專題2.1 不等式的基本性質(zhì)【十一大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題2.1不等式的基本性質(zhì)【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等式的定義】 1【題型2取值是否滿足不等式】 3【題型3在數(shù)軸上表示不等式】 4【題型4根據(jù)實際問題列出不等式】 6【題型5根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷正誤】 8【題型6根據(jù)不等式的性質(zhì)比較大小】 10【題型7根據(jù)不等式的解集求字母取值范圍】 12【題型8根據(jù)不等式的性質(zhì)求式子取值范圍】 14【題型9根據(jù)不等式的性質(zhì)求最值】 16【題型10不等關(guān)系的簡單應(yīng)用】 19【題型11利用不等式性質(zhì)證明不等式】 23【知識點1認識不等式】用符號“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”連接而成的式子，叫做不等式。用符號這些用來連接的符號統(tǒng)稱不等式.【題型1不等式的定義】【例1】（2023春·安徽宿州·八年級校考期中）下列式子：x?1≥1；2x+2；?2<0；x?12y=0；x+2y≤0．其中是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)不等式的定義逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：不等式有x?1≥1；?2<0；x+2y≤0，故選：B．【點睛】本題考查不等式定義，熟記由不等號表示大小關(guān)系的式子叫不等式是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·八年級統(tǒng)考課時練習）某養(yǎng)生鈣奶飲料中的包裝瓶上標注“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內(nèi)含鈣150毫克B．每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克C．每100克內(nèi)含鈣高于150毫克D．每100克內(nèi)含鈣不超過150毫克【答案】C【分析】“>”就是大于，在本題中也就是“高于”的意思．【詳解】解：根據(jù)>的含義，“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，就是“每100克內(nèi)含鈣高于150毫克”，故選：C．【點睛】本題主要考查不等號的含義，是需要熟練記憶的內(nèi)容．【變式1-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校W校組織同學們春游，租用45座和30座兩種型號的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x＋30y≥500”表示的實際意義是()A．兩種客車總的載客量不少于500人 B．兩種客車總的載客量不超過500人C．兩種客車總的載客量不足500人 D．兩種客車總的載客量恰好等于500人【答案】A【分析】主要依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷．【詳解】不等式“45x+30y≥500”表示的實際意義是兩種客車總的載客量不少于500人，故選A．【點睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：＞＜≤≥≠．【變式1-3】（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）在數(shù)學的發(fā)展史中，符號占有很重要的地位，它不但書寫簡單，而且表達的意義很明確．在不等式中，除了我們熟悉的符號外，還有很多：比如：<表示不小于；>表示不大于，?表示遠大于；?表示遠小于等．下列選項中表達錯誤的是（

）A．2<2 B．?1>0 C．【答案】D【分析】根據(jù)對每個符號的定義對每一項進行判斷即可．【詳解】解：A．2<B．?1>C．100?1表示100遠大于1，正確，故本選項不符合題意；D．?2??99表示-2遠小于-99，錯誤，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了不等式的新定義問題，解決本題的關(guān)鍵是理解各個符號的意思．【題型2取值是否滿足不等式】【例2】（2023秋·八年級課時練習）試寫出一個不等式，使它的解集滿足下列條件：（1）x=?2是不等式的一個解；（2）?2，?1，0都是不等式的解；（3）不等式的正整數(shù)解只有1，2，3；（4）不等式的非正整數(shù)解只有?2，?1，0；（5）不等式的解中不含0．【答案】（1）x>?3（答案不唯一）

（2）x>?3（答案不唯一）

（3）x<4（答案不唯一）

（4）x>?3（答案不唯一）（5）x>1（答案不唯一）【分析】（1）只要解集中含有-2這個解的不等式均可以；（2）只要解集中含有-2，-1，0這三個整數(shù)解的不等式均可以；（3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3這三個正整數(shù)解的不等式均可以；（4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0這三個非正整數(shù)解的不等式均可以；（5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以．【詳解】（1）滿足題意的不等式為x>?3（答案不唯一）；（2）滿足題意的不等式為x>?3（答案不唯一）；（3）滿足題意的不等式為x<4（答案不唯一）；（4）滿足題意的不等式為x>?3（答案不唯一）；（5）滿足題意的不等式為x>1（答案不唯一）；【點睛】本題根據(jù)不等式的解集要求寫出一個不等式，考查了不等式的概念．【變式2-1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）x=3是下列不等式（

）的一個解．A．x+1<0 B．x+1<4 C．x+1<3 D．x+1<5【答案】D【分析】直接將x=3代入各個不等式，不等式成立的即為所選.【詳解】解：A、3+1=4>0，故A不成立；B、3+1=4，故B不成立；C、3+1=4>3，故C不成立；D、3+1=4<5，故D成立；故選：D.【點睛】本題主要考查不等式的的解（集），使不等式成立的的未知數(shù)的值，就是不等式的解，由所有不等式的解組成的集合就是不等式的解集.【變式2-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）下列各數(shù)中，能使不等式12A．6 B．5 C．4 D．2【答案】D【分析】將A、B、C、D選項逐個代入12【詳解】解：當x=6時，12當x=5時，12當x=4時，12當x=2時，12由此可知，x=2可以使不等式12故選D．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解的概念，代入求值是關(guān)鍵.【變式2-3】（2023春·廣西南寧·八年級三美學校?？计谀┫铝姓f法中，正確的是（

）A．x=2是不等式3x>5的一個解 B．x=2是不等式3x>5的唯一解C．x=2是不等式3x>5的解集 D．x=2不是不等式3x>5的解【答案】A【詳解】A.x=2是不等式3x＞5的一個解，正確；B.不等式3x＞5的解有無數(shù)個，則B錯誤；C.x=2是不等式3x＞5的解，則C錯誤；D.x=2是不等式3x＞5的解，則D錯誤，故選A.【題型3在數(shù)軸上表示不等式】【例3】（2023秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在數(shù)軸上表示的是下列哪個不等式(

)A．x＞－2 B．x＜－2 C．x≥－2 D．x≤－2【答案】C【詳解】根據(jù)數(shù)軸上不等式解集的表示方法得出此不等式組的解集，再對各選項進行逐一判斷即可得到x≥-2．故選C.本題考查的是在數(shù)軸上表示一元一次不等式組的解集，根據(jù)題意得出數(shù)軸上不等式組的解集是解答此題的關(guān)鍵，注意實點和虛點的區(qū)別．【變式3-1】（2023春?永豐縣期中）不等式x≥a的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則a＝2．【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的解集確定出a的值即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上的解集得：a＝2，故答案為：2【點睛】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．【變式3-2】（2023春·全國·八年級專題練習）把下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－32【詳解】試題分析：將上述不等式的解集規(guī)范的表示在數(shù)軸上即可.試題解析：（1）將x≥?3表示在數(shù)軸上為：（2）將x>?1表示在數(shù)軸上為：（3）將x≤3表示在數(shù)軸上為：（4）將x<?3點睛：將不等式的解集表示在數(shù)軸上時，需注意兩點：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“x>a或（x<a）時”，數(shù)軸上表示數(shù)“a”的點用“空心圓圈”，“x≥a（或x≤a）時”，數(shù)軸上表示數(shù)“a”的點用“實心圓點”.【變式3-3】（2023春·全國·八年級專題練習）在數(shù)軸上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，41【答案】﹣2，0，41【分析】根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則將不等式的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，41【詳解】解：根據(jù)圖可知：x的下列值：﹣2，0，41【點睛】不等式的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．【題型4根據(jù)實際問題列出不等式】【例4】（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）用不等式表示：x的2倍與y的34的和不大于5，正確的是（

A．2x+34y>5 B．2x+34y≥5【答案】D【分析】根據(jù)題意列出不等式，不大于5即≤5．【詳解】解：x的2倍與y的34的和不大于5，即2x+故選：D．【點睛】本題考查了列不等式，熟練掌握不等式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·河南周口·八年級?？计谥校?jù)氣象臺報道．2023年2月14日鄭州市的最高氣溫為14°C，最低氣溫為6°C，則當天氣溫t°【答案】6≤t≤14/14≥t≥6【分析】根據(jù)最高氣溫和最低氣溫，可得答案．【詳解】解：由鄭州市的最高氣溫為14°C，最低氣溫為6°可得當天氣溫t°C的變化范圍是故答案為：6≤t≤14．【點睛】本題考查了不等式的定義，熟練根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）某校女子100m跑的記錄是14秒．在今年的校春季運動會上，很遺憾，沒有人能打破該項記錄，若參加運動會的女生小麗的100m成績?yōu)閠秒，則用不等式表示為．【答案】t≥14【分析】根據(jù)沒有人能打破該項記錄列不等式即可．【詳解】解：∵沒有人能打破該項記錄，∴t≥14．故答案為：t≥14．【點睛】本題考查了列不等式表示數(shù)量關(guān)系，與列代數(shù)式問題相類似，首先要注意其中的運算及運算順序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的區(qū)別．【變式4-3】（2023春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期中）將“a與b的和是負數(shù)”用不等式表示為．【答案】a+b<0【分析】a與b的和為負數(shù)即是小于0的數(shù)，據(jù)此列不等式．【詳解】解：由題意得，a+b<0．故答案為：a+b<0．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學符號表示的不等式．【知識點2不等式的基本性質(zhì)】性質(zhì)1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個性質(zhì)叫做不等式的傳遞性.性質(zhì)2：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。若a＞b，則a±c＞b±c.性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜【題型5根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷正誤】【例5】（2023秋·湖北鄂州·八年級?？计谀┫铝姓f法中，錯誤的個數(shù)為()①若a>b，則a+c>b+c；②若a>b，則ac>bc；③若a>b，則ac④若a>b，c>d，則ac>bd；⑤若a<b<0<c，則aA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【詳解】分析：運用不等式的基本性質(zhì)判定即可．詳解：①若a＞b，則a+c＞b+c；正確；

②若a＞b，則ac＞bc；c的符號不確定，故錯誤，③若a＞b，則ac2＞bc2；當c=0時不成立．故錯誤．

④若a＞b，c＞d，則ac＞bd；c，d符號不確定，故錯誤，⑤若a＜b＜0＜c，則a2c＜b2c．應(yīng)為a2c＞b2c，故錯誤．

所以錯誤的有4個．

故選C．點睛：本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記不等式的性質(zhì)．【變式5-1】（2023·四川南充·八年級?？计谀┤鬽＞n，則下列不等式不成立的是（

）A．m-2＞n-2 B．a(chǎn)-m＞a-n C．ma2+1>n【答案】B【詳解】分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)進行分析判斷即可.A選項中，因為m＞n，所以m-2＞n-2；故A中不等式成立；B選項中，因為m＞n，所以-m<-n，所以a-m<a-n；故B中不等式不成立；C選項中，因為m＞n，a2+1>0，所以maD選項中，因為m＞n，所以?m故選B.點睛：熟記“不等式的性質(zhì)”，尤其是“當不等式兩邊同時乘以（或除以）一個負數(shù)時，不等號方向要發(fā)生改變”是解答這類題的關(guān)鍵.【變式5-2】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）設(shè)x，y，z是實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若x>y，則xz>yz B．若x<y，則z?x<z?yC．若x<y，則xz<yz 【答案】D【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐選項判斷即可．【詳解】解：A，x>y時，不知z的正負，無法判斷，因此A選項不符合題意．B，x<y時，根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，兩邊同時乘以?1，可得?x>?y，再根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，兩邊同時加z，可得：z?x>z?y，因此B選項不符合題意．C，x<y時，不知z的正負，無法判斷，因此C選項不符合題意．D，x>y時，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，兩邊同時減z，可得：x?z>y?z，因此D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，尤其注意不等式兩邊同時乘以或除以一個不為0的數(shù)時，不等號的變化．【變式5-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如果4x?1<4y?1，那么下列不等式正確的是（

）A．5x<5y B．?2x<?2y C．3x?1>3y?1 D．2x+1>2y+1【答案】A【分析】由已知條件得出x<y，再由不等式的性質(zhì)逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：∵4x?1<4y?1，∴4x<4y，∴x<y，A.5x<5y正確，故該選項符合題意；B.?2x>?2y，此選項不正確，故該選項不符合題意；C.3x?1<3y?1，此選項不正確，故該選項不符合題意；D.2x+1<2y+1，此選項不正確，故該選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，①不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；②不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6根據(jù)不等式的性質(zhì)比較大小】【例6】（2023春·上海普陀·六年級?？计谥校┍容^大?。喝绻鸻c>bc，c<0時，那么ab；如果ab>1，b<0，那么【答案】<<【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進行求解即可：不等式兩邊同時乘以或除以一個小于0的數(shù)或式子，不等式要改變方向．【詳解】解：∵ac>bc，∴a<b；∵ab>1，∴a<b，故答案為：<；<．【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟知不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）比較5a?3b?3a2【答案】5a?3b?3【分析】兩個整式相減，用它們的差和零作比較即可做出判斷．【詳解】解：5a?3b?3理由如下：5a?3b=5a?3b?3=?3a∵a∴?3a∴?3a?3a∴?3a∴5a?3b∴5a?3b【點睛】本題考查了整式加減應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，準確算出兩個整式的差和零作比較是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）比較7a與4a的大小關(guān)系是（

）A．7a<4a B．7a=4a C．7a>4a D．不能確定【答案】D【分析】由7＞4，分a＞0，a=0，a＜0三種情況討論，得出答案即可．【詳解】由7＞4，當a＞0時，7a＞當a=0時，7a=4a；當a＜0時，7a＜故選：D．【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，注意：不等式兩邊同時乘以負數(shù)時，不等號方向改變．【變式6-3】（2023秋·廣東惠州·八年級?？茧A段練習）若a?b>0，則a>b；若a?b=0，則a=b；若a?b<0，則a<b，這是利用“作差法”比較兩個數(shù)或兩個代數(shù)式值的大小．(1)試比較代數(shù)式5m2?4m+2(2)已知代數(shù)式3a+2b與2a+3b相等，試用等式的性質(zhì)比較a，(3)已知12m?1【答案】(1)5(2)a=b(3)m>n【分析】（1）把兩個多項式作差比較大小即可；（2）等式兩邊同時減去2a+3b即可得到a?b=0，由此即可得到結(jié)論；（3）等式的性質(zhì)兩邊同時乘以6可得5m?n=6，【詳解】（1）解：5∵不論m為何值，都有m∴5（2）解：∵3a+2b=2a+3b，∴等式兩邊同時減去2a+3b，得3a+2b?2a+3b整理得a?b=0，∴a=b．（3）解：∵12根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時乘以6可得3m?2n?6=3n?2m整理得5m?5n=6，即5m?n∴m?n>0，∴m>n．【點睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型7根據(jù)不等式的解集求字母取值范圍】【例7】（2023·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）不等式（2a-1）x＜2（2a-1）的解集是x＞2，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＜12 C．a(chǎn)＜?12【答案】B【詳解】【分析】仔細觀察，（2a-1）x＜2（2a-1），要想求得解集，需把（2a-1）這個整體看作x的系數(shù)，然后運用不等式的性質(zhì)求出，給出的解集是x＞2，不等號的方向已改變，說明運用的是不等式的性質(zhì)3，運用性質(zhì)3的前提是兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，從而求出a的范圍．【詳解】∵不等式（2a-1）x＜2（2a-1）的解集是x＞2，∴不等式的方向改變了，∴2a-1＜0，∴a＜12故選B．【點睛】本題考查了利用不等式的性質(zhì)解含有字母系數(shù)的不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)原不等式和給出的解集的情況確定字母系數(shù)的取值范圍，為此需熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，也是正確解一元一次不等式的基礎(chǔ)．【變式7-1】（2023春·福建泉州·八年級校考期末）若x<y，且a?2x>a?2y，則a【答案】a<2【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同時乘一個負數(shù)不等號改變，求出a的取值范圍．【詳解】解：∵x<y，且a?2x>∴a?2<0，∴a<2，故答案為：a<2．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)．【變式7-2】（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，則m的取值范圍是（

）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，兩邊同除以一個負數(shù)，不等號方向發(fā)生改變，即可求得結(jié)果．【詳解】解：將不等式mx?x>1?m化為x(m?1)>1?m，∵不等號兩邊同時除以m?1得到x<?1，∴m?1<0，解得m<1，故選：B．【點睛】本題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）若x>y，且(a+3)x<(a+3)y，求a的取值范圍．【答案】a<?3【分析】根據(jù)題意，在不等式x>y的兩邊同時乘以(a+3)后不等號改變方向，根據(jù)不等式的性質(zhì)3，得出a+3<0，解此不等式即可求解．【詳解】解：∵x>y，且(a+3)x<(a+3)y，∴a+3<0，則a<?3．故答案為：a<?3．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．【題型8根據(jù)不等式的性質(zhì)求式子取值范圍】【例8】（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）已知x?y=5，且x>3,y<0，則x+y的取值范圍是（

）A．1<x+y<5 B．3<x+y<5 C．1<x+y<2 D．2<x+y<5【答案】A【分析】直接利用不等式的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵x?y=5，∴y=x?5，∵x>3,y<0，∴3<x<5,?2<y<0，∴1<x+y<5，故選：A．【點睛】此題考查了不等式的性質(zhì)，正確理解題意掌握計算能力是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·河南漯河·八年級統(tǒng)考期末）已知?1<x≤0，則1?1A．12<1?1C．1≤1?12x≤【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，由x通過乘以?1，再乘以12，再加上1【詳解】∵?1<x≤0同時乘以?1，0≤?x<1同時乘以12，同時加上1，1≤1?1故選D．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·上海楊浦·六年級?？计谥校┮阎?a+3b+c=0,a>b>c，求2?3c【答案】1【分析】由2a+3b+c=0，可得3b=?2a?c，再根據(jù)a>b>c，可得3a>?2a?c>3c，再根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵2a+3b+c=0，∴3b=?2a?c，又∵a>b>c，∴3a>?2a?c>3c，由3a>?2a?c，得5a>?c，∴5>?c∴ca∴?3c由?2a?c>3c，得?2a>4c，∴?2>4c∴ca∴?3c綜上所述，?3∴2?3∴12【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)題意得出3a>?2a?c>3c是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）若6a=2b?6=3c，且b≥0，c≤2，設(shè)t=2a+b?c，則t的取值范圍為【答案】0≤t≤6【分析】由條件可得2b?6≤6，先求解b的取值范圍，再把t=2a+b?c化為t=1【詳解】解：∵6a=2b?6=3c，c≤2，∴2b?6≤6，解得：b≤6而b≥0，∴0≤b≤6，∵6a=2b?6=3c，∴a=1∴t=2a+b?c=2==b∵0≤b≤6，∴t的取值范圍是：0≤t≤6，故答案為：0≤t≤6．【點睛】本題考查的是不等式的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用，求解0≤b≤6及t=b是解本題的關(guān)鍵．【題型9根據(jù)不等式的性質(zhì)求最值】【例9】（2023春·安徽六安·八年級?？茧A段練習）若a+b=?2，且a≥2b，則（

）A．a(chǎn)有最小值43 B．b有最小值為?23 C．a(chǎn)b有最大值2 【答案】C【分析】由a+b=?2，a≥2b得a≥2(?a?2)，于是a≥?43，故A錯誤；a+b=?2，得a=?b?2，得?b?2≥2b，于是b≤?23，故B錯誤；由b≤?23，【詳解】解：A.a有最小值43由a+b=?2，得b=?a?2，∴a≥2(?a?2)，∴a≥?4B.b有最小值為?2由a+b=?2，得a=?b?2，∴?b?2≥2b，∴b≤?2C.ab有最大值2，∵a≥2b，∴abD.ab有最小值?ab故選：C．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，等式變形；掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·甘肅天水·校聯(lián)考一模）若x+y=3，x≥0，y≥0，則2x+3y的最小值為（

）A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】把問題轉(zhuǎn)化為2x+3y=6?2y+3y=6+y，利用不等式的性質(zhì)解決最值問題．【詳解】解：∵x+y=3，∴x=3?y，∴2x+3y=6?2y+3y=6+y，∵x≥0，∴3?y≥0，即y≤3，∵y≥0∴0≤y≤3，∴6≤y+6≤9，即6≤2x+3y≤9，∴y=0時，2x+3y的值最小，最小值為6．故選：C．【點睛】本題考查代入消元法、不等式的性質(zhì)，靈活運用所學知識解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023秋·浙江·八年級專題練習）若a，b，c，d為整數(shù)，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜100，則a可能取的最大值是（

）A．2367 B．2375 C．2391 D．2399【答案】A【分析】需要根據(jù)題意確定d的取值，然后依次可得出c、b、a的最大值，繼而可得出答案．【詳解】解：∵d＜100，d為整數(shù)，∴d的最大值為99，∵c<4d=4×99=396∴c的最大整數(shù)為395，∵b<3c=3×395=1185∴b的最大整數(shù)為1184，∵a<2b=2×1184=2368∴a的最大整數(shù)為2367．故選：A【點睛】本題考查了整數(shù)問題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定d的值．【變式9-3】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)aa≥0，b滿足a?23=1?b2，若m=a+3bA．9 B．7 C．5 D．7【答案】B【分析】先根據(jù)題意用a表示出b，再代入m=a+3b，由a≥0即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵a?23∴2a?2∴3b=7?2a，∴m=a+3b=a+7?2a=7?a，∵a≥0，∴當a=0時，m有最大值，最大值為7．故選：B．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是把b當做一個已知數(shù)求解，用a表示b．【題型10不等關(guān)系的簡單應(yīng)用】【例10】（2023春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）P???,???A．R<Q<P<S B．Q<R<P<S C．Q<R<S<P D．Q<P<R<S【答案】B【分析】由圖一、二得，S＞P＞R，則S-P＞0，由圖三得，P+R＞Q+S，則S-P＜R-Q，所以，R-Q＞0，即R＞Q；即可解答．【詳解】由圖一、二得，S＞P＞R，∴S-P＞0，由圖三得，P+R＞Q+S，∴S-P＜R-Q，∴R-Q＞0，∴R＞Q；綜上，Q＜R＜P＜S．故選B．【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，①不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；②不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．【變式10-1】（2023春·八年級課時練習）5名學生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為b米．又前兩名的平均身高為c米，后三名的平均身高為d米，則（

）A．a(chǎn)+b2>c+d2 B．a(chǎn)+b2【答案】B【分析】根據(jù)題意可得c>a>d>b，利用不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為b米．又前兩名的平均身高為c米，后三名的平均身高為d米，則c>a>d>b，c?a>0>b?d，得c+d>a+b，得：c+d2>a+b即a+b故選：B．【點睛】此題考查了一元一次不等式的應(yīng)用及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出相關(guān)不等式．【變式10-2】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┰跀?shù)的學習過程中，我們通過對其中一些具有某種特性的數(shù)進行研究探索，發(fā)現(xiàn)了數(shù)字的美和數(shù)學的靈動性，現(xiàn)在我們繼續(xù)探索一類數(shù)．定義：一個各位數(shù)字均不為0的四位自然數(shù)t，若t的百位、十位數(shù)字之和的2倍等于千位與個位數(shù)字之和，那我們稱這個四位數(shù)t為“優(yōu)數(shù)”．例如：當t＝6414時，∵2×（4+1）﹣（6+4）＝0，∴6414是“優(yōu)數(shù)”；當t＝4257時，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠0，∴4257不是“優(yōu)數(shù)”．（1）判斷1318和7401是否為“優(yōu)數(shù)”，并說明理由；（2）已知：t＝4abc（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c均為正整數(shù)）是“優(yōu)數(shù)”，且滿足4a與bc的差能被7整除，且F（t）＝|4+a﹣b﹣c|，求F（t）的最大值．【答案】（1）1318不是“優(yōu)數(shù)”，7401是“優(yōu)數(shù)”，理由見解析；（2）2．【分析】（1）利用“優(yōu)數(shù)”的定義解答即可；（2）利用“優(yōu)數(shù)”的定義可得：c=2a+2b?4,結(jié)合數(shù)位上數(shù)字的特征可得：2b﹣a+2＝0或7或14，再結(jié)合二元一次方程的正整數(shù)解可得答案．【詳解】解：（1）1318不是“優(yōu)數(shù)”．理由：∵2×（1+3）≠1+8，∴1318不是“優(yōu)數(shù)”；7401是“優(yōu)數(shù)”．理由：∵2×（4+0）＝7+1，∴7401是“優(yōu)數(shù)”．（2）∵t＝4abc是“優(yōu)數(shù)”，∴2（a+b）＝4+c．∴c＝2a+2b﹣4．∵4a?∴4a?＝44﹣a﹣12b＝6×7﹣7×2b+2b﹣a+2．∵4a與bc的差能被7整除，∴2b﹣a+2能被7整除．∵1≤a≤9，1≤b≤9，且a，b，c均為正整數(shù)，∴﹣5≤2b﹣a+2≤19．∴2b﹣a+2＝0或7或14．∴2b﹣a＝﹣2或5或12．∵2（a+b）＝4+c，1≤c≤9．∴5≤2（a+b）≤13．∴2.5≤a+b≤6.5．①當2b﹣a＝﹣2時，a＝4，b＝1．則c=2a+2b?4=6,∴t＝4416．F（t）＝|4+a﹣b﹣c|＝1；②當2b﹣a＝5時，a＝1，b＝3．則c=2a+2b?4=4,∴t＝4134．∴F（t）＝|4+a﹣b﹣c|＝2；③當2b﹣a＝12時，∵a≥1，∴2b≥13．∴b≥6.5．這與a+b≤6.5矛盾，此種情況不存在．綜上，F(xiàn)（t）的最大值為：2．【點睛】本題考查的是新定義情境下的二元一次方程的正整數(shù)解問題，不等式的性質(zhì)的理解，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023春·重慶渝北·八年級統(tǒng)考期末）中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年之際，某校團委組織義務(wù)植樹活動，讓七、八、九三個年級的學生到某苗圃為本年級的種植點選購樹苗，購買樹苗的錢由學校統(tǒng)一支付．該苗圃共有a種樹苗可供選擇，每種樹苗分別有大、中、小三類樹苗，且每種樹苗大、中、小三類的單價分別為80元/棵、10m元/棵、10n元/棵，其中3≤n<m<8，m，n均為整數(shù)；三個年級每種樹苗都選擇了一棵，但對于同一種樹苗，三個年級選擇的樹苗大小又各不相同．結(jié)賬時，八年級花費了730元，八年級和八年級共花費了1220元，則八年級購買小樹苗共花費元．【答案】90【分析】由題意得：三個年級的學生各不相同，說明每一類樹苗的各類都被三個年級的學生選購，所以730+1220=1950應(yīng)該是每一類樹苗的總價的整數(shù)倍，可得(8+m+n)a=195,結(jié)合15≤m+n+8≤21,195=5×39=15×13=3×65,可得方程的正整數(shù)解，設(shè)八年級選了大的樹苗x棵，中樹苗【詳解】解：由題意得：三個年級的學生各不相同，說明每一類樹苗的各類都被三個年級的學生選購，所以730+∴(80+10m+10n)a=1950,即(8+∵3≤n<m<8，m，n均為整數(shù)；∴15≤m+n+8≤21,而195=5×39=15×13=3×65,∴{∴n=3,m=4,a=13,設(shè)八年級選了大的樹苗x棵，中樹苗y棵，則80x+40y+30(13?x?y)=730,整理得：5x+y=34,∵x,y,13?x?y都為正整數(shù)，∴{x=6則八年級購買小樹苗共花費30(13?6?4)=90（元）．答：八年級購買小樹苗共花費90元．故答案為：90【點睛】本題考查的是二元一次方程組的整數(shù)解問題，不等式的性質(zhì)，理解題意，確定相等關(guān)系列方程，再利用方程的正整數(shù)解的條件求解方程的解是解本題的關(guān)鍵．【題型11利用不等式性質(zhì)證明不等式】【例11】（2023春·全國·八年