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INCLUDEPICTURE"高分訓(xùn)練.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\數(shù)學(xué)課件\\高分訓(xùn)練.tif"INET2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-探究性問題-專項(xiàng)訓(xùn)練一、基本技能練1.已知橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的離心率e=eq\f(\r(2),2),以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線x+y-2=0相切.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在斜率為2的直線,使得當(dāng)直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N時(shí),能在直線y=eq\f(5,3)上找到一點(diǎn)P,在橢圓C上找到一點(diǎn)Q,滿足eq\o(PM,\s\up6(→))=eq\o(NQ,\s\up6(→))?若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.2.已知點(diǎn)P(1,0)在橢圓C:eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)上,直線y=y(tǒng)0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,當(dāng)y0=1時(shí),|AB|=eq\r(2).(1)求橢圓C的方程;(2)直線PA,PB分別交y軸于M,N兩點(diǎn),問:y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得|OM|,|OQ|,|ON|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))成等比數(shù)列?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.3.如圖,橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2))),離心率e=eq\f(1,2),直線l的方程為x=4.(1)求橢圓C的方程;(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M,記直線PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.二、創(chuàng)新拓展練4.已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線E:x2=2py(p>0)上,l1,l2分別為過點(diǎn)A,B且與拋物線E相切的直線,l1,l2相交于點(diǎn)M(x0,y0).條件①:點(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上;條件②:l1⊥l2;條件③:直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F.(1)在上述三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件,另外兩個(gè)作為結(jié)論,構(gòu)成命題,并證明該命題成立;(2)若p=2,直線y=x+4與拋物線E交于C,D兩點(diǎn),試問:在x軸正半軸上是否存在一點(diǎn)N,使得△CDN的外心在拋物線E上?若存在,求N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.參考答案與解析一、基本技能練1.解(1)由離心率e=eq\f(\r(2),2),得a=eq\r(2)c.又a2=b2+c2,從而b=c,橢圓的上頂點(diǎn)為(0,b),右焦點(diǎn)為(c,0),所以以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(b,2)))eq\s\up12(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(b,2)))eq\s\up12(2)=eq\f(b2,2),圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2),\f(b,2))),半徑為eq\f(\r(2),2)b.由該圓與直線x+y-2=0相切得,eq\f(|b-2|,\r(2))=eq\f(\r(2),2)b,即|b-2|=b,解得b=1,從而c=1,a=eq\r(2),所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)+y2=1.(2)不存在.理由如下:設(shè)直線方程為y=2x+t,M(x1,y1),N(x2,y2),Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3,\f(5,3))),Q(x4,y4),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=2x+t,,\f(x2,2)+y2=1,))消去x得9y2-2ty+t2-8=0,由Δ=4t2-36(t2-8)>0可得t∈(-3,3),且y1+y2=eq\f(2t,9),由eq\o(PM,\s\up6(→))=eq\o(NQ,\s\up6(→)),得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1-x3,y1-\f(5,3)))=(x4-x2,y4-y2),所以y4=y(tǒng)1+y2-eq\f(5,3)=eq\f(2t,9)-eq\f(5,3).因?yàn)閠∈(-3,3),所以-eq\f(7,3)<y4<-1,但y4∈[-1,1],所以不存在斜率為2的直線滿足條件.2.解(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0+\f(1,b2)=1,,\f(1,a2)+\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2),b2)=1,))解得a2=2,b2=1,故所求橢圓C的方程為eq\f(y2,2)+x2=1.(2)假設(shè)存在點(diǎn)Q(0,m)使得|OM|,|OQ|,|ON|成等比數(shù)列,則|OQ|2=|ON||OM|.因?yàn)橹本€y=y(tǒng)0交橢圓C于A,B兩點(diǎn),則A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.設(shè)A(x0,y0),則B(-x0,y0)(x0≠±1),因?yàn)镻(1,0),則直線PA的方程為y=eq\f(y0,x0-1)(x-1),令x=0,得yM=eq\f(-y0,x0-1),所以|OM|=eq\f(|y0|,|x0-1|).直線PB的方程為y=eq\f(-y0,x0+1)(x-1),令x=0,得yN=eq\f(y0,x0+1),所以|ON|=eq\f(|y0|,|x0+1|).因?yàn)閨OQ|2=|ON||OM|,所以m2=eq\f(yeq\o\al(2,0),|xeq\o\al(2,0)-1|).又因?yàn)辄c(diǎn)A(x0,y0)在橢圓C上,所以yeq\o\al(2,0)=2(1-xeq\o\al(2,0)).所以m2=eq\f(2(1-xeq\o\al(2,0)),1-xeq\o\al(2,0))=2,即m=±eq\r(2),故存在點(diǎn)Q(0,±eq\r(2)),使得|OM|,|OQ|,|ON|成等比數(shù)列.3.解(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)+\f(9,4b2)=1,,\f(c,a)=\f(1,2),,b2+c2=a2,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2=4,,b2=3,,c2=1,))故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1.(2)由題意可設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1),①代入橢圓方程,并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2≠1,則x1+x2=eq\f(8k2,4k2+3),x1x2=eq\f(4(k2-3),4k2+3),②在方程①中令x=4,得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,3k).從而k1=eq\f(y1-\f(3,2),x1-1),k2=eq\f(y2-\f(3,2),x2-1),k3=eq\f(3k-\f(3,2),4-1)=k-eq\f(1,2).因?yàn)锳,F(xiàn),B三點(diǎn)共線,所以k=kAF=kBF,即eq\f(y1,x1-1)=eq\f(y2,x2-1)=k,所以k1+k2=eq\f(y1-\f(3,2),x1-1)+eq\f(y2-\f(3,2),x2-1)=eq\f(y1,x1-1)+eq\f(y2,x2-1)-eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1-1)+\f(1,x2-1)))=2k-eq\f(3,2)·eq\f(x1+x2-2,x1x2-(x1+x2)+1),③將②代入③得,k1+k2=2k-eq\f(3,2)·eq\f(\f(8k2,4k2+3)-2,\f(4(k2-3),4k2+3)-\f(8k2,4k2+3)+1)=2k-1,又k3=k-eq\f(1,2),所以k1+k2=2k3.故存在常數(shù)λ=2符合題意.二、創(chuàng)新拓展練4.解(1)由題意,拋物線方程化為y=eq\f(x2,2p),則y′=eq\f(x,p),則l1的切線斜率k1=eq\f(x1,p),所以l1的方程為y-y1=eq\f(x1,p)(x-x1),將xeq\o\al(2,1)=2py1代入,化簡整理得x1x=p(y+y1),同理可得l2的方程為x2x=p(y+y2),拋物線E:x2=2py的準(zhǔn)線為y=-eq\f(p,2),焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))).若選擇①作為條件,②③作為結(jié)論,證明如下:因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上,可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0,-\f(p,2))),又l1,l2相交于點(diǎn)M,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x0=p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2)+y1)),,x2x0=p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2)+y2)),))點(diǎn)A,B的坐標(biāo)滿足方程x0x=peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(p,2))),即直線AB的方程為x0x=peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(p,2))),進(jìn)而直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))),③得證.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0x=p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(p,2))),,x2=2py,))消去y整理得eq\f(x2,2p)-eq\f(x0x,p)-eq\f(p,2)=0,所以x1x2=-p2.設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,有k1·k2=eq\f(x1,p)·eq\f(x2,p)=eq\f(-p2,p2)=-1,所以l1⊥l2,②得證.若選擇②作為條件,①③作為結(jié)論,證明如下:因?yàn)閘1⊥l2,設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,有k1·k2=eq\f(x1,p)·eq\f(x2,p)=-1,即x1x2=-p2,又l1,l2相交于點(diǎn)M,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x=p(y+y1),,x2x=p(y+y2),))解得y=eq\f(x1x2,2p)=-eq\f(p,2),所以點(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上,①得證.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0,-\f(p,2))),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x0=p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2)+y1)),,x2x0=p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2)+y2)),))點(diǎn)A,B的坐標(biāo)滿足方程x0x=peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(p,2))),即直線AB的方程為x0x=peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(p,2))),進(jìn)而直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))),③得證.若選擇③作為條件,①②作為結(jié)論,證明如下:直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,設(shè)直線AB的方程為y=kx+eq\f(p,2),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx+\f(p,2),,x2=2py,))消去y整理得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2,設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,有k1·k2=eq\f(x1,p)·eq\f(x2,p)=eq\f(-p2,p2)=-1,所以l1⊥l2,②得證.又l1,l2相交于點(diǎn)M,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x=p(y+y1),,x2x=p(y+y2),))解得y=eq\f(x1x2,2p)=-eq\f(p,2),所以點(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上,①得證.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=x+4,,x2=4y,))可得x2-4x-16=0,所以xC+xD=4,xCxD=-16,設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P(x3,y3),則x3=eq\f(xC+xD,2)=2,y3=x3+4=6,進(jìn)而線段CD的垂直平分線方程為y-6=-(x-2),即y=-x+8,聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2=4y,,y=-x+8,))得x2+4x-32=0,解得x=-8或4,從而△CDN的外心Q的坐標(biāo)為(4,4)或(-8,16),又|CD|=eq\r(1+12)·eq\r((xC+xD)2-4xCxD)=eq\r(2)×eq\r(16+64)=4eq\r(10),所以|DP|=eq\f(|CD|,2)=2eq\r(10).假設(shè)存在點(diǎn)N(m,0)(m>0),若Q的坐標(biāo)
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