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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù),,則()A. B. C. D.2.已知函數(shù)若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知點在雙曲線上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.已知隨機變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,5.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x6.已知三棱錐P﹣ABC的頂點都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,則球O的表面積為()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④9.已知函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.已知復數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.11.已知直線:過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.12.若不相等的非零實數(shù),,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,,若,則數(shù)列的前n項和______.14.已知f(x)為偶函數(shù),當x≤0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)15.的展開式中的系數(shù)為________.16.數(shù)學家狄里克雷對數(shù)論,數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻,是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù),稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域為;②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫出所有正確的結(jié)論的序號)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,,,且的面積為.(1)求;(2)求的周長.18.(12分)數(shù)列滿足,,其前n項和為,數(shù)列的前n項積為.(1)求和數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求的前n項和,并證明:對任意的正整數(shù)m、k,均有.19.(12分)已知橢圓的短軸長為,左右焦點分別為,,點是橢圓上位于第一象限的任一點,且當時,.(1)求橢圓的標準方程;(2)若橢圓上點與點關(guān)于原點對稱,過點作垂直于軸,垂足為,連接并延長交于另一點,交軸于點.(?。┣竺娣e最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.20.(12分)在四棱錐的底面中,,,平面,是的中點,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)線段上是否存在點,使得,若存在指出點的位置,若不存在請說明理由.21.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)設(shè)函數(shù),對于任意,恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點睛:復數(shù)問題是高考數(shù)學中的常考問題,屬于得分題,主要考查的方面有:復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模、共軛復數(shù)以及復數(shù)的乘除運算,在運算時注意符號的正、負問題.2.D【解析】
由恒成立,等價于的圖像在的圖像的上方,然后作出兩個函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立,分別作出及的圖象,由圖知,當時,不符合題意,只須考慮的情形,當與圖象相切于時,由導數(shù)幾何意義,此時,故.故選:D【點睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.3.C【解析】
將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長,進而求得離心率.【詳解】將,代入方程得,而雙曲線的半實軸,所以,得離心率,故選C.【點睛】此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為隨機變量滿足,,.所以服從二項分布,由二項分布的性質(zhì)可得:,因為,所以,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點睛】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.5.A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結(jié)果.詳解:∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛:已知雙曲線方程x2a26.D【解析】
由題意畫出圖形,找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O,通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑,則答案可求.【詳解】如圖;設(shè)AB的中點為D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB為直角三角形,且斜邊為AB,故其外接圓半徑為:rAB=AD=2;設(shè)外接球球心為O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2?R2=(R)2+r2?R;∴球O的表面積為:4πR2=4π.故選:D.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,考查思維能力與計算能力,屬于中檔題.7.A【解析】
用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.8.B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當且僅當時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【點睛】本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.9.B【解析】
可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以.【詳解】在上單調(diào)遞增,且,所以.故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),利用單調(diào)性比大小等知識,考查了學生的運算求解能力.10.A【解析】
對復數(shù)進行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因為,所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.11.A【解析】
根據(jù)直線:過雙曲線的一個焦點,得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因為直線:過雙曲線的一個焦點,所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】
由題意,可得,,消去得,可得,繼而得到,代入即得解【詳解】由,,成等差數(shù)列,所以,又,,成等比數(shù)列,所以,消去得,所以,解得或,因為,,是不相等的非零實數(shù),所以,此時,所以.故選:A【點睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查了學生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
,求得的通項,進而求得,得通項公式,利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列,∴,∴,∴,∴,故答案為【點睛】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項,等比數(shù)列求和,熟記等差等比性質(zhì),熟練運算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.14.y=2x【解析】試題分析:當x>0時,-x<0,則f(-x)=ex-1+x.又因為f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以f'【考點】函數(shù)的奇偶性、解析式及導數(shù)的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當x>0時,函數(shù)y=f(x),則當x<0時,求函數(shù)的解析式”.有如下結(jié)論:若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則當x<0時,函數(shù)的解析式為y=-f(x);若f(x)為奇函數(shù),則函數(shù)的解析式為y=-f(-x).15.80.【解析】
只需找到展開式中的項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項為,令,則,故的展開式中的系數(shù)為80.故答案為:80.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用,涉及到展開式中的特殊項系數(shù),考查學生的計算能力,是一道容易題.16.②【解析】
根據(jù)新定義,結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③,由定義求得比小的有理數(shù)個數(shù),即可確定④.【詳解】對于①,由定義可知,當為有理數(shù)時;當為無理數(shù)時,則值域為,所以①錯誤;對于②,因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù),無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù),所以滿足,所以②正確;對于③,因為,當為無理數(shù)時,可以是有理數(shù),也可以是無理數(shù),所以③錯誤;對于④,由定義可知,所以④錯誤;綜上可知,正確的為②.故答案為:②.【點睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用,正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理對式子化簡求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面積,求解三角形的周長即可.【詳解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周長為【點睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,也考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(1),;(2),證明見解析【解析】
(1)利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項公式.(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和,進一步利用放縮法求出結(jié)論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數(shù)列,,,當時,數(shù)列的前項積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.【點睛】本題考查的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項和的應(yīng)用,裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題.19.(1);(2)(?。?;(ⅱ)證明見解析.【解析】
(1)由,解方程組即可得到答案;(2)(?。┰O(shè),,則,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)設(shè)直線斜率為,直線方程為,聯(lián)立橢圓方程得到的坐標,再利用兩點的斜率公式計算即可.【詳解】(1)設(shè),由,得.將代入,得,即,由,解得,所以橢圓的標準方程為.(2)設(shè),,則,(ⅰ)易知為的中位線,所以,所以,又滿足,所以,得,故,當且僅當,即,時取等號,所以面積最大值為.(ⅱ)記直線斜率為,則直線斜率為,所以直線方程為.由,得,由韋達定理得,所以,代入直線方程,得,于是,直線斜率,所以直線與斜率之積為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及到橢圓中的最值及定值問題,在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時,一般會用到根與系數(shù)的關(guān)系,考查學生的數(shù)學運算求解能力,是一道有一定難度的題.20.(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,點為線段的中點.【解析】
(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形,得到證明.(Ⅱ)建立如圖所示坐標系,平面法向量為,平面的法向量,計算夾角得到答案.(Ⅲ)設(shè),計算,,根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.【詳解】(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形.平面.(Ⅱ)平面,四邊形為正方形.所以,,兩兩垂直,建立如圖所示坐標系,則,,,,設(shè)平面法向量為,則,連結(jié),可得,又所以,平面,平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則.(Ⅲ)線段上存在點使得,設(shè),,,,所以點為線段的中點.【點睛】本題考查了線面平行,二面角,根據(jù)垂直關(guān)系確定位置,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21.(1);(2)【解析】
(1)求出,即可求出切線的點斜式方程,整理即可;(2)的取值范圍滿足,,求出,當時求出,的解,得到單調(diào)區(qū)間,極小值最小值即可.【詳解】(1)由于,此時切點坐標為所以切線方程為.(2)由已知,故.由于,故,設(shè)由于在單調(diào)遞增同時時,,時,,故存在使得且當時,當時,所以當時,當時,所以當時,取得極小值,也是最小值,故由于,所以,.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問題,應(yīng)用導數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于中檔題.22.(1)證明見解
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