2024-2025學年新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.6.1直線與直線垂直素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測二十九直線與直線垂直(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿意l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論肯定正確的是 ()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】選D.構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1取l1為AD,l2為AA1,l3為A1B1,當取l4為B1C1時,l1∥l4,當取l4為BB1時,l1⊥l4,故解除A,2.設(shè)P是直線l外肯定點,過點P且與l成30°角的異面直線 ()A.有多數(shù)條 B.有兩條C.至多有兩條 D.有一條【解析】選A.如圖所示,過點P作直線l′∥l,以l′為軸,與l′成30°角的圓錐面的全部母線都與l成30°角.3.如圖是一個正方體的平面綻開圖,則在正方體中,AB與CD的位置關(guān)系為 ()A.相交 B.平行C.異面而且垂直 D.異面但不垂直【解析】選D.將綻開圖還原為正方體,如圖所示.4.(多選題)如圖,在正四棱柱(側(cè)面為矩形,底面為正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB1,BC1A.EF⊥BB1 B.EF⊥BDC.EF與CD異面 D.EF與A1C1【解析】選ABC.連接A1B,因為E,F分別是AB1,BC1的中點,所以EF是△A1BC1的中位線,所以EF∥A1C1二、填空題(每小題5分,共10分)5.如圖,在正方體ABCD-EFMN中,①BM與ED平行;②CN與BM是異面直線;③CN與BE是異面直線;④DN與BM是異面直線;以上四個說法中,正確說法的序號是__________.

【解析】在①中,直線BM與ED為異面直線,故①不正確.在②中,由異面直線的判定方法可得直線CN與BM是異面直線,故②正確.在③中,由條件可得四邊形BCNE為平行四邊形,故CN與BE平行,故③不正確.在④中,由異面直線的判定方法可得直線DN與BM是異面直線,故④正確.綜上②④正確.答案:②④6.(雙空題)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則當AC,BD滿意條件________時,四邊形EFGH為菱形,當AC,BD滿意條件________時,四邊形EFGH是正方形.

【解析】易知EH∥BD∥FG,且EH=QUOTEBD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=QUOTEAC=HG,明顯四邊形EFGH為平行四邊形.要使平行四邊形EFGH為菱形需滿意EF=EH,即AC=BD;要使四邊形EFGH為正方形需滿意EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案:AC=BDAC=BD且AC⊥BD三、解答題(每小題10分,共20分)7.如圖所示,空間四邊形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分別為BC,AD的中點,求EF和AB所成的角.【解析】如圖所示,取BD的中點G,連接EG,FG.因為E,F分別為BC,AD的中點,AB=CD,所以EG∥CD,GF∥AB,且EG=QUOTECD,GF=QUOTEAB.所以∠GFE就是EF與AB所成的角,EG=GF.因為AB⊥CD,所以EG⊥GF.所以∠EGF=90°.所以△EFG為等腰直角三角形.所以∠GFE=45°,即EF與AB所成的角為45°.8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角為90°,試求AA1.【解析】連接CD1,AC,由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC,A1D1所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1因為異面直線A1B和AD1所成的角為90°,所以∠AD1C=90°,因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=2QUOTE,所以△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=QUOTEAC.因為底面ABCD是菱形且AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,所以AC=2QUOTE×sin60°×2=6,所以AD1=QUOTEAC=3QUOTE,所以AA1=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.在正方體ABCD-A′B′C′D′中,點P在線段AD′上運動,則異面直線CP與BA′所成θ角的取值范圍是 ()A.0°<θ<90° B.0°<θ≤90°C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60°【解析】選D.如圖,連接CD′,則異面直線CP與BA′所成的角θ等于∠D′CP,由圖可知,當P點與A點重合時,θ=60°,當P點無限接近D′點時,θ趨近于0°,由于是異面直線,故θ≠0°.2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點,則異面直線A1A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】選D.過點M作ME∥DN交CC1于點E,連接A1E,則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補角).設(shè)正方體的棱長為a,則A1M=QUOTEa,ME=QUOTEa,A1E=QUOTEa,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即異面直線A1M與DN所成的角為90°.3.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為QUOTE.則QUOTE的值為 ()A.3 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.連接BC1,A1C1,因為AD1∥BC1,所以異面直線A1B與AD1∠A1BC1.令A(yù)A1=t,則A1B=BC1=QUOTE,A1C1=QUOTE.cos∠A1BC1=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以t2=9,t=3,即AA1=3.所以QUOTE=3.4.(多選題)一個正方體紙盒綻開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論,其中正確的是 ()A.AB⊥EFB.AB與CM所成的角為60°C.EF與MN是異面直線D.MN∥CD【解析】選AC.把正方體平面綻開圖還原為原來的正方體,如圖所示,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正確.二、填空題(每小題5分,共20分)5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,M,N分別為AA1,BB1的中點,則異面直線BM與C1N所成角的余弦值為________【解析】如圖,連接A1N,則A1N∥BM,所以∠A1NC1為異面直線BM與C1N所成角,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因為AB=AA1=2,M,N分別為AA1,BB1的中點,所以A1N=C1N=QUOTE,在△A1NC1中,由余弦定理可得:cos∠A1NC1=QUOTE=QUOTE.即異面直線BM與C1N所成角的余弦值為QUOTE.答案:QUOTE6.若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則B1D與CC1所成角的正切值為________【解析】如圖,B1D與CC1所成的角為∠BB1D.因為△DBB1為直角三角形,所以tan∠BB1D=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,六個面內(nèi)與BD成60°角的對角線共有________【解析】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,六個面內(nèi)與BD成60°角的對角線有AB1,BA1,DC1,CD1,AD1,DA1,BC1,CB1答案:88.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2,E,F分別是AB,A1C1的中點,則EF與側(cè)棱C1C【解析】如圖,取AC的中點G,連接FG,EG,則FG∥C1C,FG=C1C,EG∥BC,EG=QUOTEBC,故∠EFG即為EF與C1C在Rt△EFG中,cos∠EFG=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.正四棱錐P-ABCD的全部棱長均相等,E是PC的中點,求異面直線BE與PA所成的角的余弦值.【解析】連接AC,BD相交于O,連接OE,則O為AC的中點,因為E是PC的中點,所以O(shè)E是△PAC的中位線,則OEQUOTEPA,則OE與BE所成的角即為異面直線BE與PA所成的角,設(shè)四棱錐的棱長為1,則OE=QUOTEPA=QUOTE,OB=QUOTEBD=QUOTE,BE=QUOTE,則cos∠OEB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分別是BD求證:CD1⊥EF.【證明】取CD1的中點G,連接EG,DG.因為E是BD1的中點,所以EG∥BC,EG