微積分第一講市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

微積分

第一講馬黎

（.4.15）第1頁第一講函數(shù)介紹第一次數(shù)學危機----數(shù)域擴張第2頁1.數(shù)學危機

為了講清楚數(shù)學危機來龍去脈，我們首先要說明什么是數(shù)學危機。普通來講，危機是一個激化、非處理不可矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在、不可防止，即便以確定無疑著稱數(shù)學也不例外。在整個數(shù)學發(fā)展歷史上，貫通著矛盾斗爭與處理。而在矛盾激化到包括整個數(shù)學基礎(chǔ)時，就產(chǎn)生數(shù)學危機。第3頁2、歷史背景從某種意義上來講，當代意義下數(shù)學（也就是作為演繹系統(tǒng)純粹數(shù)學）起源于古希臘畢達哥拉斯學派。這個學派興旺時期為公元前5左右，它是一個唯心主義流派。他們重視自然及社會中不變原因研究，把幾何、算術(shù)、天文學、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙友好及規(guī)律性。他們認為“萬物皆數(shù)”，認為數(shù)學知識是可靠、準確，而且能夠應(yīng)用于現(xiàn)實世界。畢達哥拉斯學派信條：宇宙間一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。第4頁

當初人只有「有理數(shù)」觀念是絕不奇怪。對于整數(shù)，在數(shù)在線我們能夠知道是一點點分散，而且點與點之間距離是一，那就是說，整數(shù)不能完全填滿整條數(shù)線，但有理數(shù)則不一樣了，我們發(fā)覺任何兩個有理數(shù)之間，必定有另一個有理數(shù)存在，比如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，所以令人很輕易認為「有理數(shù)」能夠完全填滿整條數(shù)線，「有理數(shù)」就是等于一切數(shù)，可惜這個想法是錯。第5頁3、畢達哥拉斯定理（畢氏鐵拳）含有戲劇性是由畢達哥拉斯建立畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數(shù)學信仰“掘墓人”。畢達哥拉斯發(fā)覺了現(xiàn)時眾所周知畢達哥拉斯定理（其實中國于公元前一千一百年已經(jīng)有此定理叫勾股定理），畢達哥拉斯定理提出后，其學派中一個組員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1正方形其對角線長度是多少呢？第6頁

一個不能表成整數(shù)比數(shù)：

依據(jù)畢達哥拉斯定理，邊長為1正方形，其對角線長度若記為c，則推出。如圖:

C

1第7頁

希帕索斯(Hippasus)一個正方形對角線與其一邊長度是不可公度？

第8頁他發(fā)覺這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。亦即是說有理數(shù)并非一切數(shù)，存在有理數(shù)以外數(shù)，有理數(shù)不能夠完全填滿整條數(shù)線，他們心中信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪信念完全被粉碎。希帕索斯發(fā)覺造成了數(shù)學史上第一個無理數(shù)√2誕生。小小√2出現(xiàn)，卻在當初數(shù)學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派數(shù)學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。第9頁有些人說，這種性質(zhì)是希帕索斯約在公元前4發(fā)覺，為此，他同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經(jīng)知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不論怎樣，這個發(fā)覺對古希臘數(shù)學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學一些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之數(shù)卻能夠由幾何量表示出來。整數(shù)尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學開始在希臘數(shù)學中占有特殊地位。第10頁實際上，這一偉大發(fā)覺不不過對畢達哥拉斯學派致命打擊。對于當初全部古希臘人觀念這都是一個極大沖擊。這一結(jié)論悖論性表現(xiàn)在它與常識沖突上：任何量，在任何準確度范圍內(nèi)都能夠表示成有理數(shù)。這不但在希臘當初是人們普遍接收信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確！第11頁可是為我們經(jīng)驗所確信，完全符合常識論斷竟然被小小√2存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬事！它簡直把以前所知道事情根本推翻了。更糟糕是，面對這一荒謬人們竟然毫無方法。這就在當初直接造成了人們認識上危機，從而造成了西方數(shù)學史上一場大風波，史稱“第一次數(shù)學危機”。在當初數(shù)學界來說，是一個極大震撼，也是歷史上「第一次數(shù)學危機」。第12頁4、新一頁

原來“第一次數(shù)學危機”是“無理數(shù)”發(fā)覺，不過它還說出了“有理數(shù)”不完備性，亦即有理數(shù)不能夠完全填滿整條數(shù)線，在有理數(shù)之間還有“空隙”，無疑這些都是可被證實事實，是不能否定。面對著事實，數(shù)學家展開遼闊胸襟，把“無理數(shù)”引入數(shù)學大家庭，令數(shù)學更豐富更完備，加添了無理數(shù)，數(shù)線終于被填滿了。第13頁

矛盾消除，危機處理，往往給數(shù)學帶來新內(nèi)容，新進展，甚至引發(fā)革命性變革，這也反應(yīng)出矛盾斗爭是事物發(fā)展歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學發(fā)展史就是矛盾斗爭歷史，斗爭結(jié)果就是數(shù)學領(lǐng)域發(fā)展。第14頁5、數(shù)域擴張

人類最早認識是自然數(shù)。從引進零及負數(shù)就經(jīng)歷過斗爭：要么引進這些數(shù)，要么大量數(shù)減法就行不通；一樣，引進分數(shù)使乘法有了逆運算——除法，不然許多實際問題也不能處理。不過接著又出現(xiàn)了√2

這么問題，數(shù)域就是這么在不停擴張。第15頁

數(shù)分類數(shù)域第16頁回顧以前各種數(shù)學，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學也是從實際出發(fā)，應(yīng)用到實際問題中去。比如泰勒斯預(yù)測日食，利用影子距離計算金字塔高度，測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國數(shù)學，并沒有經(jīng)歷過這么危機和革命，所以也就一直停留在“算學”階段。而希臘數(shù)學則走向了完全不一樣道路，形成了歐幾里得《幾何原本》公理體系與亞里士多德邏輯體系。第17頁

一、函數(shù)生活中函數(shù)舉例函數(shù)慣用表示法

列表法圖像法解析式法

第一章函數(shù)第18頁

一、區(qū)間與鄰域（一）區(qū)間

以上區(qū)間稱為有限區(qū)間第一章函數(shù)第19頁

以上區(qū)間稱為無限區(qū)間第20頁

（二）鄰域第21頁二函數(shù)第22頁2.函數(shù)記號第23頁第24頁

3

.約定:定義域是自變量所能取使算式有意義一切實數(shù)值.第25頁第26頁第27頁第28頁求定義域標準1）分母不為零（ln1=0）2）開偶次方時被開方數(shù)非負3）對數(shù)真數(shù)為正第29頁第30頁分段函數(shù)定義域第31頁第32頁介紹幾個慣用符號第33頁三、函數(shù)特征M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1.函數(shù)有界性:第34頁2．函數(shù)單調(diào)性:xyo第35頁xyo第36頁【注】偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱yxox-x3.函數(shù)奇偶性:第37頁yxox-x【注】奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱第38頁第39頁4.函數(shù)周期性第40頁五、分段函數(shù)在自變量不一樣取值范圍內(nèi)，用不一樣公式表示函數(shù)，稱為分段函數(shù).【注】分段函數(shù)定義域是各段定義域并集

如符號函數(shù)

-11xyo第41頁例4解故第42頁三、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是指以下六類函數(shù)：常量函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)．1.常數(shù)函數(shù)

第43頁2.冪函數(shù)第44頁3.指數(shù)函數(shù)第45頁4.對數(shù)函數(shù)第46頁5.三角函數(shù)函數(shù)第47頁5.三角函數(shù)函數(shù)第48頁5.三角函數(shù)函數(shù)第49頁5.三角函數(shù)函數(shù)第50頁6.反三角函數(shù)函數(shù)第51頁6.反三角函數(shù)函數(shù)第52頁6.反三角函數(shù)函數(shù)第53頁6.反三角函數(shù)函數(shù)第54頁第55頁四、函數(shù)運算：復合函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次函數(shù)復合步驟所組成并可用一個式子表示函數(shù),稱為初等函數(shù).第56頁第57頁第58頁第59頁函數(shù)起源近代數(shù)學本質(zhì)上能夠說是變量數(shù)學，而變量數(shù)學興起是因為解析幾何創(chuàng)建。解析幾何基本思想是平面上引進所謂坐標概念，以此在平面上點和有序?qū)崝?shù)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。解析幾何創(chuàng)造歸功于兩位法國數(shù)學家笛卡爾（R.Descartes，1596-1650）和費馬（P.de.Fermat1601-1665）.解析幾何是代數(shù)和幾何相結(jié)合產(chǎn)物，他將變量引進到數(shù)學，使運動與改變定量表述稱為可能，從而為微積分創(chuàng)建打下基礎(chǔ)。第60頁函數(shù)（function）一詞最初是由德國數(shù)學家萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646-1716）在1692年開始使用。1734年瑞士數(shù)學家歐拉（L.Euler，1707-1783）引入了符號f(x)，并稱變量函數(shù)是一個解析表示式，認為函數(shù)是由一個公式確定數(shù)量關(guān)系。但，當初函數(shù)概念依然是比較含糊。第61頁直到1837年，德國數(shù)學家狄利克雷（P.G.L.Dirichlet，1805-1859）提出。“假如對于一個x每一個值，y總有一個完全確定值與之對應(yīng)，則y是x函數(shù)。”這個定義才比較清楚地說明了函數(shù)內(nèi)涵：不論其對應(yīng)法則是公式、表格、圖像還是其它形式