【開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷】2025屆新高三開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷（2025屆新高考） 數(shù)學(xué)試卷03（新高考）（解析版）

2025屆新高三開學(xué)摸底考試卷（新高考通用）03數(shù)學(xué)?全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，再結(jié)合交集運(yùn)算可得答案.【詳解】由題意得，又因?yàn)樗?，故選：C.2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)滿足，則可轉(zhuǎn)化為，所以.故選：A.3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】，，∵，∴，化簡(jiǎn)得．故選:A．4．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角差的正弦公式求出，最后由兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，則．故選：B．5．已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點(diǎn)，該圓錐內(nèi)切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)，求得圓錐的底面半徑和高，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)內(nèi)切球與PA相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由?nèi)切球的表面積為，可得球的半徑，則圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，所以該圓錐的體積.故選：A.6．函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原不等式變形為，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，所以由得，所以，解得.故選：A.7．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】準(zhǔn)確分析函數(shù)性質(zhì)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】，所以的最大值為2，當(dāng)取最大值時(shí)，有，即，由，令，解得，當(dāng)趨于時(shí)，趨于正無窮，而，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)上述分析，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖象與的圖象如圖所示，

由圖可知，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，的圖象與的圖象共有11個(gè)交點(diǎn).故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是對(duì)區(qū)間進(jìn)行適當(dāng)劃分，從而研究函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，由此即可順利得解.8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計(jì)算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某校高三年級(jí)選考生物科的學(xué)生共1000名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級(jí)分，則（

）參考數(shù)據(jù)：；；.A．這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為25B．這次考試等級(jí)分超過80分的約有450人C．這次考試等級(jí)分在內(nèi)的人數(shù)約為997D．【答案】CD【分析】由，則，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合題中給出的概率公式，對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行分析，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由題設(shè)，均值，方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差為5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以人，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則人，故C正確；對(duì)于D，故D正確．故選：CD.10．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．C．D．在區(qū)間上的極大值為【答案】ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，把軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為等式成立，結(jié)合誘導(dǎo)公式，從而可以得證；對(duì)于B選項(xiàng)，先化簡(jiǎn)，然后結(jié)合基本不等式，即可求得最小值；對(duì)于C選項(xiàng)，令，舉反例，可得C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減.由，得且，，，又，則，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合A選項(xiàng)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為，故D正確.故選：ABD.11．2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）的正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡成為雙紐線，已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法正確的有（

）

A．雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；B．；C．雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)；D．的最大值為.【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)雙紐線的定義求出曲線方程，然后將替換方程中的進(jìn)行判斷，對(duì)于B，根據(jù)三角形的等面積法分析判斷，對(duì)于C，由題意得，從而可得點(diǎn)在軸上，進(jìn)行可判斷，對(duì)于D，由向量的性質(zhì)結(jié)合余弦定理分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槎x在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，所以，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以A正確，對(duì)于B，設(shè)∵，，∴，∴，∴，故B正確；對(duì)于C，由知在的垂直平分線（方程為）上將代入得即，解得，∴這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，由余弦定理得，所以，所以的最大值為，故D正確；故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知雙曲線分別為其左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】在直角三角形中，由直線的斜率為2得到，進(jìn)一步由雙曲線定義求出，再利用勾股定理建立的等量關(guān)系，即可求出離心率的值.【詳解】由于直線的斜率為2，因此，又，故，由雙曲線定義得，因此，又，所以，故雙曲線的離心率為，故答案為：.13．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則公共點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，由，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)可得，求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，可得，由，設(shè)曲線與曲線的公共點(diǎn)為，由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，所以，所以，由，可得，聯(lián)立可得，解得，所以，所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.14．在n維空間中（，），以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中.則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是；定義：在n維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則.【答案】32【分析】第一空由題意根據(jù)分步乘法原理，求解即可；第二空先確定樣本點(diǎn)總數(shù)，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.【詳解】（1）的可能值為0，1（，）.故五維立方體的頂點(diǎn)有個(gè).（2）依題意，樣本空間的樣本點(diǎn)記為，M，N為五維立方體的頂點(diǎn)樣本點(diǎn)總數(shù)：當(dāng)時(shí)，有k個(gè)第i維坐標(biāo)值不同，有個(gè)第i維坐標(biāo)值相同.滿足的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為.所以.故分布列為：X12345P.故答案為：32；.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為．(1)求；(2)若，且的周長(zhǎng)為5，設(shè)為邊BC中點(diǎn)，求AD.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理求出，再向量化即可得解.【詳解】（1）依題意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因?yàn)?，所以；?）依題意，，因?yàn)?，解得，因?yàn)椋裕裕?6．（15分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，離心率為．已知A是拋物線的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為．(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q，關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B（B異于點(diǎn)A），直線與x軸相交于點(diǎn)D．若的面積為，求直線AP的方程．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，求出它們的值，即可求得答案；（2）設(shè)，即可表示出的方程，聯(lián)立橢圓方程，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出方程，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，可得AD的長(zhǎng)，從而根據(jù)的面積為，列式計(jì)算求出t的值，即可求得答案.【詳解】（1）依題意設(shè)點(diǎn)，因，且，由對(duì)稱性知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，解得，，，于是．從而得橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由于準(zhǔn)線方程為，依題意設(shè)，則．因，則，得直線方程為①，將①式代入中化簡(jiǎn)，得，設(shè)，由韋達(dá)定理得，則，即，則，于是得直線方程為，令，解得，即．則，于是，化簡(jiǎn)得，即得，代入①式化簡(jiǎn)，得直線方程為，或.17．（15分）在底面為梯形的多面體中．，且四邊形為矩形．點(diǎn)在線段上．

(1)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為60°？若存在，求．若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且或【分析】（1）由題意可得為等腰直角三角形，結(jié)合各邊長(zhǎng)度與勾股定理及勾股定理的逆定理可得，取線段中點(diǎn)，結(jié)合面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可得線面平行；（2）由題意可得平面，即可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，由空間向量與平面的法向量結(jié)合夾角公式計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由，則為等腰直角三角形，有，則，則，在中，，取線段中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)橹本€平面，平面，所以直線平面，同理直線平面，又因?yàn)?，、平面，所以平面平面，因?yàn)橹本€平面，所以平面；（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，又，、平面，故平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以,設(shè)，其中，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，即，解得或，故存在點(diǎn)或.

18．（17分）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)．（?。┣蟮闹担唬áⅲ┳C明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱．【答案】(1)答案見解析(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出，求導(dǎo)，，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）（ⅰ）求出，直接計(jì)算，即可得結(jié)果；（ⅱ）根據(jù)的定義域，推斷函數(shù)的對(duì)稱軸為，驗(yàn)證即可.【詳解】（1）由題意可知，則的定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，若，；若，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）（?。┖瘮?shù)，則，，故．（ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖冢沟们€關(guān)于直線對(duì)稱，則關(guān)于直線對(duì)稱，所以由．可知曲線關(guān)于直線對(duì)稱．19．（17分）若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，，…，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．(1)已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為8的對(duì)稱數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列，，，試寫出的每一項(xiàng)．(2)已知是項(xiàng)數(shù)為（其中，且）的對(duì)稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？(3)對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫出所有項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，并分別求出所有對(duì)稱數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，，，，，，，(2)當(dāng)時(shí)取得最大值，且(3)答案見解析【分析】（1）設(shè)前項(xiàng)的公差為，由求出公差，從而得到，，再根據(jù)對(duì)稱性得到其余項(xiàng)；（2）首先利用等差數(shù)列求和公式求出，則，再由二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可