新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專(zhuān)題19 解析幾何中的定值、定點(diǎn)和定線問(wèn)題（練）（解析版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專(zhuān)題19解析幾何中的定值、定點(diǎn)和定線問(wèn)題（練）【對(duì)點(diǎn)演練】一、單選題1．（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與雙曲線SKIPIF1<0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）條．A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且分別與漸近線平行的兩條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．【詳解】由雙曲線SKIPIF1<0得其漸近線方程為SKIPIF1<0．①過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且分別與漸近線平行的兩條直線SKIPIF1<0與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；②設(shè)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與雙曲線相切的直線為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．則切線SKIPIF1<0分別與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上可知：過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與雙曲線SKIPIF1<0僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有4條．故選:SKIPIF1<0.2．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，下列各點(diǎn)中到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為定值的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，聯(lián)立拋物線方程再利用SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，法一：可知H在圓上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行判斷，法二再由SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，代入選項(xiàng)逐一驗(yàn)證是否為定值即可得出答案.【詳解】法一：設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0聯(lián)立直線和拋物線方程整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；則直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)D（4,0）因?yàn)镾KIPIF1<0，則點(diǎn)H在為直徑的圓上（其中圓心坐標(biāo)為OD中點(diǎn)（2,0）），故（2,0）到H的距離為定值故選：B法二：設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0聯(lián)立直線和拋物線方程整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0對(duì)于A，SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0不是定值；對(duì)于B，SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0為定值；對(duì)于C，SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0不是定值；對(duì)于D，SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0不是定值.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問(wèn)題通常思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進(jìn)行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況.二、多選題3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓SKIPIF1<0的上下頂點(diǎn)分別SKIPIF1<0，焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓上異于SKIPIF1<0的一動(dòng)點(diǎn)，離心率為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0B．離心率SKIPIF1<0越接近SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0越扁平C．直線SKIPIF1<0的斜率之積為定值SKIPIF1<0D．存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根據(jù)橢圓定義可知焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，結(jié)合離心率轉(zhuǎn)化即可知A正確；根據(jù)橢圓離心率與橢圓形狀的關(guān)系可知B正確；設(shè)SKIPIF1<0，結(jié)合兩點(diǎn)連線斜率公式化簡(jiǎn)可得斜率之積，知C錯(cuò)誤；將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)SKIPIF1<0為短軸端點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，利用余弦定理可構(gòu)造齊次不等式求得SKIPIF1<0的范圍，知D正確.【詳解】對(duì)于A，由橢圓定義知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，A正確；對(duì)于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0越接近SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的值越小，則橢圓越扁平，B正確；對(duì)于C，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)SKIPIF1<0為短軸端點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0若存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0為短軸端點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D正確.故選；ABD.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸正半軸上一點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0任意作弦SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0為定值B．不存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0任意作弦SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0為定值C．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0任意作弦SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0為定值D．不存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0任意作弦SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0為定值【答案】AD【分析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與拋物線方程得SKIPIF1<0，由兩點(diǎn)間的距離公式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而可判斷A正確，B錯(cuò)誤；進(jìn)而可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得此式不為定值，即可得故C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0，故A正確，B錯(cuò)誤；由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0為定值，則必有SKIPIF1<0，而此方程組無(wú)解，所以SKIPIF1<0不為定值，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.三、解答題5．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，周長(zhǎng)為8的SKIPIF1<0的頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓E的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在E上，且邊BC過(guò)E的右焦點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M，N,點(diǎn)SKIPIF1<0若直線PM,PN與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S，T，證明：直線ST過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)橢圓定義直接求解即可；（2）求出SKIPIF1<0的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線SKIPIF1<0方程即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意知，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓方程為SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0（2）由題意知，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0斜率均存在，所以直線SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<06．（2022秋·四川成都·高三成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中恰有三點(diǎn)在橢圓SKIPIF1<0上．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸不重合的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0內(nèi)切圓的圓心在定直線上．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定在橢圓上，然后分別討論SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓上的情況，從而可求出橢圓方程，（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明SKIPIF1<0的角平分線為定直線，只要證SKIPIF1<0，將直線方程代入橢圓方程消去SKIPIF1<0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入上式化簡(jiǎn)即可得結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定在橢圓上，若SKIPIF1<0也在橢圓上，則SKIPIF1<0，方程組無(wú)解，所以SKIPIF1<0為橢圓上第三個(gè)點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．要證明SKIPIF1<0內(nèi)切圓的圓心在定直線上，由對(duì)稱(chēng)性和內(nèi)心的定義，即證明SKIPIF1<0的角平分線為定直線，即證SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0得證，即SKIPIF1<0內(nèi)切圓的圓心在定直線SKIPIF1<0上．7．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓SKIPIF1<0交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若動(dòng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，證明：SKIPIF1<0的面積為定值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的面積為定值SKIPIF1<0,證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，由題意有SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與雙曲線的漸近線聯(lián)立方程組，求得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求得SKIPIF1<0，根據(jù)方程解出SKIPIF1<0，得雙曲線SKIPIF1<0的方程.（2）根據(jù)（1）中解得的SKIPIF1<0兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出SKIPIF1<0的面積，由直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，聯(lián)立方程組消元后判別式為0，化簡(jiǎn)后得定值.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為定值.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1.雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，而雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0(即SKIPIF1<0)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.2.解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．8．（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0左右頂點(diǎn)，焦點(diǎn)到漸近線的距離為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0連線與雙曲線右支交于另一點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0連線與雙曲線右支交于另一點(diǎn)D.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線SKIPIF1<0是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0.【分析】（1）由題意即可得到答案（2）設(shè)出SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與雙曲線方程得到關(guān)于SKIPIF1<0的韋達(dá)定理，由SKIPIF1<0三點(diǎn)共線得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得到SKIPIF1<0，即可得到答案.【詳解】（1）依題可知SKIPIF1<0，雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為SKIPIF1<0，即雙曲線方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，則SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（*）將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入（*）式化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.9.（2023秋·天津?yàn)I海新·高三大港一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，（?。┰O(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限，且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（ⅱ）連接SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，射線SKIPIF1<0上存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為定值，已知點(diǎn)SKIPIF1<0在定直線上，求SKIPIF1<0所在定直線方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)（ⅰ）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（ⅱ）SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0，結(jié)合橢圓SKIPIF1<0關(guān)系可得SKIPIF1<0，由此可得橢圓方程；（2）（?。┰O(shè)SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0聯(lián)立可得SKIPIF1<0坐標(biāo)；與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求得SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)；利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得SKIPIF1<0的值；（ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)可求得SKIPIF1<0斜率，進(jìn)而得到SKIPIF1<0方程，與圓的方程聯(lián)立可得SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)SKIPIF1<0，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算表示出SKIPIF1<0，可知若SKIPIF1<0為定值，則SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0；當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證可知SKIPIF1<0滿(mǎn)足題意，由此可得定直線方程.【詳解】（1）SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.（2）（?。┯桑?）得：SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（ⅱ）由題意知：圓SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；不妨令SKIPIF1<0位于第一象限，可設(shè)SKIPIF1<0，由（ⅰ）知：SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0斜率存在，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為定值，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0不為定值，不合題意；若直線SKIPIF1<0斜率不存在，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿(mǎn)足題意；綜上所述：點(diǎn)SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上.10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，過(guò)A作直線交拋物線C于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若M是線段AN的中點(diǎn)，求直線SKIPIF1<0的方程；(3)若P，Q是準(zhǔn)線l上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，問(wèn)直線PM與QN的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)在定直線上，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式即可求出；（2）設(shè)直線MN的方程SKIPIF1<0，與拋物線聯(lián)立即可利用M是線段AN的中點(diǎn)求出m，從而求出直線SKIPIF1<0的方程；（3）設(shè)SKIPIF1<0，即可求出直線PM與QN的方程，聯(lián)立即可解出交點(diǎn)，從而可以判斷交點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）根據(jù)題意，得因?yàn)閽佄锞€SKIPIF1<0，所以準(zhǔn)線為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由題意可知，直線SKIPIF1<0的斜率不為0，故設(shè)直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而M是線段AN的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線MN的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（3）直線MN的方程SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，，所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線SKIPIF1<0上．【沖刺提升】1．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是1，記點(diǎn)P的軌跡為C．(1)求證：曲線C是雙曲線的一部分：(2)設(shè)直線l與C相切，與其漸近線分別相交于M、N兩點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0的面積為定值【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)P的坐標(biāo)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)斜率乘積為1列出方程，求出軌跡方程，判斷出曲線C是雙曲線的一部分；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，得到直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由根的判別式等于0得到SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，求出直線l的方程為：SKIPIF1<0，與兩漸近線聯(lián)立求出SKIPIF1<0兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出SKIPIF1<0，結(jié)合以△OMN為直角三角形求出面積為定值4.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，則直線AP，BP的斜率分別為：SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0．故曲線C的方程為：SKIPIF1<0，所以曲線C是除去頂點(diǎn)的雙曲線，是雙曲線的一部分；（2）設(shè)直線l與C相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，斜率為k，則SKIPIF1<0，則直線l的方程為：SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立整理得：SKIPIF1<0①，雙曲線SKIPIF1<0漸近線為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0②，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0③，由②③得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直線l的方程為：SKIPIF1<0．雙曲線C的兩條漸近線方程為SKIPIF1<0，所以△OMN為直角三角形．不妨設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點(diǎn)為M，解得SKIPIF1<0，同理，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點(diǎn)為N，解得SKIPIF1<0，可求得：SKIPIF1<0，所以△OMN的面積SKIPIF1<0，故△OMN的面積為定值．【點(diǎn)睛】定值問(wèn)題常見(jiàn)方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.2．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓SKIPIF1<0的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸，且過(guò)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn).(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0的方程，可得出關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）分兩種情況討論：①直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合，直接驗(yàn)證結(jié)論成立；②直線SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸重合，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與橢圓SKIPIF1<0的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算得出SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0軸平分SKIPIF1<0，利用角平分線的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.綜合可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立；若直線SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸重合，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0軸平分SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.綜上所述，SKIPIF1<0.3．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，橢圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，已知圓SKIPIF1<0將橢圓SKIPIF1<0的長(zhǎng)軸三等分，橢圓SKIPIF1<0右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓SKIPIF1<0相交于點(diǎn)A，B．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0分別與橢圓SKIPIF1<0相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，M．求證：直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意列式求解SKIPIF1<0，即可得答案；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程，與橢圓方程聯(lián)立求SKIPIF1<0的坐標(biāo)，進(jìn)而可求直線SKIPIF1<0的方程，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）由題意知直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為k，則直線SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的直徑，點(diǎn)E在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，故用SKIPIF1<0去替代k得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算SKIPIF1<0；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．（2022秋·福建福州·高三?？计谀┮阎獧E圓C：SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．右焦點(diǎn)為F，縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0的點(diǎn)M在C上，且AF⊥MF．(1)求C的方程；(2)設(shè)過(guò)A與x軸垂直的直線為l，縱坐標(biāo)不為0的點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F作直線PA的垂線交l于點(diǎn)Q，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0；證明過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】（1）由題可得SKIPIF1<0，結(jié)合條件可知SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0的方程，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線SKIPIF1<0的方程，結(jié)合條件變形即得.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的垂線的斜率為SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，在直線SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，常利用直線的點(diǎn)斜式方程SKIPIF1<0或截距式SKIPIF1<0來(lái)證明．5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，下頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，且直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)SKIPIF1<0的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（異于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線上．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可知SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則原點(diǎn)O到直線SKIPIF1<0的距離為1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式解得SKIPIF1<0，橢圓中滿(mǎn)足SKIPIF1<0，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線l方程為SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，聯(lián)立兩直線方程求交點(diǎn)，再根據(jù)韋達(dá)定理，即可得到SKIPIF1<0，得證點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線SKIPIF1<0上.【詳解】（1）解：由題可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，所以原點(diǎn)O到直線SKIPIF1<0的距離為1，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）由過(guò)SKIPIF1<0的直線l不過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可設(shè)其直線方程為SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0設(shè)直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0及SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線SKIPIF1<0上，得證．6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn).(1)求SKIPIF1<0的方程.(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作斜率不為0的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.證明：①SKIPIF1<0為定值；②點(diǎn)SKIPIF1<0在定直線上.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由條件列出關(guān)于SKIPIF1<0的方程，解方程可得SKIPIF1<0，由此可得橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)①聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式求SKIPIF1<0即可證明；②求出直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0方程，聯(lián)立求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，由此證明點(diǎn)SKIPIF1<0在定直線上.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0；（2）①因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率不為0，所以可設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的判別式SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.兩式相除得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．從而SKIPIF1<0；②由①知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0