高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)綜合測試卷（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)綜合測試卷

試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2021春?撫州期末）已知復(fù)數(shù)z=—2+倔，2為z的共朝復(fù)數(shù).若復(fù)數(shù)

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

B.|3|=1

C.3的實(shí)部為一:

D.3的虛部為4西

【解題思路】根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答過程】解：因?yàn)閦=—2+遮1,

所以，=一2-遮i,

訴Wz-2-屈（-2-底:1,475.

所以“，=三話=口+庖，亍而）=一百+丁''

3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（-義,崎），位于第二象限，

，\a）\=償+需=1，3的實(shí)部是一］,虛部是65，所以4B,C正確，。錯誤?

11\818199

故選：D.

2.（5分）（2021秋?日照期末）已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)。，E分別是邊

AB,BC的中點(diǎn)，且法=3京，則前?無的值為（）

11

A.一言B.—C.1D.-8

1212

【解題思路】設(shè)加=之，AC=b,將2*乍為一組基底，酢與局通過這組基底表示，

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得答案.

【解答過程】解：設(shè)施=/晶=1,?.?點(diǎn)￡）,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，UDE=3EF,

1TT1112

-bD-+

:.DE=*b,EF-,F---

6263

-TT

T1_2TBcb

J.AF=+可仇=-

2T1T12111

2

+-b-b=-+--X-=

3-6a--23-62

12

故選：B.

A

3.（5分）（2021春?舒城縣期末）連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為出

n,記『"+〃，則下列說法正確的是（）

1

A.事件“f=12”的概率為一

21

B.事件“f是奇數(shù)”與互為對立事件

C.事件）=2”與“fr3”互為互斥事件

D.事件）>8且mn<32"的概率為三

4

【解題思路】計(jì)算出事件）=12”的概率可判斷4；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；

根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C計(jì)算出事件“f>8且瓶〃<32”的概率可判斷￡>；

【解答過程】解：連擲一枚均勻的骰子兩次，

所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為“，b,記/="+6,則

事件）=12”的概率為上，故A錯誤；

36

事件、是奇數(shù)”與“〃?=〃”為互斥不對立事件，故8錯誤；

事件）=2”與-W3”不是互斥事件，故C錯誤；

事件“f>8且加〃<32”共有9個(gè)基本事件，

1

故事件”f>8且相〃<32”的概率為一，故。正確；

4

故選：D.

4.（5分）（2021春?東城區(qū)期末）某校組織全體學(xué)生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”

的知識競賽，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至

100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示,

下列說法正確的是（）

頻率/組距爭

0.040-

x-------------------------------------

0.015-----------------------——

0.010----------------1—

0.005-----------1-

5060708090100攵數(shù)

A.直方圖中x的值為0.004

B.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［60,70）的學(xué)生數(shù)為10

C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績不低于80分

D.估計(jì)全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分

【解題思路】根據(jù)直方圖中學(xué)生成績落在各個(gè)區(qū)間概率和為1可求得x,可判斷A；

根據(jù)成績在區(qū)間［60,70）的學(xué)生的頻率計(jì)算學(xué)生數(shù)，可判斷B：

按照頻率分布直方圖中平均數(shù)算法求得平均數(shù)，可判斷C；

按照頻率分布直方圖中百分位數(shù)算法計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)，可判斷D.

【解答過程】解：由圖可知（0.005+0.01+0.015+0.04+x）X10=l,解得x=0.03,錯;

由圖可知根據(jù)成績在區(qū)間［60,70）的學(xué)生數(shù)為0.01X10X200=20,二8錯；

由圖可知平均數(shù)為：55X0.05+65X0.1+75X0.15+85X0.3+95X0.4=84,對；

由圖可知樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為：90+*10=95,.?./）錯.

”U.秘4,6

故選：C.

5.（5分）（2021春?威海期末）有能力互異的3人應(yīng)聘同一公司，他們按照報(bào)名順序依次

接受面試，經(jīng)理決定“不錄用第一個(gè)接受面試的人，如果第二個(gè)接受面試的人比第一個(gè)

能力強(qiáng)，就錄用第二個(gè)人，否則就錄用第三個(gè)人”，記該公司錄用到能力最強(qiáng)的人的概

率為P，錄用到能力中等的人的概率為q,則（p,q）=（）

11111111

A.（一,一）B.（一,—）C.（—,—）D.（一，一）

66262423

【解題思路】利用列舉法列出基本事件總數(shù)和該公司錄用到能力最強(qiáng)的人包含的基本事

件個(gè)數(shù)和該公司錄用到能力中等的人包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出結(jié)果.

【解答過程】解：設(shè)三人能力分別為強(qiáng)，中，弱，則三人參加面試的次序?yàn)椋?/p>

（強(qiáng)，中，弱），（強(qiáng)，弱，中），（中，強(qiáng)，弱），（中，弱，強(qiáng)），（弱，中，強(qiáng)），

（弱，強(qiáng)，中），

即基本事件總數(shù)〃=6,

按“不錄用第一個(gè)接受面試的人，如果第二個(gè)接受面試的人比第一個(gè)能力強(qiáng)，就錄用第

二個(gè)人，否則就錄用第三個(gè)人”的規(guī)定，

該公司錄用到能力最強(qiáng)的人包含的基本事件有：（中，強(qiáng)，弱），（中，弱，強(qiáng)），（弱,

強(qiáng)，中），共三種情況，

該公司錄用到能力最強(qiáng)的人的概率P=|=今

該公司錄用到能力中等的人包含的基本事件有：（強(qiáng)，弱，中），（弱，中，強(qiáng)），共

二種情況，

該公司錄用到能力中等的人的概率

oO

故選：D.

6.（5分）（2021秋?昌江區(qū)校級期末）在銳角△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的

對邊，已知y+c2=q2+bc,b=2,則△ABC的面積S的取值范圍是（）

A.[竽，2V3）B.（苧，2V2]C.（苧，2^3）D.（苧，2V2）

【解題思路】根據(jù)余弦定理求出A的值，求出c的取值范圍，從而求出"BC的面積的

取值范圍.

【解答過程】解：在△ABC中，由余弦定理知：

又46(0,n),A4BC為銳角三角形，故4=多

,.11兀V3

故SAABC=5&csinA=弓x2XcXsin—=—c,

2232

當(dāng)CB_LAB時(shí)，C”“R=Z?COSA=1,

當(dāng)C8LAC時(shí)，Cmax=忌=4,

故cW(1,4),

6L

故SAABCW(一,2遮)，

2

故選：C.

7.（5分）（2021秋?工農(nóng)區(qū)校級期末）如圖，在正方體ABCD-AiBCQi中，點(diǎn)尸在線

段BCi上運(yùn)動，給出下列判斷：

（1）平面P8iOJ_平面AC。；

（2）AiP〃平面ACDi；

（3）異面直線AiP與A"所成角的范圍是（0,野；

（4）三棱錐-APC的體積不變.

其中正確的命題是()

A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(2)(4)

【解題思路】利用項(xiàng)目垂直判斷平面與平面垂直判斷4平面與平面平行的性質(zhì)判斷&

求出異面直線所成角的范圍判斷C；幾何體的體積判斷D.

【解答過程】解：對于(1),易知8i￡>_L平面ACZ)i,BOu平面從而平面PB1D

_L平面ACG，(1)正確；

對于(2),易知平面BAiCi〃平面ACO,AiPu平面84G，所以4P〃平面AC。，

故(2)正確；

對于(3),A1P與所成角即為41P與8cl的所成角，BA\=BCi=A\C\,當(dāng)P與線

TC

段BG的兩端點(diǎn)重合時(shí),4P與A9所成角取最小值F當(dāng)尸與線段的中點(diǎn)重合時(shí),

TTTT71

4P與AD1所成角取最大值三，故小P與AD1所成角的范圍是苧，-J,故⑶不正確；

對(4)D,由選項(xiàng)B得BC1〃平面ACDi,故BC\上任意一點(diǎn)到平面ACDi的距離均相

等，所以以戶為頂點(diǎn)，三角形AC。為底面，則三棱錐P-ACCi的體積不變，又VO1-

APC^VP-AD\C,所以三棱錐。i-APC的體積不變，故(4)正確.

故選：D.

8.(5分)(2021秋?房山區(qū)期末)如圖，正方體ABCD-4B1C1D1中，M是4。的中點(diǎn)，

貝I」()

A.直線MB與直線BiCi相交，直線MBu平面A8C

B..直線MB與直線CMC平行，直線M8_L平面4C1D

C.直線M8與直線4C異面，直線MB_L平面AQCiBi

D.直線M2與直線4。垂直，直線MB〃平面21O1C

【解題思路】可利用正方體的性質(zhì)以及線!面垂直，線面平行的判定及性質(zhì)逐一選項(xiàng)判斷

即可.

【解答過程】解：對于選項(xiàng)A,連接加BD,如圖，

在正方體ABC￡>-4B1C1D中,B\D\//BD,

BOu面MBD,所以BiDi〃平面MBD,

XMBcffiMBD,MBC\BD=B,

所以直線MB與直線81。不相交，故選項(xiàng)A錯誤;

對于選項(xiàng)B,連接48,D\C,如圖，

在正方體ABCQ-AiBiCiG中，A\B//D\C,

A?Be?MBD,所以。iC〃面MB。，

又MBu面MB。，

所以直線MB與直線。iC不平行，故選項(xiàng)B錯誤;

對于選項(xiàng)C,連接ABi，DCi，A\B,

在正方體ABCD-481C1D1中，AB\LA\B,A\B±B\Ci,

AB\QB\C\=Bi,所以48_1_面4￡）。81,又

所以與平面ADC1B1不垂直，故選項(xiàng)C錯誤；

對于。選項(xiàng)，連接AG,BC\,Bid,B\C,CD\,

DiCi

AB

在正方體ABC￡>-A1B1C1Q1中，AD\±A\D,AiD±AB,

AD\C\AB=A,所以41￡>_1_面ABCiOi,BA/c?ABC1D1,

所以設(shè)8iCC8Ci=0,連接QiO,如圖，

'：BC\//AD\,：.D\M//OB,OB=DiM,

所以四邊形BMDi。為平行四邊形，所以8M〃Oi。，

又因?yàn)镺lOu面2i￡）C,所以〃面81D1C,故選項(xiàng)。正確，

故選：D.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2021春?龍巖期末）設(shè)zi,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，則（）

A.若Z1>Z2,則zi-Z2>0

B.若Z1Z2=Z2Z3，則Z1=Z3

C.若豆=Z1，則|Z1Z3|=|Z2Z3|

D.若Z1滿足|zi|=l,則|Z1-21的最小值為1

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合共筑復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)模的求法，以及復(fù)數(shù)模的幾何

意義，即可求解.

【解答過程】解：???zi>Z2,

/.Zl-Z2>Z2-22=0,故A選項(xiàng)正確，

若Z1Z2=Z2Z3，則Z2(Z1-Z3)=0,當(dāng)Z2=0,Z1#Z3時(shí)，等式也成立，故8選項(xiàng)錯誤,

?Z?二Z],

??Z?=Z］，

設(shè)zi=。+瓦,則Z2=Q-bi9

22

\zr\=\z2\=Va+b,

A|Z1||Z3|=|Z2||Z3|?即|Z1Z3|=|Z2Z3|，故C選項(xiàng)正確,

設(shè)zi=a+Z?i,(mZ?ER),

V|zi|=l,

???。2+廬=1,-

Azi-2=a-2+bi,

2222

A|z1-2|=/(a-2)+&=7(a-2)4-1-a=V5-4a,

???-

A|Z1-2|mE=V5-4=1,故。選項(xiàng)正確.

故選：ACO.

10.(5分)(2020?山東模擬)甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅

球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以4,A2和A3表示

由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙

罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()

A.P(B)=|

B.P(B|Ai)=/

C.事件B與事件4相互獨(dú)立

D.Ai,AI,A3是兩兩互斥的事件

【解題思路】本題是概率的綜合問題，掌握條件概率的基本運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵.本

題在4,A2,A3是兩兩互斥的事件，把事件B的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化P(B)—P(B|Ai)P(4)

+P(B|A2)P(42)+P(8忸3)P(42),可知事件B的概率是確定的.

【解答過程】解：因?yàn)槭录?,A2和小任意兩個(gè)都不能同時(shí)發(fā)生，所以Ai,A2,凡是

兩兩互斥的事件，

因?yàn)镻(&)=喘，P(4)=P(4)=赤

所以P(B|4i)=鬻，=誓=搐，

2434

px

P(B\AA_(^2)_Ton_±p(BlA)_P(B&)_TpX1T_"

p@2)一,一11，"⑷/)-p(&3)-3_

55243

P⑻=P(BM1)P(4Q+P(BM2)P/2)+P(B%)P(43)=6X1+WX》+)X

_4___9_

Tl=22,

P")=15,P(&)P(B)=\5x^9=9言,

所以P(4B)(4i)P(B),于是事件B與事件Ai不相互獨(dú)立.

故選：BD.

11.(5分)(2021秋?湖北期末)在△ABC中，BD=ABC,AE=nAC,其中入€[0,1],

巧[0,1],8=申AB=4,BC=5,則()

A.當(dāng)/I=凱1寸，A-D?=^2ATB+l^ATC

4

B-

5AB-BD=8

C.當(dāng)〃=/時(shí)，|晶|=亭

a當(dāng)=4QCE=7T-

6

TTTA

【解題思路】當(dāng)入=百時(shí),AD=AB+BD,再把BD用4B,4C表示可判斷A；當(dāng)入=今時(shí),

△AB￡＞是邊長為4的等邊三角形，由晶晶=|西?|晶|cosl20°可判斷3；當(dāng)產(chǎn)亨時(shí),

45

當(dāng)

u-時(shí)+-

BE(BA+BC),兩邊平方化簡可判斷C；,-9BE=$BC9BA,由向量

夾角公式可判斷。.

【解答過程】解：當(dāng)人=；時(shí),AD=AB^BD=AB^BC=AB+4(盛-48)="B+

1—?

nAC,故A正確;

4T4

-時(shí)80=-

35\BC\=4=\AB\,所以△AB0是邊長為4的等邊三角形,

由/?BD=\AB\■|Sl)|cosl20o=-16x^=-8,故8錯誤;

11

2

=-

當(dāng)|1=5時(shí)，BE=3(BA+BC),所以4-4<\BA\2+\BC\2+2BA-

BC)

=1(16+25+2X4X5Xcos60°)=%所以|函=粵■，故C錯誤;

4TT4TT

當(dāng)

u=-H九aE-acT4TqT

-9=9可得BE=+押,

T4盛5T

^-B2

+=16x25,25x16.404c11200

^9-8^+^^+81X4X5X2=^

45

TT4T5T--X=

BEBA=(-BC+-BA),BA-916430

999

T—>

430

所以cosNABE=Bg__——,

\BA\-\BE\4x等2

因?yàn)镺CNABEV與，所以NABE=$故。正確.

36

故選：AD.

12.（5分）（2021秋?珠海期末）如圖，在直棱柱ABC。-AiBiGDi中，各棱長均為2,

NABC=*則下列說法正確的是（）

A.三棱錐4-ABC外接球的表面積為一n

3

B.異面直線AB\與BCi所成角的余弦值為工

2

C.當(dāng)點(diǎn)M在棱8班上運(yùn)動時(shí)，IMCI+IM41I最小值為245+

D.N是平面A8C。上一動點(diǎn)，若N到直線AA1與8c的距離相等，則N的軌跡為拋物

線

【解題思路】對于A,先求出外接圓半徑r,再借助R2=（務(wù)2+「求外接球半徑；對于B,

先通過平行轉(zhuǎn)化異面直線所成的角，再借助余弦定理求解：對于C,借助平面展開圖求

最小值；對于。，利用拋物線定義判斷.

【解答過程】解:對于A,由題可知△ABC是邊長為2的等邊三角形,則外接圓半徑r=意,

由R2=弓）2+1=［得外接球表面積為4述2=等，所以A選項(xiàng)正確.

對于B,連接。C1,因?yàn)樗訬BCi。即為異面直線ABi與BCi所成角,

由題可知=CiD=2近,BD=26，

由余弦定理得B/）2=BCl+DCl-2BJ?DCiCOS乙BC、D,

所以cos/BCiD=*所以B選項(xiàng)錯誤.

對于C,分別將四邊形AAiB山與。。山8沿著棱3溜展開得到四邊形AAIDI。,

陽。|+附4|的最小值即為力。1=122+(2+2代產(chǎn)=2J5+2?所以C選項(xiàng)正確.

對于D,N到直線A4與直線BC的距離相等，

又24,441,N4即為N到直線A4的距離，

即N到點(diǎn)A直線8c的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，所以。選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)(2021?東莞市模擬)已知樣本xi,X2,X3,,,,,沏方差5=2,則樣本2xi+l,

2x2+1,2x3+1,…，2xn+\的方差為8.

【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)樣本XI,"，…，融方的平均數(shù)為a樣本2XI+1,2x2+1.

2x3+1,…，2xn+\的平均數(shù)為7,方差為s'2,由平均數(shù)公式可得了=%(2X1+1)+

(2x2+1)+..+(2xn+1)]—2x+1,進(jìn)而結(jié)合方差的計(jì)算公式可得s'2=三(2x1+1-

2222

2x-l)+(2x2+1-2x-l)+……+(2xn+l-2x-l)]=4s,計(jì)算即可得答案.

【解答過程】解：根據(jù)題意，設(shè)樣本xi,xi,汨，…，X”方的平均數(shù)為土，方差為好=2,

樣本2xi+l,2x2+1,2x3+1,…，2x〃+l的平均數(shù)為％，,方差為s'2,

樣本XI，X2，無3，…，物方的平均數(shù)為元，則元=，(幻+%2+刈+…+%),

其方差為，=2,則有%(XI—元)2+(X2-X)2+……+(xn-x)2]=2,

對于樣本2x]+l,2x2+1,2x3+1,…，2x〃+l,其平均數(shù)為X，,

-1

貝反'(2x1+1)+(2x2+1)+...+(2x?+l)]=2x+l,

其方差s'2=1[(2xi+l-2x-l)2+(2x2+1-2x-l)2+....+(2x?+l-2x-l)2]=4s2

=8,

故答案為：8.

14.(5分)(2021春?贛榆縣校級期末)關(guān)于x的不等式-2V0解集為(-1,2),

若復(fù)數(shù)zi=m+2i,z2=cosa+zsina,且zfz2為純虛數(shù)，則tan2a=-g.

【解題思路】根據(jù)不等式的解集可得所對應(yīng)方程的根，將根代入方程可求出，〃的值；利

用復(fù)數(shù)的乘法法則將zi?及化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)純虛數(shù)的概念建立等式，可求出tana的

值，最后利用二倍角公式可求出所求.

【解答過程】解：?.?不等式2Vo解集為（-1,2）.

2是方程^+mx-2=0的兩個(gè)根，則4+2機(jī)-2=0,解得m=-1

z\*z2=(-cosa-2sina)+(-sina+2cosa)，為純虛數(shù),

1

/.-cosa-2sina=0,tana=一彳

,,2tana

?.tan2a=--------o—=—

l-tan￡a

故答案為：_寺.

15.（5分）（2021秋?廣西期末）已知在△A8C中，角A,B,C的對邊分別是〃，b,c.

若△ABC的面積為2,AB邊上中線的長為遮.S.b=acosC+csinA,則外接圓的面

積為2n或5R.

【解題思路】由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡先求出A,然后結(jié)合三角形面

積公式及余弦定理求出。，c,再由正弦定理求出外接圓半徑，進(jìn)而可求圓的面積.

【解答過程】解：因?yàn)閆?=acosC+csinA,

由正弦定理得，sin8=sinAcosC+sinCsinA=sin（4+C）=sinAcosC+sinCcosA,

所以sinCsinA=sinCcosA,

因?yàn)閟inOO,

所以sinA=cosA,即tanA=1,

由A為三角形內(nèi)角得，A=?

△ABC的面積S=±〃csinA=爭7c=2,

所以6c=4々①，

設(shè)。為A8邊上的中點(diǎn)，

△AOC中，由余弦定理得，A/2=爐+（J_2b.E?COS“

所以爐+96②，

①②聯(lián)立得，憶冊或憶產(chǎn)

當(dāng)｛，二時(shí)，由余弦定理得，a2=b2+c2--2/>ccosA=4+8-2x2x2-y2x~=4,

所以a=2,

由正弦定理得，2/?=急=2近，BPR=V2,

此時(shí)448。外接圓的面積2m

當(dāng)［b=也時(shí),由余弦定理得，a2^b2+c2-2Z>ccosA=2+16-2x4xV2x=10,

lc=4/

所以a=VTO,

由正弦定理得，27?=號=2而，即/?=遙,

SlllrX

此時(shí)aABC外接圓的面積57T.

故答案為：2ir或5n.

16.（5分）（2021春?赤峰期末）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AiBiCiDi中，P為

線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）,則下列結(jié)論正確的是①②④.

①平面A1D1尸，平面BB1P；

@DC11PC；

③NAPOl的取值范圍是g,7T）；

4

④三棱錐Ci-DiPC的體積為定值一.

3

【解題思路】利用平面與平面垂直判斷①；直線與平面的位置關(guān)系判斷②；當(dāng)點(diǎn)P為線

段A山的一個(gè)四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)8時(shí)，由余弦定理可得NAP?！瓷珡亩袛啖?；求出

三棱錐的體積判斷④.

【解答過程】解：對于①，因?yàn)閹缀误w是正方體，所以平面AAiBiB,AiDiu平面

A\D\P,

所以平面A1O1PJ?平面BBiP,故①正確；

對于②，在正方體ABC。-AiBiCiDi中，PCu對角面4BCO,

所以。C1LPC,故②正確;

對于③，當(dāng)點(diǎn)P為線段4B的一個(gè)四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)8時(shí),

計(jì)算可得AP=^^,D\P=AD\=2版,

2225.17-82

由余弦定理可得cosZAPDi=AP2^~pP12+2B.=_j_〉o

2x平x乎一南

此時(shí)NAP。故③錯誤;

對于④，因?yàn)椤鱀1C1C的面積是定值S=^x2X2=2,

點(diǎn)P到平面￡>1C1C的距離是定值BC=2,

所以三棱錐Ci-C1PC的體積為定值V=|x2X2=|,故④正確.

故答案為：①②④.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）在如圖所示的平面圖形中，已知OM=1,ON=

2,BM=2MA,CN=2NA,求：

(1)設(shè)辰1=xOM+yON,求x+y的值;

TCn

（2）若血〃小，且V?！?，ON>E[6'?,求/?北的最小值及此時(shí)的夾角VOMON

【解題思路】（1）由向量的減法法則知/=啟-/，結(jié)合題意和平面向量共線定理,

即可求得辰1=-30為+3加，得解；

（2）設(shè)&=入0京，。=<0M,0N>,根據(jù)平面向量加法法則和平面向量共線定理可得

=（3-A）OM-30N,再結(jié)合平面向量數(shù)量積，可將六?見?表示成關(guān)于人的函數(shù)，

然后根據(jù)二次函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得解.

【解答過程】解：（1）因?yàn)锽M=2MA,CN=2NA,

所以或=AC-AB=3AN-3AM=3MN=3（ON-OM）=-30M+30N,

所以x=-3,y=3,

所以x+y=O.

…TTTTTCTC

（2）設(shè)（L4=2lOM,0=<0M,ON>G［->

則/=AC+CB=-XOM+3（OM-ON）=（3-入）OM-3ON,

所以燦?前=［（3-入）OM-3tWp（-入。］）=-入（3-入）。為2+3入屆?前

=(A2-3入)|。"|2+3入|?！安穦。陽0?8=入2-3入+6入85。=入2+(6cos6-3)入,

當(dāng)人=一生等二1時(shí),入2+（6cos0-3）人取得最小值，為_（6COS；-3）,

又6日，，卞，所以6cos0-310,36一3],所以一酗亭充日史等^,0],

—9yf3—18—tTC

所以4BJC的最小值為------，此時(shí)VOM,ON＞為一.

26

18.（12分）（2021春?廣陵區(qū)校級期末）已知虛數(shù)z滿足|2z+5|=|z+10|.

（1）求|才;

（2）是否存在實(shí)數(shù)〃?，是二+”為實(shí)數(shù)，若存在，求出加值；若不存在，說明理由；

mz

（3）若（1-2z）z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，求復(fù)數(shù)z.

【解題思路】（1）由題意設(shè)z=x+），i（x,）ER且yr0）,由復(fù)數(shù)的模和條件列出方程化

簡即可；

?7TTI

（2）先化簡一+一整理出實(shí)部、虛部，根據(jù)實(shí)數(shù)的充要條件列出方程，結(jié)合題意和（1）

mz

的結(jié)論求出m的值;

（3）化簡（1-2z）z整理出實(shí)部、虛部，根據(jù)條件列出關(guān)系式，代入|z|對應(yīng)的方程求出

x、y,即可求出復(fù)數(shù)z.

【解答過程】解：⑴設(shè)z=x+yi（%,）€R且yWO）,

由|2z+5|=|z+10|得：（2%+5）2+4/=（x+10）2+/

化簡得：/+/=25,所以|z|=5.…（4分）

zmxmxmy

(2)???一+一=(^+^^)+e

mzER‘

m

...—y———y-=on，

mx乙+*

1Tn

又yWO且加2+〃2=25,/.———=0,解得機(jī)=±5.…(8分)

m25

(3)由(1-2z)z=(1-2/)(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i及已知得：x+2y=y-2x,

'/io>/To

X=X=~~

2

即y=-3x,代入=25解得：3^或，

3國

、y=

7=--~^r~

故z=^一嚶減z=—乎+空i.…（14分）

19.（12分）（2021秋?普寧市期末）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期

培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為8類工人）.現(xiàn)用分層

抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生

產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）.（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？

（2）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2

表1:

生產(chǎn)能力分組[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

人數(shù)4853

表2：

生產(chǎn)能力分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

人數(shù)6y3618

①先確定x,y,再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中

個(gè)體間的差異程度與8類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小？（不用計(jì)算，可通過觀察

直方圖直接回答結(jié)論）

②分別估計(jì)4類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平

均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

8o36

8o2

6o3S

O4

O2O

So6

1?

6ol~

6oS

5(xo4

o<。

圖Id類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖肆麋工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖

【解題思路】（1）先計(jì)算抽樣比為L,進(jìn)而可得各層抽取人數(shù).

10

（2）①A類、B類工人人數(shù)之比為250：750=1：3,按此比例確定兩類工人需抽取的人

數(shù)，再算出x和y即可.畫出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：8類工人中個(gè)體間的

差異程度更?、谌∶總€(gè)小矩形的橫坐標(biāo)的中點(diǎn)乘以對應(yīng)矩形的面積相加即得平均數(shù)

【解答過程】解：（1）由已知可得：抽樣比％=蓋=表，

故A類工人中應(yīng)抽?。?50x==25人，

8類工人中應(yīng)抽?。?50X日=75人，

（2）①由題意知4+8+x+5=25,得x=5,

6+）葉36+18=75,得y=15.

滿足條件的頻率分布直方圖如下所示：

6o36

6o3T

6o-

2-

o2S

o24

6O1O

16

602

60S

801^4

0<

o100110120130140

圖14類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖即聯(lián)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖

從直方圖可以判斷：B類工人中個(gè)體間的差異程度更小.

②石=.x105+.x115+言x125+言x135+.x145=123,

豆=羌工115+巖X125+^x135+^x145=133.8

2575

=wx123+wXl33-8=133J

4類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù),8類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均

數(shù)的估計(jì)值分別為123,133.8和131.1

20.(12分)(2021秋?武侯區(qū)校級期末)口袋中裝有4個(gè)形狀大小完全相同的小球，小球

的編號分別為1,2,3,4,甲、乙、丙依次有放回地隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到小球的編

號分別為a,b,c.

(1)在一次抽取中，若有兩人抽取的編號相同，則稱這兩人為“好朋友”，求甲、乙兩

人成為“好朋友”的概率：

(2)求抽取的編號能使方程a+b+2c=6成立的概率.

【解題思路】(1)將甲、乙依次取到小球的編號記為(a,b-),利用列出法求出基本事

件個(gè)數(shù)和甲、乙兩人成為好朋友包含的情況種數(shù)，由此能求出甲、乙兩人成為“好朋友”

的概率.

(2)將甲、乙、丙依次取到小球的編號記為(a,6,c),求出基本事件個(gè)數(shù)，利用列

舉法求出丙抽取的編號能使方程〃+b+2c=6成立包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出抽取

的編號能使方程a+b+2c=6成立的概率.

【解答過程】解：(1)將甲、乙依次取到小球的編號記為(a,%),

則基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個(gè).

記“甲、乙兩人成為好朋友”為事件M,則M包含的情況有：

(1,I),(2,2),(3,3),(4,4),共4個(gè)人，

41

--

故甲、乙兩人成為“好朋友”的概率為尸(M)4

16

(2)將甲、乙、丙依次取到小球的編號記為(a,b,c),

則基本事件有"=4X4X4=64個(gè)，

記“丙抽取的編號能使方程a+什2c=6成立”為事件M

當(dāng)丙抽取的編號c=l時(shí)，a+b=4,

：.(a,b)分別為(1,3),(2,2),(3,D,

當(dāng)丙抽取的編號c=2時(shí)，a+》=2,(a,6)為(1,1),

當(dāng)丙抽取的編號c=3或c=4時(shí)，方程a+Z?+2c=6不成立.

綜上，事件N包含的基本事件有4個(gè)，

63)=44=七1

21.(12分)(2021春?廬陽區(qū)校級期末)在①=a(sinC+V5cosC)；②2“cosA=

bcosC+ocosB,@acosC+^c=h,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解

答補(bǔ)充完整的題目.

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知.

(1)求角A；

(2)設(shè)△ABC的面積為S,若。=代，求面積S的最大值.

【解題思路】(1)首先任選擇一個(gè)條件，然后根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再根據(jù)三角

恒等變換，化簡