浙江省金華市東陽中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE18-浙江省金華市東陽中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名；全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無效．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在等差數(shù)列中，若，則（）A.6 B.10 C.7 D.5【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，然后由，簡潔計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題可知：又，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，若，則，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.2.在中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，已知，，，則邊長（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用正弦定理即可求解．【詳解】解：，，，由正弦定理，可得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3.已知向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共線定理的坐標(biāo)表示，可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】∵，，且，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.4.已知，，且，不為0，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】試題分析：依據(jù)不等式的性質(zhì)，可知，則，故選D.考點(diǎn)：不等式的性質(zhì).5.在△ABC中，,則△ABC肯定是（）A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】由題意首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可確定△ABC的形態(tài).【詳解】由結(jié)合正弦定理可得：，即，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)可知：，則△ABC是等邊三角形.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，三角形形態(tài)的確定等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.6.已知a>0，b>0，a＋b＝＋，則＋的最小值為()A.4 B.2 C.8 D.16【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ蔬xB．考點(diǎn)：基本不等式.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式.基本不等式求最值應(yīng)留意的問題：(1)運(yùn)用基本不等式求最值，其失誤的真正緣由是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不行．(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特殊留意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿意基本不等式中“正”“定”“等”的條件．7.已知=(23)，=(3，t)，=1，則=A-3 B.-2C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為平面對量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)學(xué)問和基本技能，難度不大．8.已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式化為，探討、和時(shí)，分別求出不等式成立時(shí)的取值范圍即可【詳解】時(shí)，不等式可化為；當(dāng)時(shí)，不等式為，滿意題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即；當(dāng)時(shí)，恒成立；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是答案選A【點(diǎn)睛】本題考查不等式與對應(yīng)的函數(shù)的關(guān)系問題，含參不等式分類探討是求解時(shí)常用方法9.已知數(shù)列滿意，，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由遞推公式得出，計(jì)算出，利用遞推公式推導(dǎo)得出（為正奇數(shù)），（為正偶數(shù)），利用定義推斷出數(shù)列和的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】，，，，且，.，則，則，如此接著可得知，則，所以，數(shù)列單調(diào)遞增；同理可知，，數(shù)列單調(diào)遞減.對于A選項(xiàng)，且，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，且，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，，則，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列不等式的推斷，涉及數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出數(shù)列和的單調(diào)性，考查推理實(shí)力，屬于難題.10.設(shè)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得恒成立，探討，，運(yùn)用基本不等式，可得最值，進(jìn)而得到所求范圍．【詳解】恒成立，即為恒成立，當(dāng)時(shí)，可得的最小值，由，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值8，即有，則；當(dāng)時(shí)，可得的最大值，由，當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值，即有，則，綜上可得．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問題的解法，留意運(yùn)用參數(shù)分別和分類探討思想，以及基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、分類探討思想和運(yùn)算實(shí)力．二、填空題：11.已知向量滿意，則________，的上的投影等于________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】計(jì)算，得到，再依據(jù)投影公式計(jì)算得到答案.【詳解】，故；的上的投影等于.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算，向量投影，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.12.在中，，，所對的邊為，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，已知，，，則______；______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】對于第一空，依據(jù)余弦定理的推論即可求出的值；對于其次空，利用向量法，兩邊平方可得即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，又因?yàn)?，所以；又，兩邊平方可得故答案?，.故答案為：，.【點(diǎn)睛】該題主要考查利用余弦定理解三角形，考查了平面對量在解三角形中的應(yīng)用，考生務(wù)必駕馭這些基本解題思路解決三角形問題，屬于簡潔題目.13.實(shí)數(shù)，滿意不等式組，則的最小值是______，的最大值為______．【答案】(1).(2).21【解析】【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定出最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】由題意，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示（陰影部分，包含邊界），可得三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又由，可看成平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與圓的的連線的斜率，結(jié)合圖象，可得點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率最小，即的最小值為，設(shè)目標(biāo)函數(shù)，可化為，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為；所以目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是，則則的最大值為.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中解答中正確作出不等式組所表示的平面區(qū)域，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖象確定出最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及計(jì)算實(shí)力.14.已知數(shù)列，，且，，，則______；設(shè)，則的最小值為______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式，由累加法得出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出，利用作商法證明數(shù)列單調(diào)性，即可得出最小值.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，即累加得，則即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，的最小值為故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了由定義求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法求通項(xiàng)公式，確定數(shù)列的最小項(xiàng)，關(guān)鍵是利用作商法證明數(shù)列的單調(diào)性，屬于較難題.15.已知，求與的夾角.【答案】【解析】【分析】依據(jù)可求出，再依據(jù)求夾角，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，因此，所以與的夾角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的夾角，熟記向量的夾角公式，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.16.不等式對一切非零實(shí)數(shù)x，y均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】試題分析：∵，其最小值為2，又∵的最大值為1，故不等式|恒成立，有，解得，故答案為考點(diǎn)：1含肯定值不等式;2基本不等式．17.已知平面對量、、滿意：，，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】分析】由可得出，進(jìn)而可得出，由此可解得的取值范圍.【詳解】，，，由，可得，上述兩個(gè)等式相加得，，，即，，解得，因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面對量的數(shù)量積計(jì)算向量模的取值范圍，建立不等式組是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若，的面積為9，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由正弦定理，，得，；（2）由三角函數(shù)關(guān)系求得，由正弦定理得，結(jié)合面積公式，解得．試題解析：（1）由正弦定理，，得，則；（2）由（1）知，，.由正弦定理，，，因?yàn)樗?9.等比數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，分別為等差數(shù)列的第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，試求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知所給的條件建立等量關(guān)系可以分別求出首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差數(shù)列第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，然后依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可以求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，然后依據(jù)等差數(shù)列的求和公式，即可得到其前項(xiàng)和．【詳解】（1）∵，，∴公比，∴∴該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴，∵，∴，∴數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，屬于簡潔題目.20.如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿意，若的面積為.(1)求的值;(2)求的最小值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出，的坐標(biāo)，可知由，，三點(diǎn)共線，即，列方程即可求出的值；

（2）由(1)得，由面積可得，利用基本不等式可得最小值.【詳解】(1)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，由得，故，由得，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以，解得.(2)由(1)得，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得等號.【點(diǎn)睛】本題考查平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角形面積公式，屬于中檔題.21.在銳角中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可求解.（2）由，以及兩角和與差的公式，則sin2B+sin2C＝1sin（2B），再由，求出B即可求解.【詳解】（1）在銳角△ABC中，∵b＝3，a2＝c2﹣3c+9，∴可得c2+b2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：cosA，∴由A為銳角，可得A．（2）∵sin2B+sin2C＝sin2B+sin2（B）＝sin2B+（cosBsinB）2＝1（sin2Bcos2B）＝1sin（2B），又∵，可得B，∴2B∈（，），∴sin（2B）∈（，1]，∴sin2B+sin2C＝1sin（2B）∈（，]，即sin2B+sin2C的取值范圍是（，]．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形以及三角恒等變換兩角和與差的公式，解題的關(guān)鍵是利用三角形的內(nèi)角和求出的取值范圍，此題屬于中檔題.22.已知等差數(shù)列的公差不為零，且，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿意（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求證：.【答案】（1），，；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到，可令，求得，再將換為，相減可得；（2）原不等式轉(zhuǎn)化為，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明，留意檢驗(yàn)時(shí)不等式成立，再假設(shè)時(shí)不等式成立，證明時(shí)，不等式也成立，留意運(yùn)用分析法證明.【詳解】（1）等差數(shù)列的公差