淺談圓錐曲線動點的軌跡方程問題的求解方法

PAGEPAGE1淺談圓錐曲線動點的軌跡方程問題的求解方法高中數(shù)學(xué)中的解析幾何中是一個極其重要的內(nèi)容，它涉及到代數(shù)，幾何，三角等多方面的知識，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識更加深入的了解，是在初等數(shù)學(xué)中重點體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過程，是同學(xué)們對數(shù)學(xué)的理解發(fā)生質(zhì)的變化的時刻。其中，對于圓錐曲線中求動點的軌跡問題是練習(xí)、考試中經(jīng)常出現(xiàn)的，而同學(xué)們也對此還沒有完全掌握，對此類題沒有系統(tǒng)的分析，歸納，不容易下手。本文就重點對于該問題進行探討，歸納總結(jié)出對于求動點的軌跡問題的一般方法。直接法當(dāng)題目條件已經(jīng)給出或者可以得到有關(guān)動點的等量關(guān)系時，可以直接設(shè)所求動點為，然后根據(jù)題設(shè)條件，利用基本公式等列出等量關(guān)系，從而得到軌跡方程。這是探求軌跡方程最基本的方法?！纠壳笈c直線的距離等于5的點的軌跡方程。設(shè)動點P到直線l的距離為5，即或者所求的軌跡方程為或者定義法當(dāng)問題可以轉(zhuǎn)化為動點滿足的條件與圓錐曲線的定義或與平面幾何中的基本軌跡所滿足的條件基本接近，可以通過對題目條件做必要的轉(zhuǎn)化，使用定義完成求軌跡方程?！纠縿訄A與定圓C1：和C2：都外切，求動圓圓心的軌跡方程。解：定圓的圓心為，半徑,定圓圓心，半徑，設(shè)動圓圓心，半徑為。依題意，得。由雙曲線的定義，知動點P到定點的距離之差為定值。所以動點的軌跡是拋物線，雙曲線的中心在的重點.焦距，所以又。所以雙曲線的方程為轉(zhuǎn)移法（代入法）當(dāng)所求動點M隨另一動點N的變化而變化，而N點在已知曲線上運動，且M,N兩點坐標(biāo)關(guān)系比較直接，可以將求M點的軌跡方程轉(zhuǎn)移為求N點的軌跡方程，再利用兩者的關(guān)系代入，間接得到M的軌跡方程。【例】一動點A在圓上移動時，求它與定義的連線中點M點的軌跡方程解：，AB中點M的坐標(biāo)為則有，所以，代入，得。即為軌跡方程。復(fù)數(shù)法與轉(zhuǎn)移法類似，只是當(dāng)M,N兩點恰好為某一特殊多邊形的其中兩頂點時，可以用復(fù)數(shù)的方法解決問題?！纠恳阎cP是拋物線上任意一點，O是坐標(biāo)原點，以O(shè)P為一邊按逆時針方向做正三角形OPQ，求三角形OPQ的重心G的軌跡方程。解：設(shè)，由題設(shè)以及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知又點在拋物線上，化簡得，參數(shù)法當(dāng)所求動點M隨N點的變化而變化，N點恰在已知曲線上運動，但M，N的關(guān)系不直接，并且動點M隨某個量變化而變化時，可以通過選擇合適的量作為參量，把M點的坐標(biāo)用參量表示，再消去參數(shù)即可得到動點的軌跡方程。參數(shù)法是求軌跡方法的重要方法?！纠恳阎獧E圓，它的平行弦所在直線的斜率為k（定值），求這些平行弦中點的軌跡。解：設(shè)平行線方程為。。。①，將它代入橢圓方程并整理，得設(shè)平行兩端點分別為，弦中點為，則。。。②，代入①得，。。。③，由②、③消去參數(shù)m得所以，所求軌跡為直線被已知橢圓所截得的線段，不包括兩端點。交軌法當(dāng)所求動點M恰好為兩動曲線的交點并且兩曲線隨著某參量的變化而變化時，可以選用合適的參量，在寫出只含有參量的兩動曲線的方程的基礎(chǔ)上，消去參量即可得動點的軌跡方程?！纠恳阎獌牲cP(-2,2),Q(0,2)以及一條直線,設(shè)長為的線段AB在直線l上移動(A在B的左下方)，求直線PA和QB額交點M的軌跡方程。解：由于A點在上，故可設(shè)。當(dāng)時，直線PA的方程為，直線QB的方程為，由（1），（2）消去t，得到M點的軌跡方程為，而當(dāng)時，所得M點也滿足方程。極坐標(biāo)法當(dāng)題目涉及的有關(guān)線段有公共的一個端點，且這個端點為直角坐標(biāo)的原點或者圓錐曲線的焦點等時，我們可以建立極坐標(biāo)系，寫出動點的極坐標(biāo)方程。若有需要，可以繼續(xù)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的軌跡方程?！纠咳鐖D，給出定點和直線，B是直線l的動點，的平分線交AB于