陜西省漢臺中學2025屆高三下期中質量檢測試題數(shù)學試題含解析_第1頁
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陜西省漢臺中學2025屆高三下期中質量檢測試題數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下圖所示函數(shù)圖象經過何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位2.若集合,,則()A. B. C. D.3.已知雙曲線:(,)的右焦點與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.34.設函數(shù)的定義域為,滿足,且當時,.若對任意,都有,則的取值范圍是().A. B. C. D.5.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.56.已知拋物線的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點(設點位于第一象限),過點,分別作拋物線的準線的垂線,垂足分別為點,,拋物線的準線交軸于點,若,則直線的斜率為A.1 B. C. D.7.以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數(shù)(上一年同月)變化圖表,則以下說法錯誤的是()(注:圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份;圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是北京、天津、上海、重慶)A.3月份四個城市之間的居民消費價格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均B.4月份僅有三個城市居民消費價格指數(shù)超過102C.四個月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費價格指數(shù)增長幅度波動較小D.僅有天津市從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢8.已知集合,則集合真子集的個數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.89.的展開式中,滿足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.10.已知正項等比數(shù)列的前項和為,則的最小值為()A. B. C. D.11.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動,也叫桌球(中國粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國地區(qū)的叫法)控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術,一次臺球技術表演節(jié)目中,在臺球桌上,畫出如圖正方形ABCD,在點E,F(xiàn)處各放一個目標球,表演者先將母球放在點A處,通過擊打母球,使其依次撞擊點E,F(xiàn)處的目標球,最后停在點C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長為()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm12.()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,各項系數(shù)之和為,則展開式中的常數(shù)項為__________________.14.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則________.15.已知一個圓錐的底面積和側面積分別為和,則該圓錐的體積為________16.已知向量滿足,且,則_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,不等式恒成立,求的最小值;(2)設數(shù)列,其前項和為,證明:.18.(12分)已知.(1)求的單調區(qū)間;(2)當時,求證:對于,恒成立;(3)若存在,使得當時,恒有成立,試求的取值范圍.19.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.20.(12分)2019年底,北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募,僅一個月內報名人數(shù)便突破60萬,其中青年學生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學生志愿者中,按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試,所得成績(單位:分)統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中,英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人,記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡,現(xiàn)將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡員,要求每組的聯(lián)絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結論不要求證明)21.(12分)如圖,在中,,的角平分線與交于點,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.22.(10分)已知函數(shù),為的導數(shù),函數(shù)在處取得最小值.(1)求證:;(2)若時,恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個單位得到.故選:.本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.2.B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質可得集合A,由集合性質表示形式即可求得,進而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.本題考查了集合關系的判斷與應用,集合的包含關系與補集關系的應用,屬于中檔題.3.A【解析】

由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關系,考查學生的運算能力,是一道容易題.4.B【解析】

求出在的解析式,作出函數(shù)圖象,數(shù)形結合即可得到答案.【詳解】當時,,,,又,所以至少小于7,此時,令,得,解得或,結合圖象,故.故選:B.本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍,考查學生數(shù)形結合的思想,是一道中檔題.5.C【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎題.6.C【解析】

根據(jù)拋物線定義,可得,,又,所以,所以,設,則,則,所以,所以直線的斜率.故選C.7.D【解析】

采用逐一驗證法,根據(jù)圖表,可得結果.【詳解】A正確,從圖表二可知,3月份四個城市的居民消費價格指數(shù)相差不大B正確,從圖表二可知,4月份只有北京市居民消費價格指數(shù)低于102C正確,從圖表一中可知,只有北京市4個月的居民消費價格指數(shù)相差不大D錯誤,從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢故選:D本題考查圖表的認識,審清題意,細心觀察,屬基礎題.8.C【解析】

解出集合,再由含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選:C此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應用,含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個,屬于基礎題.9.B【解析】

,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【詳解】當時,的展開式中的系數(shù)為.當,時,系數(shù)為;當,時,系數(shù)為;當,時,系數(shù)為;故滿足的的系數(shù)之和為.故選:B.本題考查二項式定理,掌握二項式定理和多項式乘法是解題關鍵.10.D【解析】

由,可求出等比數(shù)列的通項公式,進而可知當時,;當時,,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當時,;當時,,則的最小值為.故選:D.本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法,考查等比數(shù)列的性質,考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.11.D【解析】

過點做正方形邊的垂線,如圖,設,利用直線三角形中的邊角關系,將用表示出來,根據(jù),列方程求出,進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線,如圖,設,則,,則,因為,則,整理化簡得,又,得,.即該正方形的邊長為.故選:D.本題考查直角三角形中的邊角關系,關鍵是要構造直角三角形,是中檔題.12.A【解析】

分子分母同乘,即根據(jù)復數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A本題考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

利用展開式各項系數(shù)之和求得的值,由此寫出展開式的通項,令指數(shù)為零求得參數(shù)的值,代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式各項系數(shù)和為,得,所以,的展開式通項為,令,得,因此,展開式中的常數(shù)項為.故答案為:.本題考查二項展開式中常數(shù)項的計算,涉及二項展開式中各項系數(shù)和的計算,考查計算能力,屬于基礎題.14.【解析】

利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.本題考查利用正弦定理實現(xiàn)邊角互化,屬基礎題.15.【解析】

依據(jù)圓錐的底面積和側面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積。【詳解】設圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為。本題主要考查圓錐的底面積、側面積和體積公式的應用。16.【解析】

由數(shù)量積的運算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)證明見解析.【解析】

(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.【詳解】(1)由,得.當時,方程的,因此在區(qū)間上恒為負數(shù).所以時,,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立;當時,方程有兩個不等實根,且滿足,所以函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上大于零,函數(shù)在區(qū)間上單增,又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;當時,在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),所以在區(qū)間上恒為正數(shù),不滿足題意;綜上可知:若時,不等式恒成立,的最小值為.(2)由第(1)知:若時,.若,則,即成立.將換成,得成立,即,以此類推,得,,上述各式相加,得,又,所以.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題,考查學生的邏輯推理能力以及數(shù)學計算能力,是一道難題.18.(1)單調減區(qū)間為,單調增區(qū)間為;(2)詳見解析;(3).【解析】

試題分析:(1)對函數(shù)求導后,利用導數(shù)和單調性的關系,可求得函數(shù)的單調區(qū)間.(2)構造函數(shù),利用導數(shù)求得函數(shù)在上遞減,且,則,故原不等式成立.(3)同(2)構造函數(shù),對分成三類,討論函數(shù)的單調性、極值和最值,由此求得的取值范圍.試題解析:(1),當時,.解得.當時,解得.所以單調減區(qū)間為,單調增區(qū)間為.(2)設,當時,由題意,當時,恒成立.,∴當時,恒成立,單調遞減.又,∴當時,恒成立,即.∴對于,恒成立.(3)因為.由(2)知,當時,恒成立,即對于,,不存在滿足條件的;當時,對于,,此時.∴,即恒成立,不存在滿足條件的;當時,令,可知與符號相同,當時,,,單調遞減.∴當時,,即恒成立.綜上,的取值范圍為.點睛:本題主要考查導數(shù)和單調區(qū)間,導數(shù)與不等式的證明,導數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調區(qū)間,這是導數(shù)問題的基本題型,也是基本功,先求定義域,然后求導,要注意通分和因式分解.二、三兩問一個是恒成立問題,一個是存在性問題,要注意取值是最大值還是最小值.19.(1),;(2).【解析】

(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因為在中,,所以,因為(當且僅當時取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因為為中線,所以,,所以,因為,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因為為角平分線,,,或2,所以,或,所以.本題考查了平面向量數(shù)量積的性質及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應用,屬于中檔題.20.(Ⅰ)萬;(Ⅱ)分布列見解析,;(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)比例關系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為,計算概率得到分布列,再計算數(shù)學期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為,故,解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在分以上的有人,故人數(shù)為:萬人.(Ⅱ)8名男生中,測試成績在70分以上的有人,的可能取值為:.,,.故分布列為:.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為,故,故.故的最小值為.本題考查了樣本估計總體,分布列,數(shù)學期望,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.21.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,進而得,在中,由正弦定理得,所以的面積即可得解.試題解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.所以的面積.22.(1)見解析;(2).【解析】

(1)對求導,令,求導研究單調性,分析可得存在使得,即,即得證;(2)分,兩種情況討論,當時,轉化利用均值不等式即得證;當,有兩個不同的零點,,分析可得的最小值為,分,討論即得解.【詳解】(1)由題意,令,則,知為的增函數(shù),因為,,所以,存在使得,即.所以,當時,為減函數(shù),當時,為增函數(shù),故當時,取得最

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