2.9函數(shù)與數(shù)學模型

2.9函數(shù)與數(shù)學模型課標要求精細考點素養(yǎng)達成1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征,結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用用函數(shù)圖象刻畫變化過程通過用函數(shù)圖象刻畫變化過程,培養(yǎng)直觀想象的素養(yǎng)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型通過已知函數(shù)模型的實際應用,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng)二次函數(shù)模型其他常見函數(shù)模型通過構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題,培養(yǎng)數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結(jié)論不正確的有().A.某種商品進價為每件100元,按進價加價10%出售,后因庫存積壓降價,若按九折出售,則每件還能獲利B.函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大C.不存在x0,使ax0<x0n<D.在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y=xa(a>0)的增長速度2.(對接教材)在某個物理實驗中,測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù),見下表:x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對x,y最適合的擬合函數(shù)是().A.y=2x B.y=x21C.y=2x2 D.y=log2x3.(對接教材)為了鼓勵大家節(jié)約用水,自2024年以后,某市實行了階梯水價制度,其中每戶的綜合用水單價與戶年用水量的關(guān)系如下表所示:分檔戶年用水量/m3綜合用水單價/(元·m3)第一階段0~220(含)3.45第二階段220~300(含)4.83第三階段300以上5.83記戶年用水量為xm3時應繳納的水費為f(x)元.則f(x)的解析式為;若居住在該市的張明一家今年共用水260m3,則張明一家今年應繳納水費元.

4.(易錯自糾)某公司為了發(fā)展業(yè)務制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當銷售額x為8萬元時,獎勵1萬元;當銷售額x為64萬元時,獎勵4萬元.若公司擬定的獎勵模型為y=alog4x+b.某業(yè)務員要得到8萬元獎勵,則他的銷售額應為萬元.

5.(真題演練)(2022·北京卷)下圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強,單位是bar.則下列結(jié)論中正確的是().A.當T=220,P=1026時,二氧化碳處于液態(tài)B.當T=270,P=128時,二氧化碳處于氣態(tài)C.當T=300,P=9987時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當T=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型典例1候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進行大規(guī)模的遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),此種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v=a+blog3Q10(其中a,b是實數(shù)).據(jù)統(tǒng)計,此種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位,而其耗氧量為90個單位時,其飛行速度為1(1)求出a,b的值;(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個單位?氧量至少要270個單位.1.與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實際問題,在求解時,要先學會合理選擇模型,在兩類模型中,指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型,與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型.2.在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時,一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,再借助函數(shù)的圖象求解最值問題,必要時可借助導數(shù).訓練1果農(nóng)采摘水果,采摘下來的水果會慢慢降低新鮮度.已知某種水果失去的新鮮度h與其采摘后的時間t(天)滿足的函數(shù)關(guān)系式為h=m·at.若采摘后10天,這種水果降低的新鮮度為10%,采摘后20天,這種水果降低的新鮮度為20%,那么采摘下來的這種水果在多長時間后降低50%的新鮮度(已知lg2≈0.3,結(jié)果取整數(shù))().A.23天 B.33天 C.43天 D.50天二次函數(shù)模型典例2如圖所示,已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為合理利用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM,使點P在邊DE上.(1)設MP=x米,PN=y米,將y表示成x的函數(shù),求該函數(shù)的解析式及定義域;(2)求矩形BNPM面積的最大值.在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時,一定要注意自變量的取值范圍,需根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域在坐標系中對應區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解.解決函數(shù)應用問題時,最后還要還原到實際問題.訓練2某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線的一段.已知跳水板AB的長為2m,跳水板距水面CD的高BC為3m.為了保證安全和空中姿態(tài)優(yōu)美的需要,訓練時跳水曲線應在離起跳點A處hm(h≥1)(水平距離)時達到距水面的最大高度為4m.規(guī)定:以CD為橫軸,BC為縱軸建立平面直角坐標系.(1)當h=1時,求跳水曲線所在的拋物線方程;(2)若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)入水時才能達到比較好的訓練效果,求此時h的取值范圍.其他常見函數(shù)模型典例3某養(yǎng)殖場需定期購買飼料,已知該養(yǎng)殖場每天需要飼料200千克,每千克飼料的價格為1.8元,飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元,購買飼料每次支付運費300元.求該養(yǎng)殖場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少.1.“y=x+ax”型函數(shù)模型在實際問題中會經(jīng)常出現(xiàn).解決此類問題,關(guān)鍵是利用已知條件,建立函數(shù)模型,然后化簡整理函數(shù)解析式,必要時通過配湊得到“y=x+ax2.應用分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點:(1)構(gòu)造分段函數(shù)時,要力求準確、簡潔,做到分段合理、不重不漏.(2)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大(最小)者.訓練3“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.研究表明,“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度v(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位:尾/立方米)的函數(shù).當x≤4時,v的值為2千克/年;當4<x≤20時,v是x的一次函數(shù);當x>20時,因缺氧等原因,v的值為0千克/年.(1)當0<x≤20時,求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時,魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達到最大?求出最大值.函數(shù)擬合問題數(shù)學建模是高考中的熱點,主要考查數(shù)學建模能力及分析、解決問題的能力.數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題,用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題.典例某學校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標,準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案:在生源利潤達到5萬元時,按生源利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨生源利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過3萬元,同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪個模型符合該校的要求?幾類不同增長函數(shù)模型選擇的方法(1)增長速度不變,即自變量增加相同量時,函數(shù)值的增量相等,此時的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型.(2)增長速度越來越快,即自變量增加相同量時,函數(shù)值的增量成倍增加,此時的函數(shù)模型是指數(shù)函數(shù)模型.(3)增長速度越來越慢,即自變量增加相同量時,函數(shù)值的增量越來越小,此時的函數(shù)模型是對數(shù)函數(shù)模型.訓練水葫蘆原產(chǎn)于巴西,1901年作為觀賞植物引入我國.現(xiàn)在南方一些水域中水葫蘆已泛濫成災,嚴重影響航道安全和水生動物生長.某科研團隊在某水域放入一定量的水葫蘆進行研究,發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快,經(jīng)過2個月其覆蓋面積為18m2,經(jīng)過3個月其覆蓋面積為27m2.水葫蘆的覆蓋面積y(單位:m2)與經(jīng)過的時間x(單位:月,x∈N)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y=kax(k>0,a>1)與y=px12+q(p>0)①試判斷哪個函數(shù)模型更合適,并求出該模型的解析式;②求原先投放的水葫蘆的面積,并求約經(jīng)過幾個月該水域中水葫蘆的面積是當初投入的1000倍.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)一、單選題1.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超過1%,則至少要洗的次數(shù)是(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010)()A.3 B.4 C.5 D.62.據(jù)統(tǒng)計,每年到鄱陽湖國家濕地公園過冬的白鶴數(shù)量y(單位:只)與時間x(單位:年)近似地滿足關(guān)系y=alog3(x+2),觀察發(fā)現(xiàn)2020年(作為第1年)到該濕地公園過冬的白鶴數(shù)量為3000只,估計到2026年到該濕地公園過冬的白鶴的數(shù)量為().A.4000 B.5000 C.6000 D.70003.某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺,第二個月銷售200臺,第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是().A.y=100x B.y=50x250x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+1004.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水,作出如下規(guī)定:每位職工每月用水不超過10立方米,按每立方米3元收費;用水超過10立方米,超過的部分按每立方米5元收費.某職工某月的水費為55元,則該職工這個月實際用水為().A.13立方米 B.14立方米C.15立方米 D.16立方米多選題幾名大學生創(chuàng)業(yè),經(jīng)過調(diào)研,他們選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品,生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤p(x)(單位:萬元)與每月投入的研發(fā)經(jīng)費x(單位:萬元)有關(guān).當每月投入的研發(fā)經(jīng)費不高于16萬元時,p(x)=15x2+6xy=p(A.投入9萬元研發(fā)經(jīng)費可以獲得最大利潤率B.要再投入6萬元研發(fā)經(jīng)費才能獲得最大利潤C.要想獲得最大利潤率,還需要再投入研發(fā)經(jīng)費1萬元D.要想獲得最大利潤,還需要再投入研發(fā)經(jīng)費1萬元6.某單位在國家科研部門的支持下,進行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400t,最多為600t,月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:t)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=12x2200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.則以下判斷正確的是()A.該單位每月處理量為400t時,才能使每噸的平均處理成本最低B.該單位每月最低可獲利20000元C.該單位每月不獲利,也不虧損D.每月需要國家至少補貼40000元才能使該單位不虧損三、填空題7.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局下發(fā)的標準,車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見下表.經(jīng)過反復試驗,一般情況下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的散點圖見下圖.車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類別閾值/(mg/100mL)飲酒駕車[20,80)醉酒駕車[80,+∞)且如圖所示的函數(shù)模型為f(x)=40sinπ3x+13,0≤x<2,90e-0.5x+14,x≥2.假設此人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過n(n∈N*)小時才可以駕車,則n的值為.(參考數(shù)據(jù):ln15≈2.718.某人準備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊,中間建三個矩形溫室大棚,大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖中陰影部分所示),大棚占地面積為S平方米,其中a∶b=1∶2,若要使S最大,則y=.

四、解答題9.某景區(qū)提供自行車出租,該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗,若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超過6元,則每超過1元,租不出的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù),并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用,用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分).(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時,才能使一日的凈收入最多?10.民以食為天,食以安為先.我國食品安全工作不斷取得新進展,開創(chuàng)新局面.為了給消費者帶來放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P,種黃瓜的年收入Q與投入a(單位:萬元)滿足P=80+42a,Q=14a+120,設甲大棚的投入為x(單位:萬元),每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位:萬元(1)求f(50)的值;(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收益f(x)最大?11.(2023·湖南衡陽模擬)在數(shù)字通信的研究中,需要解決在惡劣環(huán)境(噪聲和干擾導致極低的信噪比)下的網(wǎng)絡信息正常傳輸問題.根據(jù)香農(nóng)(Shannon)公式C=Wlog21+SN,式中W是信道帶寬(單位:赫茲),S是信道內(nèi)所傳信號的平均功率(單位:瓦),N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率(單位:瓦),C(單位:bit/s)是數(shù)據(jù)傳送速率的極限值,SN是信號與噪聲的功率之比,為無量綱單位如SN=1000,即信號功率是噪聲功率的1000倍,但是在討論信噪比時,