一題多解圓錐曲線離心率

一題多解圓錐曲線離心率典型例題【例1】設橢圓的左焦點為，直線：與橢圓交于，兩點，若，，則橢圓的離心率的取值范圍是【解析】【解法1】如圖，設右焦點為，易知四邊形是矩形，令，，所以，，，，所以.因為，所以，.所以，所以.【評注】利用橢圓定義以及橢圓的對稱性得到離心率的表達式，再由三角函數(shù)的有界性求解.【評注】先由直角三角形的性質求出點的坐標，代入橢圓方程得到與之間的關系，利用余弦函數(shù)的有界性得到關于的不等式.【解法2】如圖，易得，，則有，所以.又因為點在橢圓上，所以，整理得，因為，所以，所以，且，化簡后解得，又因為，所以.【解法3】以為直徑的圓的方程為，所以，，所以，因為，所以，所以，又因為，且，所以上式整理后解得.又因為點在橢圓上，所以，整理得，因為，所以，所以，且，化簡后解得，又因為，所以.【評注】設直線的方程為，由已知可得，在以為圓心，為半徑的圓上，聯(lián)立方程組消去，后得到與，，的關系式，利用傾斜角范圍求出的范圍，得到不等式求解.【解法4】設橢圓的右焦點為，易知四邊形是矩形，令，.如圖12-1，，，，由橢圓定義知:，又因為，，，所以，其中，所以.【評注】同【解法1】得到離心率與的關系，把表達式平方后，，利用對勾函數(shù)求解.【解法5】因為是的中點,所以.所以,當時,此時點記為.由得.由題意得,所以,所以所以.又因為,所以.【評注】利用橢圓上點到原點距離的變化趨勢,結合極端情況,得到離心率的不等式巧解.【解法6】因為,所以四邊形為矩形,又因為,所以,因為,所以,因為,所以,所以,所以,又因為,所以.【評注】利用矩形面積轉化成兩個焦點三角形面積后確定參數(shù)范圍.【賞析】【解法1】利用橢圓的對稱性,將轉化為,將與用角表示,再利用橢圓的定義將離心率表示為的函數(shù),進而求出離心率的取值范圍。應用【解法1】求解時應注意角的取值范圍.【解法1】體現(xiàn)了函數(shù)思想,要求學生有較好的分析能力及化歸能力.【解法2】將點的坐標用角表示,然后代入橢圓方程解出利用,求出的取值范圍,得到關于的不等式,結合得出的取值范圍.【解法2】利用了點在曲線上即點的坐標滿足曲線方程的特征,解題過程中體現(xiàn)了方程思想與化歸思想,對學生的運算能力及化歸能力有較高的要求,利用余弦函數(shù)的有界性將問題轉化為不等式問題是解題的關鍵.【解法3】將直線的方程與圓聯(lián)立,求出后代入粗圓方程解出后，再結合,得出,建立關于的不等式,結合,求出的取值范圍.【解法3】與【解法2】類似,前者利用點的坐標,后者利用斜率,兩者的思想完全相同,恰當合理的轉化是解決問題的關鍵.【解法4】將用表示,利用橢圓的定義及是直角三角形,將表示為的函數(shù),利用對勾函數(shù)求解.【解法4】與【解法1】類似,只是對的處理上有所不同.【解法4】利用化切處理再結合均值不等式得解,體現(xiàn)了函數(shù)思想與化歸思想,在數(shù)和式的處理上對學生提出了較高的要求.【解法5】利用極端情況,即時的情況,將的長度用表示,再結合得到事實上這里也利用余弦定理及勾股定理將用表示,再結合橢圓定義得解.【解法5】采用“以靜制動”的方式處理問題,要求學生具有較好的觀察能力與推理能力.【解法6】利用,結合焦點三角形面積公式將用表示,再利用的有界性求出的取值范圍.【解法6】與【解法2】類似,這里利用了正弦函數(shù)的有界性,同樣要求學生具有較好的分析、解決問題的能力和豐富的函數(shù)不等式的知識儲備.【例2】設是雙曲線的右焦點,過點向的一條漸近線引垂線,垂足為,交另一條漸近線于點.若,則的離心率是（）A.B.2C.D.【解析】【解法1】不妨設直線的方程為.將直線的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點的坐標,利用距離求解.聯(lián)立.可得，由可得,可得或,所以或者當時不滿足,所以.故選C.【評注】將直線的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點的坐標,利用距離求解.【解法2】不妨設直線的方程為.聯(lián)立可得,同理可得.由得,所以,可得,所以故選.【評注】將直線的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點的坐標,利用縱坐標關系求解.【解法3】由雙曲線的性質知,焦點到漸近線的距離,所以.因為,所以.因為,所以,整理得,所以故選.【評注】利用雙曲線中的幾何意義,以及正切函數(shù)的定義得到的關系式求解.【解法4】過點向雙曲線的另一條漸近線作垂線,垂足為,則.在中,得,所以故選.【評注】由雙曲線的對稱性,構造含角的直角三角形解決問題.【賞析】【解法1】利用坐標法求出直線與浙近線的交點坐標,再利用得到的關系式,進而求出離心率的值(注意對進行檢驗).【解法1】利用坐標法求解,將轉化為,利用兩點間距離進行處理.解題過程中體現(xiàn)了方程思想的運用.本解法思路較為簡單,對運算能力要求較高.【解法2】首先求出直線與漸近線的交點坐標,然后利用得到(這里也可以分別過點向軸作垂線得到),進而得到的關系式,解出離心率【解法2】較之【解法1】降低了運算量,思路也更為自然,選擇縱坐標的運算量明顯少于選擇橫坐標的運算量.解題過程中體現(xiàn)了方程思想,要求學生有較好的運算能力.【解法3】首先將與的正切用表示,再利用正切二倍角公式得到之間的關系式,進而求出離心率的值.【解法3】利用了雙曲線焦點到漸近線的距離為的特征,結合圖形,巧妙地利用了長度關系及雙曲線的對稱性.解題過程中體現(xiàn)了數(shù)形結合思想與方程思想,對學生的觀察能力及分析問題的能力有較高的要求.【解法4】則通過添加輔助線,將“”化到同一直角三角形中,利用的長度關系及相似、雙曲線漸近線的對稱性得到的大小,進而求出離心率,構思巧妙,易于運算.【解法4】與【解法3】類似,但優(yōu)于【解法3】,可謂把數(shù)形結合運用到了極致,對學生分析問題的能力要求很高.【例3】已知雙曲線的兩個焦點為,若為雙曲線上一點,且,則雙曲線離心率的取值范圍為（）A.B..C.D.【解析】【解法1】如圖,設當點在右頂點處時,因為,所以,故選【評注】利用雙曲線的定義以及余弦定理求出離心率的表達式,由余弦函數(shù)的有界性求解.【解法2】設,則,所以,又(當且僅當三點共線時等號成立),所以,即,得.又,所以,故選.【評注】利用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意本題可以取到等號,因為可以三點共線.【解法3】設,因為,所以由焦半徑公式可得,解得.因為,所以,解得.又,所以.故選.【評注】利用焦半徑公式,以及右支上的點的橫坐標范圍構建不等式,確定與的關系.【解法4】依題意可知點在雙曲線的右支上.因為,所以,解得.又,所以.故選.【評注】利用雙曲線右支上的點到焦點的距離的最小值為,得到不等式求解.【解法5】設所以.由面積得,即.所以,即因為,所以.故選.【評注】由雙曲線的定義,求出,利用焦點三角形的面積公式通過算兩次得到以及兩焦半徑夾角之間的關系,再利用余弦函數(shù)的有界性求解.【解法6】設,已知.因為,所以,即,解得.因為,所以,解得.又,所以.故選.【評注】利用兩點間距離公式求解.【賞析】【解法1】首先將表示為,再利用余弦定理將用表示,消去后將表示為的函數(shù),結合的取值范圍求出的取值范圍.【解法1】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,利用余弦函數(shù)的有界性求出離心率的取值范圍,要求學生有較好的化歸能力.【解法2】利用了三角形的三邊關系.應注意利用兩邊之和與第三邊的關系只能求出離心率的上界,不能求出下界,還要借助雙曲線離心率大于1的特征得出離心率的取值范圍.【解法2】的運算量較小,思路也較為簡單,對本題是一種較為實用的方法.【解法3】利用?曲線焦半徑公式,建立的不等關系求解.【解法3】體現(xiàn)了方程思想,借助雙曲線性質中的范圍,建立關于的不等關系得到的上界,再結合得解.【解法3】思路較為簡單,利用范圍建立不等式的方法也是通法,學生較易想到此種方法.【解法4】由雙曲線上任一點到焦點的距離的最小值為,建立的不等關系求解.【解法4】與【解法3】類似,只是將點的范圍代換為的范圍,而這里的范圍則利用雙曲線的定義得到.【解法4】也是常見的解題思路,只要掌握基礎知識與基本方法即可.【解法5】首先利用雙曲線的定義將用表示,然后利用焦點三角形面積及余弦函數(shù)的有界性求解.面積法也是解決圓錐曲線問題的常見方法,【解法5】對學生代數(shù)式的處理能力及三角恒等變換能力要求較高.【解法6】利用兩點間距離公式及求出的取值范圍,再利用及求出的取值范圍.有界性是處理離心率范圍問題的常見方法.通過解不等式得到,這是建立不等關系的關鍵.【例4】已知雙曲線的左焦點為,若雙曲線右支上存在點,使得線段的中點仍在雙曲線上,則雙曲線離心率的取值范圍是________.【解析】【解法1】設,依題可知,因為,所以的中點的坐標為因為點在雙曲線上,所以,因為點在雙曲線上,所以,兩式聯(lián)立消去得,解得,所以,又因為,整理可得.【評注】利用點在雙曲線上,以及右支上點的橫坐標的范圍求解.【解法2】因為為的中點,為的中點,結合雙曲線的第一定義可得,所以點在以為焦點,長軸長為的雙曲線上,即點在雙曲線向左平移單位長度所得雙曲線的右支上,其右頂點的橫坐標為,由題意知存在點的條件是兩條雙曲線有交點,所以,解得【評注】利用雙曲線定義、三角形中位線定理,以及兩雙曲線有交點的條件解題.【解法3】設雙曲線的左、右頂點分別為,右焦點為,不妨設點在直線上,依雙曲線的對稱性可知,只需考慮直線的斜率即可，直線繞點逆時針旋轉,即當從0逐漸增大時,逐漸減小,若要滿足仍為中點,則只需即可,即,解得【評注】利用幾何動態(tài)變化,觀測的變化趨勢，得到不等式求解.【解法4】設,則,由得,即,解得.【評注】利用雙曲線的定義以及三角形不等式求解.【解法5】設,由雙曲線的第二定義,因為點在雙曲線上,所以,即因為點在雙曲線上,所以,即,兩式相減消去得,所以.【評注】利用雙曲線第二定義,以及余弦函數(shù)的有界性求解.【賞析】【解法1】利用點在曲線上進行解答.條件中曲線上存在點滿足關系式的題目均可使用此解法.【解析】【解法1】利用了坐標法,結合建立關于的不等式后得解,是處理離心率取值范圍問題的常見方法.【解法2】考慮點所滿足的方程和雙曲線方程的關系進而求解,方法獨特.【解法2】體現(xiàn)了數(shù)形結合法的優(yōu)越性,對能力要求較高.【解法3】利用直線斜率的變化情況,判斷結論的臨界取值,是解答小題的一種策略.【解法3】體現(xiàn)了數(shù)形結合思想.【解法4】有效利用平面幾何中的三角形邊長關系,簡潔明快.兩邊之和與第三邊的關系是建立不等式的常見思路.【解法5】利用雙曲線的橫坐標公式與余弦的有界性求解,運算量較小.【例5】設為雙曲線上的一點,分別為的左、右焦點,若的內切圓的直徑為,則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【解析】【解法1】如圖,不妨設點在第一象限,設的內切圓與三邊分別切于點,則有,由雙曲線定義有，所以,所以,所以點在雙曲線上,即點為雙曲線的右頂點,所以內切圓圓心橫坐標為,所以的內切圓圓心坐標為.當趨向無窮大時,幾乎與漸近線平行,設漸近線的傾斜角為,切線的傾斜角為,則.因為,且,因為，由得到,解得,因為,所以,所以,所以,解得故選.【評注】利用雙曲線定義,以及角的特點得到不等關系.【解法2】不妨先固定,由【解法1】知內切圓切于頂點,內切圓圓心為當焦點遠離頂點時,雙曲線離心率越來越大,當焦點接近頂點時,離心率越來越小,其臨界狀態(tài)為.當時,.因為,所以,，，因為,所以,所以,此時,所以,故選.【評注】固定,分析變化時離心率的變化規(guī)律，得到當時為的極小值位置(不能取到).【解法3】不妨設點在第一象限,因為的內切圓半徑為,則又,所以,所以,又因為,而,所以.所以,所以.又點在雙曲線上,所以,消去,有,整理得到.所以關于的方程在上有解.令,當時,,此時恒成立,方程在上無解,故舍去;當時,恒成立,方程在上無解,故舍去;當時,注意到,拋物線開口向上,此時在上有解,所以滿足題意,所以,所以,所以.故選.【評注】利用函數(shù)與方程思想,轉化為方程解的問題.【賞析】如果題目涉及焦點三角形,常常運用圓錐曲線的定義,結合圖形借助平面幾何知識尋求不等關系,如【解法1】利用角度之間的關系,結合三角恒等變換,得到的不等關系.【解法1】體現(xiàn)了數(shù)形結合思想與方程思想,對能力要求較高.極端分析就是將所要研究的問題向極端狀態(tài)進行分析,使因果關系變得更加明顯,從而迅速解決問題.對于計算量大的題,有時采用極端分析,就能較快地解決問題,如【解法2】.利用圓錐曲線橫坐標或縱坐標自身的限制條件,例如橢圓與雙曲線對橫坐標的范圍有要求.如果問題圍繞“在曲線上存在一點”展開,則可考慮將該點坐標用表示,且點坐標的范圍限制就是求離心率范圍的突破口,或轉化為一元二次方程在某個區(qū)間內有解,如【解法3】.【例6】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點,曲線的一個交點為,且,則的離心率與的離心率一定滿足的關系是（）A.B.C.D.【解析】【解法1】因為,不妨令,所以,所以,故選D.【評注】采用特例排除法解題.【解法2】不妨設橢圓的方程為,雙曲線的方程為,點在第一象限,半焦距為,則,所以,因為,所以,所以,所以,所以,故選.【評注】利用橢圓與雙曲線的定義,借助勾股定理求解.【解法3】設橢圓的方程為,雙曲線的方程為.如圖,由焦點三角形的面積公式,在橢圓中有:在雙曲線中有:所以.所以.故選D.【點撥】利用橢圓、雙曲線焦點三角形的面積公式求解.【解法4】如圖,設,則,故選D.【評注】利用橢圓及雙曲線的定義及正弦定理.【賞析】【解法1】取特例,對選項進行檢驗排除,可以快速地得到答案.作為選擇題,如果能用特例進行排除,可以提高準確率.【解法1】體現(xiàn)了特殊化方法的優(yōu)勢.【解法2】是求解圓錐曲線離心率的常用方法,利用圓錐曲線定義結合平面幾何知識,從幾何關系尋求的關系式.分析圖形的幾何特征,利用幾何關系建立關于的方程是解決離心率問題的常見策略.【解法2】體現(xiàn)了方程思想的運用,對代數(shù)式的恒等變形能力要求較高.【解法3】利用橢圓與雙曲線焦點三角形的面積公式,得到曲線之間的關系.橢圓焦點三角形面積:其中.【解法3】體現(xiàn)了方程思想與化歸思想的運用,要求學生具有較好的分析、解決問題的能力.【解法4】對代數(shù)式的恒等變形要求較高.強化訓練1.如圖分別是雙曲線的左、右焦點,是虛軸的端點,直線與的兩條漸近線分別交于兩點,線段的垂直平分線與軸交于點.若則的離心率是（）A.B.C.D.【解析】易得直線的方?為:,則,則的中點的坐標為,中垂線方程為.由題意得,所以,即,所以.故選.2.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,是它們的一個公共點,且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）【解析】設.則,由余弦定理得,所以,當且僅當時取等號.所以,故選.3.如圖,已知雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上的一點,直線與軸交于點的內切圓在邊上的切點為,若,則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.2D.3【解析】如答圖12-1所示,設直線與的內切圓相切于點.則.所以,所以,所以,所以,即2.由,可得,所以該雙曲線的離心率,故選.4.已知點在軸上,點分別為雙曲線的右頂點及右焦點,且與的夾角為,則此雙曲線離心率的最小值為________.【解析】如答圖,以為半徑作圓,.欲使軸上存在點,使得,則圓必與軸有公共點,所以,即,所以.故離心率的最小值為3.5.設是雙曲線的右焦點,過點向的一條漸近線引垂線,垂足為,交另一條漸近線于點,若,則雙曲線的離心率是________.【解析】由題意得右焦點,設一漸近線的方程為,則另一漸近線的方程為,設,因為,所以,所以,所以.由可得,所以,所以.6.已知橢圓上一點關于原點的對稱點為為其右焦點,若,則橢圓的離心率的取值范圍是________.【解析】點與關于原點對稱,所以點在橢圓上,設左焦點為,根據(jù)橢圓定義得,又因為,所以(1),為的斜邊中點,所以,又