蚌埠學(xué)院學(xué)一食堂排隊(duì)分析31

蚌埠學(xué)院學(xué)一食堂排隊(duì)分析江琪（50905012007）汪亮（50905012008）吳影麗（50905012009）蚌埠學(xué)院數(shù)理系09級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（2）班引言伴隨著“叮鈴鈴”的放學(xué)鈴聲，同學(xué)們都從四面八方成群結(jié)隊(duì)的涌向食堂，頓時間，本來空蕩蕩的食堂一下變得水泄不通，一群群饑腸轆轆的同學(xué)焦急的在窗口前排著隊(duì)伍。漫長的隊(duì)伍好像一條條長龍陣似的，一點(diǎn)點(diǎn)的吞噬著同學(xué)們的耐心，所以我們在校園里能經(jīng)常聽到同學(xué)們抱怨聲:“隊(duì)伍怎么這么長??！”，“窗口怎么這么少！”，“排隊(duì)時間怎么這么長！“……眾所周知，增加食堂窗口無疑給同學(xué)減少了排隊(duì)時間，但就對食堂而言，提高同學(xué)對該食堂的滿意度，從而獲得更多的同學(xué)到該食堂就餐，但1運(yùn)營成本就相對的增高了，因此如何在這兩者之間進(jìn)行權(quán)衡，找到最佳的窗口數(shù)量，對學(xué)生和食堂雙方來說都是至關(guān)重要的。對此，我們就我們蚌埠學(xué)院學(xué)一食堂中午的擁擠狀況進(jìn)行了調(diào)查，建立了數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用排隊(duì)論的觀點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，最終找到一個較為合理的解決方案。摘要開始，我們對所調(diào)查的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生流符合泊松分布，服務(wù)時間符合指數(shù)分布，由此我們的模型就變成了排隊(duì)論中典型的M\M\n模型，根據(jù)M\M\n模型中的各效率指標(biāo)的公式，我們可得到學(xué)一食堂擁擠情況的各方面數(shù)據(jù)。根據(jù)模型求解得到的數(shù)據(jù)，我們對模型進(jìn)行了更精確的量化分析。通過應(yīng)用排隊(duì)論，為食堂窗口服務(wù)工作構(gòu)建相應(yīng)的定量模型，為節(jié)約學(xué)生排隊(duì)就餐時間，提高食堂服務(wù)質(zhì)量、效率，以及平衡學(xué)生排隊(duì)時間與食堂收益之間的關(guān)系，優(yōu)化食堂資源配置提供一種較有效的管理決策手段。針對窗口數(shù)量與學(xué)生平均排隊(duì)時間之間的關(guān)系，我們從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度進(jìn)行了分析，比較增加窗口后成本的增加量與減少排隊(duì)等待時間所帶來的收益之間的大小關(guān)系，最后得出學(xué)一食堂設(shè)置6個窗口最為合理。進(jìn)一步，我們結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的競爭原理，分析了現(xiàn)在設(shè)置5窗口的原因。關(guān)鍵字排隊(duì)論M\M\n模型靈敏度等待損失學(xué)校食堂排隊(duì)時間排隊(duì)等待時間窗口服務(wù)學(xué)生服務(wù)時間模型的建立與分析由于周末學(xué)生不用上課，所以學(xué)生去食堂的時間較為分散，很少發(fā)生排長隊(duì)的現(xiàn)象，我們在此就不做分析了。我們僅就周一至周五的食堂擁擠情況進(jìn)行分析。經(jīng)我們觀察發(fā)現(xiàn)，一般打到飯菜的同學(xué)都能找到座位吃飯，所以我們可以認(rèn)為食堂的座位數(shù)量是足夠的，無需添加新的桌椅。所以，解決食堂擁擠狀況，主要是解決排長隊(duì)的問題。我們將就此問題建立模型，進(jìn)行分析。調(diào)查數(shù)據(jù)我們調(diào)查了從2011年4月25號到4月29號（周一至周五）11：35至11:55高峰期學(xué)一食堂的學(xué)生流分布情況：共統(tǒng)計了2164人次的數(shù)據(jù)，見下表：表一每20秒到達(dá)人數(shù)1234567頻數(shù)12627842165738720887由概率論知識我們得知，如果分布滿足，則該分布為泊松分布。由上表可得，=4.04。經(jīng)過檢驗(yàn)可知此分布近似于泊松分布。雖然我們只調(diào)查了學(xué)一食堂一周的數(shù)量，但考慮到學(xué)生到食堂就餐具有較大的穩(wěn)定性，所以認(rèn)為調(diào)查的數(shù)據(jù)還是較為可靠的。另外在非高峰時段很少發(fā)生排隊(duì)現(xiàn)象，所以在此我們就不做研究。模型假設(shè)假設(shè)每位同學(xué)來到食堂都是自覺排隊(duì)，沒有插隊(duì)現(xiàn)象。每位同學(xué)只打一份飯菜，沒有幫別人代打情況。由于學(xué)校學(xué)生多，而食堂少，在中午時段，學(xué)生又大都集中在11:35至11:55這一時間段趕去食堂吃飯，所以我們可以認(rèn)為在該時間段中學(xué)生源是無限的。每個窗口菜色都一樣，飯菜的供給量充足，學(xué)生到任何一個窗口都是隨機(jī)的。食堂實(shí)行先來先服務(wù)的原則，我們假設(shè)排隊(duì)方式是單一隊(duì)列等待制。觀察發(fā)現(xiàn)每個窗口服務(wù)人員工作效率是隨機(jī)的，認(rèn)為其滿足指數(shù)分布，平均每個學(xué)生的服務(wù)是60秒，而且服務(wù)員之間并無差異。以20秒為一個時間單位。模型建立 基于以上的假設(shè)，我們的模型符合排隊(duì)論中的多通道等待模型（M\M\n）。該模型特點(diǎn)是：服務(wù)系統(tǒng)中有n個服務(wù)員，學(xué)生按泊松流來到服務(wù)系統(tǒng)，到達(dá)強(qiáng)度為λ；服務(wù)員的能力都是μ，服務(wù)時間服從指數(shù)分布。當(dāng)學(xué)生到達(dá)時，如果所有服務(wù)員都忙著，學(xué)生便參加排隊(duì)，等待服務(wù)，一直等到有服務(wù)員為他服務(wù)為止。這個系統(tǒng)的效率指標(biāo)有：顧客到達(dá)強(qiáng)度λ每個顧客的平均服務(wù)時間服務(wù)員能力μ=系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度，即平均每單位時間中系統(tǒng)可以為顧客服務(wù)的時間比例ρ=空閑概率=系統(tǒng)中排隊(duì)學(xué)生的平均數(shù)：=學(xué)生平均排隊(duì)時間：=學(xué)生平均逗留時間：系統(tǒng)中學(xué)生的平均數(shù)：模型求解由我們調(diào)查的數(shù)據(jù)，經(jīng)過計算得到λ=4.04=1min n=5代入以上各式得到:服務(wù)員能力μ==1系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度ρ==4.04空閑概率==0.014系統(tǒng)中排隊(duì)學(xué)生的平均數(shù)：==3學(xué)生平均排隊(duì)時間：==0.74學(xué)生平均逗留時間：=1.74系統(tǒng)中學(xué)生的平均數(shù)：=8由此可見，當(dāng)我們中午在11:35~11:55這個時間段去學(xué)一食堂吃飯時，一進(jìn)門就會發(fā)現(xiàn)里面人滿為患，幾乎不可能找到空閑的窗口。而且，已經(jīng)8個同學(xué)在排隊(duì)買飯。3人正在排隊(duì)等待，平均一個窗口5人。當(dāng)我們開始排隊(duì)時，要過60秒才能輪到我們，要過80秒我們才能吃上可口的飯菜。為了檢驗(yàn)我們的數(shù)據(jù)與事實(shí)相符，我們特地親身體驗(yàn)了一番，下表就是我們的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：表二時間4月25日11:354月26日11:404月27日11:354月28日11:50日排隊(duì)等待人數(shù)3435排隊(duì)等待時間65706075忽略那些隨機(jī)因素，我們得到的那些結(jié)論和實(shí)際數(shù)據(jù)還是較為符合的，可見我們的模型建立的還是很成功的。模型分析對于學(xué)生來說，中午的時間還是很有限的，能盡快吃上飯對我們來說還是很重要的。同時，學(xué)生在食堂排隊(duì)的平均逗留時間Wo很大程度上可以決定學(xué)生對食堂的選擇，所以食堂工作人員也希望盡可能滿足學(xué)生的需求。我們認(rèn)為平均服務(wù)時間t不可改變。因此能對平均排隊(duì)時間構(gòu)成影響的就只有窗口數(shù)量n了，下面我們將就n的取值對W的影響進(jìn)行分析：由matlab我們可以得到他們兩者之間的圖形：窗口數(shù)的優(yōu)化設(shè)計從以上的靈敏度分析可知，當(dāng)窗口數(shù)超過6時，即使增加再多的窗口，其平均排隊(duì)時間的拜年話絕對值大小也只在5秒左右，而這么少的時間間隔我們認(rèn)為對學(xué)生是不會造成什么影響的。但是增加窗口會給食堂帶來巨大的成本壓力，他們當(dāng)然也不可能增加。至于小于5個窗口時，平均排隊(duì)時間會有所增加，這就會引起學(xué)生的抱怨，造成學(xué)剩的流失，當(dāng)然也是不合理的。因此，我們可以看出，最佳的窗口設(shè)置是6個或7個。對于學(xué)生方面來說，當(dāng)然是排隊(duì)等待時間越短越好，即7個窗口比6個好。對于食堂方面來說，窗口數(shù)的增加一方面會導(dǎo)致成本的增加，另一方面會縮短排隊(duì)時間，即意味著它能為更多學(xué)生服務(wù)，所以它是否會增加窗口數(shù)就取決于成本和收益的大小關(guān)系。一般來說，每增加一個窗口，需要多配備三名服務(wù)人員以及一些配套的設(shè)施。所以增加窗口數(shù)所帶來的成本等于新增服務(wù)人員的工資加上配套設(shè)施的維修與清洗費(fèi)。新增窗口得到的收益是很難估量的。在此我們引入等待損失的概念，即由于排隊(duì)等待食堂所減少的收益。如食堂每分鐘可得收益a元，但是由于隊(duì)列過長，顧客不得不排隊(duì)等待服務(wù)，這意味著食堂無法及時為這些顧客服務(wù)，每等待1分鐘，食堂就損失a元。所以我們得到等待損失等于食堂單位時間收益乘以平均等待時間乘以顧客數(shù)。我們調(diào)查得知蚌埠市餐飲行業(yè)服務(wù)人員的每月平均工資為700元，即每周平均175元。至于配套設(shè)施的維修與清洗，我們可大致認(rèn)為其每周不超過300元。由此可知每增加一個窗口，食堂的成本就得增加825元。至于食堂從每個學(xué)生身上可獲得多少利潤，因?yàn)閷W(xué)生要的菜不同，而且菜的利潤也不同，所以是很難確定的，故我們由一般規(guī)律假定其每十秒鐘可得0.5元利潤。所以，學(xué)生因等待而使食堂發(fā)生的損失，Q=0.3×3059W，當(dāng)窗口數(shù)從6變?yōu)?時，食堂可少損失ΔQ=0.1×3059×ΔW=0.5×3059×(2.7-0.523)=3329.72元。由此可知最佳的窗口數(shù)為6。然而事實(shí)是學(xué)一食堂的窗口數(shù)是5，在這么長的實(shí)踐時間里，難道是食堂人員沒有發(fā)覺當(dāng)窗口數(shù)增加到6時，其利潤會更多嗎？還是有其它原因呢？其實(shí)從理論上來講，單從一個食堂來講，6個窗口是最合適的。但是事實(shí)上由于整個學(xué)校的學(xué)生人數(shù)是一定的，故我們的假設(shè)中的第一條，學(xué)生源是無限的是不太合理的。當(dāng)學(xué)一食堂增加窗口時，必然會奪走其它食堂的學(xué)生，因此其它食堂也一定會同樣增加窗口，使學(xué)生在各食堂間進(jìn)行從新分配，最后達(dá)到新的平衡。可能到頭來，雖說學(xué)一食堂減少了平均排隊(duì)等待時間，但學(xué)生并沒有增加多少，利潤也沒多大變化，這是得不償失的。所以學(xué)校食堂之間的競爭有些類似于經(jīng)濟(jì)學(xué)中寡頭的競爭，他們?yōu)榱司鹑∽畲蟮睦麧?，彼此之間達(dá)成了某種默契，把實(shí)際價格定得比理論價格要高。反映在我們食堂的窗口數(shù)設(shè)置上，就是學(xué)一食堂選擇了5個窗口，而不是6個窗口。我們認(rèn)為學(xué)校食堂應(yīng)以為學(xué)生服務(wù)為宗旨，不應(yīng)只看重經(jīng)濟(jì)利益，所以強(qiáng)烈建議學(xué)一食堂增設(shè)一個窗口，以滿足學(xué)生的需求。體會接觸數(shù)學(xué)建模這門學(xué)科已有兩個多月了，從老師分配了作業(yè)后，我們隊(duì)的三人就開始分頭行動，一人負(fù)責(zé)去圖書館查閱資料，一人在網(wǎng)上搜索相關(guān)信息，一個人建立模型，通過三人的努力，我們終于建立好了模型并編程求解，經(jīng)過艱苦的奮斗，終于完成了論文的寫作。從選題到完成，這篇論文我們足足準(zhǔn)備了近三個多星期。一個學(xué)期的數(shù)學(xué)模型課，最后的成果都集中在了這篇論文中，可見其分量之重，我們自然不敢懈怠?？墒钦龖?yīng)了老師說的那句話，在我們的周圍有著很多的數(shù)學(xué)，問題在于我們怎么去發(fā)現(xiàn)它，解決它。經(jīng)過好幾天的考慮和比較，我們選擇了這個和我們每天的生活都密切相關(guān)的題目。題目是有了，可是要調(diào)查的數(shù)據(jù)卻極為龐大，我們抱著不撞南墻不回頭的精神，硬是耐著性子堅持了一個星期的細(xì)致調(diào)查。我們相信，道路是曲折的，前途是光明的。盡管中間不時傳來其他同學(xué)已經(jīng)做完的消息，可是當(dāng)我們看著自己辛苦調(diào)查來的真實(shí)數(shù)據(jù)時，我們感到極其滿足。由于我們的論文用到了排隊(duì)論的知識，所以我們特意去圖書館借了本陸鳳山先生的《排隊(duì)論及其應(yīng)用》。我們在用新方法時，不僅要會用，還要知道為什么。所以，我們花了兩天來研究排隊(duì)論中各概念的含義和計算公式。接下來就是模型的建立與分析了，為此我們進(jìn)行了明確的分工。模型的組建和求解過程是由江琪同學(xué)完成的，模型的分析是由吳影麗同學(xué)完成的。至于模型的優(yōu)化設(shè)計，是我們在共同的討論下完成的。在處理處理這一問題時，汪亮同學(xué)創(chuàng)造性地提出了等待損失的概念，使我們的模型能從經(jīng)濟(jì)學(xué)的