2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)2019選擇性試題6.1.3共面向量定理

6.1.3共面向量定理一、單選題1．下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（

）.A．若向量，平行，則，所在直線平行B．若向量，所在直線是異面直線，則，不共面C．若，，，四點(diǎn)不共面，則向量，不共面D．若，，，四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面【答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面的定義判斷B，C，D，由向量平行與直線平行的區(qū)別判斷A.【解析】我們可以通過(guò)平移將空間中任意兩個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi)，因此空間任意兩個(gè)向量都是共面的，故B，C都不正確.由向量平行與直線平行的區(qū)別，可知A不正確.因?yàn)椋?，是空間中共端點(diǎn)但不共面的三條線段，所以向量，，不共面.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷空間向量是否共面，屬于基礎(chǔ)題.2．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A．不共面 B．不共面C．不共面 D．不共面【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【解析】解：由題知不共面，對(duì)于A，因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)使得成立，故不共面，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋使裁?，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，故共面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，故共面，D錯(cuò)誤.故選：A3．已知，，，為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與，必共面的向量為（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】判斷是否存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使選項(xiàng)中的向量等于即可.【解析】由已知，與不共線，對(duì)于A，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，即，該方程組無(wú)解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，即，解得，即，與，共面，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，即，該方程組無(wú)解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)A及選項(xiàng)C的判斷知，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.4．在下列條件中，使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，,由于，所以不能得出共面.對(duì)于B選項(xiàng)，由于，則為共面向量，所以共面.對(duì)于C選項(xiàng),，由于，所以不能得出共面.對(duì)于D選項(xiàng)，由得，而，所以不能得出共面,故選：B5．已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，若則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的四點(diǎn)共面定理即可求解.【解析】因?yàn)?，且四點(diǎn)共面，所以，所以，故選:B.6．對(duì)于空間中的三個(gè)向量，，，它們一定是（

）A．共面向量 B．共線向量 C．不共面向量 D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】根據(jù)平面向量基本定理分析判斷.【解析】若共線，則，，共線，，，共面；若不共線，則可作為基底向量，可以用基底向量線性表示，根據(jù)平面向量基本定理可知：，，共面；綜上所述：，，共面.故選：A.7．空間四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，若為該平面外一點(diǎn)且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)，然后把向量，，分別用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，對(duì)照已知的系數(shù)相等即可求解．【解析】解：因?yàn)榭臻g，，，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，則可設(shè)，又點(diǎn)在平面外，則，即，則，又，所以，解得，，故選：C．8．下列條件中一定使點(diǎn)P與A，B，C共面的有（

）個(gè)①②③④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)向量共面的充要條件判斷即可.【解析】①因?yàn)椋?，，為共面向量，所以點(diǎn)與，，共面，故①正確；②，所以，，為共面向量，所以點(diǎn)與，，共面，故②正確；對(duì)于③④顯然不滿足，故③④錯(cuò)；故選：C.9．對(duì)于空間一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，且有，則（

）A．O，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，C四點(diǎn)共面C．O，P，B，C四點(diǎn)共面 D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面【答案】B【分析】若四點(diǎn)共面，則四點(diǎn)所構(gòu)成的三個(gè)共起點(diǎn)的向量中，其中一個(gè)向量能用另外兩個(gè)向量表示.即把轉(zhuǎn)化成3個(gè)共起點(diǎn)的向量即可.【解析】

四點(diǎn)共面故選:B.10．已知為空間任一點(diǎn)，，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共面定理的推論求解．【解析】解：，，又，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，，，故選：B．11．已知點(diǎn)不共線，是空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則（

）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值1 D．有最大值1【答案】A【分析】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則，即，從而得出答案．【解析】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則，即，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．故選：A．12．在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段與互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)的值有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解析】因?yàn)榫€段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時(shí)，Q一定在線段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意．若P在線段C1B1與線段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.二、多選題13．已知是空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AD【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷選項(xiàng)即可?！窘馕觥繉?duì)于A，，故不共面；對(duì)于B，，故共面；對(duì)于C，，故共面；對(duì)于D，，故D不共面.故選：AD14．給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．【答案】AC【分析】由向量共面定理可判斷AC；取，為零向量可判斷B；取，A，三點(diǎn)共線，點(diǎn)P與，A，不共線可判斷D.【解析】由向量共面定理可知A正確；當(dāng)，為零向量可知B錯(cuò)誤；由向量共面定理可知共面，又因?yàn)楣彩键c(diǎn)，所以點(diǎn)，，A，共面，故C正確；當(dāng)，A，三點(diǎn)共線，點(diǎn)P與，A，不共線時(shí)可知D錯(cuò)誤.故選：AC15．已知下列四種條件，空間中四點(diǎn)A，B，C，D不一定共面的是（

）A． B．=32C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間中四點(diǎn)A，B，C，D共面的充要條件，逐一判斷可得選項(xiàng).【解析】解：根據(jù)空間中A，B，C，D四點(diǎn)共面的充要條件是滿足，且，對(duì)于A：因?yàn)?，又，所以空間中四點(diǎn)A，B，C，D不一定共面；對(duì)于B：因?yàn)?32，又，所以空間中四點(diǎn)A，B，C，D不一定共面；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以向量共面，即四點(diǎn)A，B，C，D共面，對(duì)于D：因?yàn)?，所以，又，所以空間中四點(diǎn)A，B，C，D不一定共面.故選：ABD.16．已知點(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面可得，即，判斷A,B;利用均值不等式可求得的最大值，判斷C,D.【解析】由題意知，即共面，則為基底表示時(shí)，系數(shù)和為1，由，可知，，即，A正確；由，，可知僅當(dāng)時(shí)，有，比如當(dāng)時(shí)，即不成立，故B錯(cuò)誤；又由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．三、填空題17．已知，，是空間三個(gè)不共面的向量，下列各組向量：①，，；②，，；③，，.其中不共面的是____（填序號(hào)）.【答案】①③##③①【分析】利用空間共面向量定理判斷即可【解析】解：對(duì)于①，因?yàn)槭强臻g三個(gè)不共面的向量，且，所以不共面，所以①符合題意；對(duì)于②，因?yàn)?，所以是共面向量，所以②不符合題意；、對(duì)于③，若是共面向量，則存在實(shí)數(shù)，使，即，因?yàn)槭强臻g三個(gè)不共面的向量，所以，矛盾，所以不共面，所以③符合題，故答案為：①③18．下列命題中錯(cuò)誤的是______．（填序號(hào)）①若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有；②是、共線的充要條件；③若、共線，則；④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若（其中x、y、）則P、A、B、C四點(diǎn)共面．【答案】②③④【分析】直接由向量的運(yùn)算、向量的共線及向量的共面依次判斷4個(gè)命題即可.【解析】對(duì)于①，，正確；對(duì)于②，或是、共線的充要條件，錯(cuò)誤；對(duì)于③，若、共線，則或重合，錯(cuò)誤；對(duì)于④，若（其中x、y、），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面，錯(cuò)誤.故答案為：②③④.19．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，則_________．【答案】【分析】推導(dǎo)出空間四點(diǎn)共面定理的推論，再根據(jù)推論進(jìn)行求解.【解析】因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)共面，所以存在不全為0的使得，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，則，即，若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，整理得：，所以，此時(shí)若，則，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，所以，所以，令，則，所以，所以．故答案為：20．如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，，與平面交于點(diǎn)M，則＝________.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何表示可得，然后向量共面的推論即得.【解析】由題可設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)镸，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，所以，解得.故答案為：.四、解答題21．已知為兩個(gè)不共線的非零向量，且，，，求證：四點(diǎn)共面．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】用共面向量定理證明共面，即可得四點(diǎn)共面．【解析】設(shè)，則，，又為兩個(gè)不共線的非零向量，，，，四點(diǎn)共面，故原命題得證．22．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)空間向量定義及運(yùn)算法則，用，表示出，從而證得四點(diǎn)共面.【解析】證明:因?yàn)椋剑剑?，所以，，共面，所以A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.23．已知三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)，判斷在下列各條件下的點(diǎn)與點(diǎn)是否共面．(1)；(2)．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；(1)解：因?yàn)槿c(diǎn)不共線，可得三點(diǎn)共面，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)，若，即，又因?yàn)?，根?jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)與共面.(2)解：因?yàn)槿c(diǎn)不共線，可得三點(diǎn)共面，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)，若，此時(shí)，根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)與不共面．24．如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點(diǎn)D，M，N分別為BC，AB，OB的中點(diǎn)．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點(diǎn)共面．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果；（2）證得，即可得出結(jié)論.（1）因?yàn)?，而，又D為的中點(diǎn)，所以，所以．（2）因?yàn)椋?，所以，，所以．所以四點(diǎn)共面．25．已知為空間9個(gè)點(diǎn)(如圖)，并且，，．，求證：(1)四點(diǎn)共面；(2)；(3)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)向量的共面定理，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（3）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.（1）解：因?yàn)?，由共面向量的基本定理，可得是共面向量又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以四點(diǎn)共面.（2）解：因?yàn)椋瑒t，所以.（3）解：由（1）及，可得，所以