的圖象關(guān)于直線對稱，∵，∴，∴，即,（1）∵，且，∴由正弦曲線的圖像可知，（）.∴（），即，（2）由等式（1），（2）可得，∴，即，∴，且，∴，且，對于結(jié)論①，明顯，故結(jié)論①錯誤：對于結(jié)論②，當，且時，則，故，若的圖象關(guān)于直線對稱，則（），即（）明顯與沖突，從而可知結(jié)論②錯誤：對于結(jié)論③，∵，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，故結(jié)論③正確；對于結(jié)論④，下證不等式（），（法一）當時，，∴（），即（），（法二）即證不等式（）恒成立，構(gòu)造函數(shù)（），明顯函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，即不等式（）恒成立，故結(jié)論④正確：綜上所述，正確的結(jié)論編號為③④故選：D【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點處的切線的方程為__________．【答案】【解析】【分析】對求導(dǎo)，帶入得到斜率，通過點斜式得到切線方程，再整理成一般式得到答案.【詳解】帶入得切線的斜率，切線方程為，整理得【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)求出切線的斜率，再由斜率和切點寫出切線方程.難度不大，屬于簡潔題.14.若x，y滿意約束條件，則的最大值為__________.【答案】2【解析】【分析】畫出可行域，表示可行域上的點到原點的斜率，分析并計算的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，又為可行域內(nèi)的點到原點的斜率，由圖得的最大值為，又，得的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查了線性規(guī)則，正確畫出不等式組表示的平面區(qū)域是解題的基礎(chǔ)，理解目標函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．15.2024年初，湖北成為全國新冠疫情最嚴峻的省份，面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國人民心系湖北，志愿者紛紛馳援若將4名醫(yī)生志愿者安排到兩家醫(yī)院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去1人），則共有__________種安排方案【答案】14【解析】【分析】依據(jù)題意先將4名醫(yī)生分成2組，再安排的兩家醫(yī)院即可求得安排方案的種數(shù)，分組時有和兩種分組方法，同時留意是平均分組問題.【詳解】由題先將4名醫(yī)生分成2組，有種，再安排的兩家醫(yī)院有種.故答案為：14【點睛】本題考查了排列組組合的綜合應(yīng)用，考查了先選再排的技巧，分組時要留意分類探討，還有要特殊留意平均分組問題的計數(shù)方法.16.已知正方形邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊，上運動（E不與A，B重合，F(xiàn)不與A，D重合），將以為折痕折起，當A，E，F(xiàn)位置改變時，所得五棱錐體積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】欲使五棱錐的體積最大，須有平面平面，求出底面五邊形的面積以及高，利用棱錐的體積公式得出體積表達式，再由基本不等式以及導(dǎo)數(shù)得出五棱錐體積的最大值.【詳解】解析：不妨設(shè)，，在直角三角形中，易知邊上的高為又五棱錐的底面面積為欲使五棱錐的體積最大，須有平面平面∴∵，∴令，則，∴，令，，則不難知道，當時，取得最大值∴綜上所述，當時，五棱錐的體積取得最大值故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用問題，涉及了棱錐的體積公式和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.中，D為上點，平分，，，的面積為.（1）求的長；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)三角形面積公式可得，可得，依據(jù)余弦定理可得；（2）依據(jù)余弦定理求出，可得，再利用以及兩角差的正弦公式可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，，的面積為，∴，∴，∵，平分，∴，∴，在中，由余弦定理，得，∴.（2）在中，由余弦定理，得，∴，因為平分，所以，∴，【點睛】本題考查了余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形的面積公式、兩角差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題..18.如圖，三棱柱中，底面為等邊三角形，E，F(xiàn)分別為，的中點，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過計算可得，通過證明平面，可得，再依據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面；（2）先說明直線，，兩兩垂直，再以，，的方向為x，y，z軸的正方向，以點E為原點，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)，∵，則，，，∵點E為棱的中點，∴，∴，∴.∵三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，∴四邊形為矩形，∵點F為棱的中點，∴，，∴，∴.∵三棱柱的底面是正三角形，E為的中點，∴.∵，且平面，平面，且，相交，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面.（2）由（1）可知平面，∴，∴平面，∴三棱柱是正三棱柱，設(shè)的中點為M，則直線，，兩兩垂直，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，以點E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，，，，則，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，則，則，不妨取，則，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，因為，所以則直線與平面所成角的大小為.【點睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，考查了直線與平面所成角的向量求法，屬于中檔題.19.足球運動被譽為“世界第一運動”.為推廣足球運動，某學校成立了足球社團由于報名人數(shù)較多，需對報名者進行“點球測試”來確定是否錄用，規(guī)則如下：（1）下表是某同學6次的訓練數(shù)據(jù)，以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率.為加入足球社團，該同學進行了“點球測試”，每次點球是否踢進相互獨立，將他在測試中所踢的點球次數(shù)記為，求；（2）社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓練，從甲起先隨機地將球傳給其他兩人中的隨意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的隨意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記起先傳球的人為第1次觸球者，接到第n次傳球的人即為第次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為.（i）求，，（干脆寫出結(jié)果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】（1）（2）（i），，（ii）證明見解析；【解析】【分析】（1）先求出踢一次點球命中的概率，然后依據(jù)相互獨立事務(wù)的乘法公式分別求出取1，2，3的概率，再依據(jù)離散型隨機變量的期望公式可求得結(jié)果；（2）（i）依據(jù)傳球依次分析可得答案；（ii）依據(jù)題意可得，再變形為，依據(jù)等比數(shù)列的定義可證結(jié)論.【詳解】（1）這150個點球中的進球頻率為，則該同學踢一次點球命中的概率，由題意，可能取1，2，3，則，，，則的期望.（2）（i）因為從甲起先隨機地將球傳給其他兩人中的隨意一人，所以第1次觸球者是甲的概率，明顯第2次觸球者是甲的概率，第2次傳球有兩種可能，所以第3次觸球者是甲的概率概，（ii）∵第n次觸球者是甲的概率為，所以當時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則.從而，又，∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列.【點睛】本題考查了樣本估計總體，離散型隨機變量的期望，考查了遞推關(guān)系以及等比數(shù)列的概念；考查分析問題、解決問題的實力，建模實力，處理數(shù)據(jù)實力.屬于中檔題.20.在平面直角坐標系中，P為直線：上的動點，動點Q滿意，且原點O在以為直徑的圓上.記動點Q的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程：（2）過點的直線與曲線C交于A，B兩點，點D（異于A，B）在C上，直線，分別與x軸交于點M，N，且，求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)動點，表示出，再由原點O在以為直徑的圓上，轉(zhuǎn)化為，得到曲線C的方程.（2）設(shè)而不解，利用方程思想、韋達定理構(gòu)建面積的函數(shù)關(guān)系式，再求最小值.【詳解】解：（1）由題意，不妨設(shè)，則，，∵O在以為直徑的圓上，∴，∴，∴，∴曲線C的方程為.（2）設(shè)，，，，，依題意，可設(shè)：（其中），由方程組消去x并整理，得，則，，同理可設(shè)，，可得，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴當時，面積取得最小值，其最小值為.【點睛】本題以直線與拋物線為載體，其幾何關(guān)系的向量表達為背景，利用方程思想、韋達定理構(gòu)建目標函數(shù)，利用坐標法解決幾何問題貫穿始終，主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系最值問題，考查學生的邏輯推理，數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)及思辨實力.21.已知函數(shù)（）.其中常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求在上的極大值點；（2）（i）證明在上單調(diào)遞增；（ii）求關(guān)于x的方程在上的實數(shù)解的個數(shù).【答案】（1）極大值點為（2）（i）證明見解析；（ii）實數(shù)解的個數(shù)為2【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點即可；（2）只需證明，問題轉(zhuǎn)化為只需證明，令，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可；求出，再證明函數(shù)的最大值；令函數(shù)，，先求函數(shù)在上的零點個數(shù)，再求函數(shù)在上的零點的個數(shù)，從而求出方程解的個數(shù)．【詳解】解：（1）易知，若，則，所以可得下表：x＋0－↗極大值↘∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴函數(shù)的極大值點為.（2）（i）∵，∴在上必存在唯一實數(shù)，使得，∴易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，欲證明在上單調(diào)遞增，只需證明：，∵，∴，故只需證明，令，，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當時，，∴，即，亦即.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.（ii）先證明當時，有，令，，則，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當時，，即，再證明函數(shù)的最大值，明顯，∴，，∵，∴，下證，令，則，即證（），即證（），令，則，∴函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴當時，，∴（），∴，令函數(shù)，，先求函數(shù)在上的零點個數(shù)，∵，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減∴函數(shù)在上有唯一零點，即函數(shù)在上的零點個數(shù)為1：再求函數(shù)在上的零點個數(shù)，∵，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴①當時，，即，故函數(shù)在上沒有零點，即函數(shù)在上的零點個數(shù)為0；②當時，，即，故函數(shù)在上有唯一零點，即函數(shù)在上的零點個數(shù)為1：綜上所述，當時，函數(shù)的零點個數(shù)為1：當時，函數(shù)的零點個數(shù)為2，∴當時，關(guān)于x的方程在上的實數(shù)解的個數(shù)為1：當時，關(guān)于x的方程在上的實數(shù)解的個數(shù)為2.【點睛】本題以基本初等函數(shù)及不等式為載體，考查學生利用導(dǎo)數(shù)分析、解決問題的實力，分類探討思想及邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)，具有較強的綜合性.（二）選考題：共10分，請考生在第22、23兩題中任選一題作答.留意：只能做所選定的題目，假如多做，則按所做的第一題計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖所示，在一個十字形的金屬板上有兩條相互垂直的導(dǎo)槽，在直尺上有兩個固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動一周，則點M的軌跡C是一個橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以兩條導(dǎo)槽的交點為原點O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標系.（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用表示點M的坐標，并求出C的一般方程；（2）已知過C的左焦點F，且傾斜角為α（0≤α）的直線l1與C交于D，E兩點，過點F且垂直于l1的直線l2與C交于G，H兩點.當，|GH|，依次成等差數(shù)列時，求直線l2的一般方程.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）用三角函數(shù)表示出點M的坐標，干脆利用轉(zhuǎn)換關(guān)系把極坐標方程轉(zhuǎn)換為直角坐標方程；（2）設(shè)出直線l1的參數(shù)方程，與橢圓方程聯(lián)立利用直線參數(shù)的幾何意義求出、，依據(jù)題意有，列出方程求出直線l1的斜率即可求得直線l2的方程.【詳解】（1）設(shè)M