新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題20 解析幾何中的范圍、最值和探索性問題（講）（解析版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題20解析幾何中的范圍、最值和探索性問題（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓SKIPIF1<0．設(shè)A，B是橢圓上異于SKIPIF1<0的兩點(diǎn)，且點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0分別交直線SKIPIF1<0于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出SKIPIF1<0，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0與橢圓方程聯(lián)立可得SKIPIF1<0，再將直線SKIPIF1<0方程與SKIPIF1<0的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出SKIPIF1<0，最后代入化簡可得SKIPIF1<0，由柯西不等式即可求出最小值．【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0是橢圓上任意一點(diǎn),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號，故SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0方程與橢圓SKIPIF1<0聯(lián)立,可得SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,同理可得,SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】本題主要考查最值的計(jì)算，第一問利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決，第二問思路簡單，運(yùn)算量較大，求最值的過程中還使用到柯西不等式求最值，對學(xué)生的綜合能力要求較高，屬于較難題．2.（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓SKIPIF1<0一個(gè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0，以橢圓SKIPIF1<0的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為SKIPIF1<0．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求SKIPIF1<0，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)SKIPIF1<0，求出直線SKIPIF1<0的方程后可得SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)，從而可得SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡SKIPIF1<0，從而可求SKIPIF1<0的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0的斜率存在，故SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.3.（2021·全國·高考真題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：SKIPIF1<0交C于P，Q兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0．已知點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與l相切．（1）求C，SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均與SKIPIF1<0相切．判斷直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）拋物線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0；（2）相切，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與SKIPIF1<0相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對稱性設(shè)出SKIPIF1<0坐標(biāo)，由SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0；由圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）方法一：先考慮SKIPIF1<0斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結(jié)論；若SKIPIF1<0斜率存在，由SKIPIF1<0三點(diǎn)在拋物線上，將直線SKIPIF1<0斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，得出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，最后求出SKIPIF1<0點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的距離，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，所以半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）[方法一]：設(shè)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0斜率不存在，則SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性不妨設(shè)SKIPIF1<0，則過SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的另一條直線方程為SKIPIF1<0，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在SKIPIF1<0，不合題意；若SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性不妨設(shè)SKIPIF1<0則過SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)直線SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，所以直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切；若直線SKIPIF1<0斜率均存在，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切；綜上若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，同解法1．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，同理，由直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切得SKIPIF1<0．因?yàn)榉匠蘏KIPIF1<0同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0．所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切．綜上所述，若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切．【整體點(diǎn)評】第二問關(guān)鍵點(diǎn)：過拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；法一是要充分利用SKIPIF1<0的對稱性，抽象出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)系，把SKIPIF1<0的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用SKIPIF1<0表示，法二是利用相切等條件得到SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行證明，方法二更為簡單，開拓學(xué)生思路總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測縱觀近幾年的高考試題，高考對圓錐曲線的考查，選擇題、填空題、解答題三種題型均有，主要考查以下幾個(gè)方面：一是考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義，與橢圓的焦點(diǎn)三角形結(jié)合，解決橢圓、三角形等相關(guān)問題；二是考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；三是考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，小題較多地考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)；四是考查直線與圓錐曲線（橢圓、拋物線較多）位置關(guān)系問題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題、不等式等.近幾年，小題多用于考查拋物線、雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等，命題角度呈現(xiàn)較強(qiáng)的靈活性；解答題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及三角形面積、參數(shù)范圍、最值、定值、定點(diǎn)、定直線等問題，命題方向多變，難度基本穩(wěn)定.近兩年，直線與與雙曲線的位置關(guān)系的主觀題連續(xù)出現(xiàn)?。ǘ┍緦ｎ}考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一范圍、最值問題【核心知識】1.幾何法:通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解.2.代數(shù)法:把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.或合理構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式后，用換元法，求導(dǎo)法，配方法等求最值.【典例分析】典例1.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩條切線，SKIPIF1<0是切點(diǎn)，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于SKIPIF1<0的等式，即可解出SKIPIF1<0的值；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)求出直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，進(jìn)一步可求得直線SKIPIF1<0的方程，將直線SKIPIF1<0的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出SKIPIF1<0以及點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得SKIPIF1<0面積的最大值.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值由題意知，SKIPIF1<0，設(shè)圓M上的點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．從而有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長求面積法拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，對該函數(shù)求導(dǎo)得SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可知，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由于點(diǎn)SKIPIF1<0為這兩條直線的公共點(diǎn)，則SKIPIF1<0，所以，點(diǎn)A、SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足方程SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的面積取最大值SKIPIF1<0.[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值同方法一得到SKIPIF1<0．過P作y軸的平行線交SKIPIF1<0于Q，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．P點(diǎn)在圓M上，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0的面積最大，最大值為SKIPIF1<0．[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0和拋物線C的方程得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0．判別式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．拋物線C的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．聯(lián)立方程SKIPIF1<0可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．由弦長公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【整體點(diǎn)評】（1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得SKIPIF1<0關(guān)于圓M上的點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得SKIPIF1<0的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點(diǎn)的距離的最小值，簡潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦方程思想得到直線SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足方程SKIPIF1<0，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用弦長公式求得SKIPIF1<0的長，進(jìn)而得到面積關(guān)于SKIPIF1<0坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過P作y軸的平行線交SKIPIF1<0于Q，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0求得面積關(guān)于SKIPIF1<0坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計(jì)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．利用點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，求得SKIPIF1<0的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)SKIPIF1<0，進(jìn)而利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；典例2.（2023春·廣東清遠(yuǎn)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的右支相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱的點(diǎn)為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)設(shè)雙曲線的半焦距為SKIPIF1<0，由條件列關(guān)于SKIPIF1<0的方程，解方程求SKIPIF1<0可得雙曲線方程；(2)設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，利用設(shè)而不求法求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，利用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，再求其范圍.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為SKIPIF1<0，因?yàn)殡p曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故雙曲線方程為SKIPIF1<0；（2）若直線SKIPIF1<0的斜率為0，則直線SKIPIF1<0與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾，所以可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的判別式SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，又線段SKIPIF1<0的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】直線與雙曲線的綜合問題，一般利用設(shè)而不求法解決；其中范圍或最值問題，一般利用設(shè)而不求法求出變量的解析式，再結(jié)合函數(shù)方法求其范圍或最值.典例3.（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期末）已知橢圓C:SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,且過SKIPIF1<0(1)求C的方程.(2)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上不與SKIPIF1<0重合的兩點(diǎn),SKIPIF1<0為原點(diǎn),且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,①求直線SKIPIF1<0的斜率;②與SKIPIF1<0平行的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點(diǎn),求SKIPIF1<0面積的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程組求解即可;(2)①設(shè)SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,可得點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo),將點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓的方程,與已知條件結(jié)合即可得到結(jié)果;②由①知設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,聯(lián)立直線與曲線SKIPIF1<0的方程,根據(jù)弦長公式求出SKIPIF1<0的長,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離,將SKIPIF1<0的面積用SKIPIF1<0表示,利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.所以,SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）①設(shè)SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,又因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上,所以SKIPIF1<0,化簡可得SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0上不與SKIPIF1<0重合的兩點(diǎn),所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0.②設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上單調(diào)遞減,所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.典例4.（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0，點(diǎn)A是橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓SKIPIF1<0于點(diǎn)B，交拋物線SKIPIF1<0于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若SKIPIF1<0，求拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0【分析】（Ⅰ）求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得答案；（Ⅱ）方法一使用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式和解方程法分別求得SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的表達(dá)式，得到關(guān)于SKIPIF1<0的方程，利用基本不等式消去參數(shù)，得到關(guān)于SKIPIF1<0的不等式，求解得到SKIPIF1<0的最大值；方法二利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式求得SKIPIF1<0的坐標(biāo)關(guān)于SKIPIF1<0的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上，得到關(guān)于SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)得解，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三利用點(diǎn)差法得到SKIPIF1<0．根據(jù)判別式大于零，得到不等式SKIPIF1<0，通過解方程組求得SKIPIF1<0，代入求解得到SKIPIF1<0的最大值；方法四利用拋物線的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)SKIPIF1<0的參數(shù)坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系求得SKIPIF1<0的坐標(biāo)關(guān)于SKIPIF1<0的表達(dá)式．作換元SKIPIF1<0，利用點(diǎn)A在橢圓上，得到SKIPIF1<0，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得SKIPIF1<0的最大值【詳解】（Ⅰ）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0；（Ⅱ）[方法一]：韋達(dá)定理基本不等式法設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在拋物線上，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0.[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.將直線SKIPIF1<0的方程代入橢圓SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0.將直線SKIPIF1<0的方程代入拋物線SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取到最大值為SKIPIF1<0.[方法三]：點(diǎn)差和判別式法設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因?yàn)榇嬖赟KIPIF1<0，所以上述關(guān)于SKIPIF1<0的二次方程有解，即判別式SKIPIF1<0．

①由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0，將此式代入①式解得SKIPIF1<0．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為SKIPIF1<0時(shí)，p的最大值為SKIPIF1<0．[方法四]：參數(shù)法設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓方程中，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，此時(shí)M坐標(biāo)為SKIPIF1<0．典例5.（2023春·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，動直線SKIPIF1<0交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M．點(diǎn)N是M關(guān)于O的對稱點(diǎn)，SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0．設(shè)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由離心率SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再根據(jù)橢圓SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，代入橢圓方程，進(jìn)而可求出SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得到關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可求得點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，進(jìn)而得出SKIPIF1<0的表達(dá)式，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，進(jìn)而可求得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的最小值，及SKIPIF1<0的最小值.【詳解】（1）∵橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又橢圓C過點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則橢圓C的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號成立，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，此時(shí)直線SKIPIF1<0的斜率是0．綜上所述：當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)關(guān)系之間的關(guān)系、弦長、斜率、面積等問題.【規(guī)律方法】1.最值問題的常見方法(1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系．(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個(gè)參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系．(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式．(4)利用基本不等式．2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．考向二探索性問題【核心知識】1.圓錐曲線中探索問題的求解策略（1）此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種．若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，不成立則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對參數(shù)的討論．（2）求解步驟：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．2.存在性問題常用方法：法1：特值探路；法2：假設(shè)存在..

【典例分析】典例6.（2022·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)校考競賽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線SKIPIF1<0.過原點(diǎn)SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)和SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸同側(cè).(1)求四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍；(2)設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的兩漸近線分別交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，是否存在直線SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)？若存在，求出直線SKIPIF1<0的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由見解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后可求SKIPIF1<0，從而可求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的取值范圍，利用面積公式可求四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，結(jié)合基本不等式可求面積的范圍.（2）設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由三等分點(diǎn)在雙曲線上可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，代數(shù)變形后可得矛盾，從而可判斷直線SKIPIF1<0不存在.【詳解】（1）由題設(shè)可知直線SKIPIF1<0的斜率均存在且均不為零.設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.同理SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0故四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，在SKIPIF1<0上為減函數(shù).因此，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍為SKIPIF1<0.（2）先考慮SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方，且SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0在第二象限.設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，則SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，無解.故滿足條件的直線SKIPIF1<0不存在，由雙曲線的對稱性可得直線SKIPIF1<0不存在.典例7.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程：（2）點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為垂足．證明：存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）詳見解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于SKIPIF1<0的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為SKIPIF1<0,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到SKIPIF1<0的關(guān)系，進(jìn)而得直線SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)SKIPIF1<0的位置.【詳解】（1）由題意可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故橢圓方程為：SKIPIF1<0.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0斜率存在時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，代入橢圓方程消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0,代入整理可得：SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，整理化簡得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0不在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn)SKIPIF1<0.當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.此時(shí)直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合，則由題設(shè)知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的斜邊，故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，則SKIPIF1<0，故存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．將直線SKIPIF1<0方程與橢圓方程聯(lián)立得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．代入直線SKIPIF1<0方程中得SKIPIF1<0．則在新坐標(biāo)系下直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，則在原坐標(biāo)系下直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，D在以SKIPIF1<0為直徑的圓上．SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線SKIPIF1<0垂直于x軸時(shí)也成立．故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點(diǎn)處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由題意得SKIPIF1<0．則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線SKIPIF1<0可表示為SKIPIF1<0（其中