2024年山東省威海市中考真題數(shù)學(xué)試卷含答案解析

試題PAGE1試題試題PAGE2試題2024年山東省威海市中考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．一批食品，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋．現(xiàn)隨機(jī)抽取4個(gè)樣品進(jìn)行檢測(cè)，把超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示．那么，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，正負(fù)數(shù)的意義，直接利用正負(fù)數(shù)的意義以及絕對(duì)值的意義可得最接近標(biāo)準(zhǔn)是哪一袋．【詳解】解：∵超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示．∴∴最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是故選：C．2．據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國(guó)科學(xué)院量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國(guó)家并行計(jì)算機(jī)工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章三號(hào)”，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計(jì)算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄．“九章三號(hào)”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號(hào)”提升一百萬(wàn)倍，在百萬(wàn)分之一秒時(shí)間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)前最強(qiáng)的超級(jí)計(jì)算機(jī)花費(fèi)超過(guò)二百億年的時(shí)間．將“百萬(wàn)分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：百萬(wàn)分之一．故選：B．3．下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較即可求解．【詳解】解：，∵∴最小的數(shù)是故選：A．4．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、積的乘方，根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、積的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】A、，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；B、，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；C、，運(yùn)算正確，該選項(xiàng)符合題意；D、，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意．故選：C5．下列幾何體都是由四個(gè)大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三視圖；分別判斷四個(gè)選項(xiàng)中幾何體的主視圖、左視圖與俯視圖，通過(guò)比較即可得出答案．【詳解】解：A、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項(xiàng)不符合題意；B、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項(xiàng)不符合題意；C、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項(xiàng)不符合題意；D、主視圖為，左視圖和俯視圖為，主視圖、左視圖與俯視圖完全相同，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．6．如圖，在扇形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形的面積，即可求解．【詳解】解：∵，，∴四邊形是矩形，∴∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴∴∴∴，，點(diǎn)落在陰影部分的概率是故選：B．7．定義新運(yùn)算：①在平面直角坐標(biāo)系中，表示動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）．平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）平移個(gè)單位長(zhǎng)度．例如，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，記作．②加法運(yùn)算法則：，其中，，，為實(shí)數(shù)．若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)新定義得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴解得：，故選：B．8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，書(shū)中提到這樣一道題目：以繩測(cè)井．若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺．繩長(zhǎng)、井深各幾何？題目大意是：用繩子測(cè)量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長(zhǎng)比井深多尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長(zhǎng)比井深多尺．繩長(zhǎng)、井深各是多少尺？若設(shè)繩長(zhǎng)尺，井深尺，則符合題意的方程組是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，此題中的等量關(guān)系有：①將繩三折測(cè)之，繩多四尺；②繩四折測(cè)之，繩多一尺，不變的是井深，據(jù)此即可得方程組．正確理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)繩長(zhǎng)x尺，井深y尺，依題意，得：．故選：C．9．如圖，在中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，，交于點(diǎn)．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A，根據(jù)題意可得四邊形是的角平分線，進(jìn)而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項(xiàng)，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項(xiàng)，D選項(xiàng)給的條件，若加上，則成立，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴A.若，即，又，∴∴∴，故A選項(xiàng)正確，B.若，，，∴是的角平分線，∴∵∴∴∴∴四邊形是菱形，∴在中，∴∴又∵∴∴，故B選項(xiàng)正確，C.∵，∴∵，∴∴∴∴四邊形是菱形，∴，又∵∴，∵，∴垂直平分，∴∴，故C選項(xiàng)正確；D.若，則四邊形是菱形，由，且時(shí)，可得垂直平分，∵∴，故D選項(xiàng)不正確故選：D．10．同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車(chē)分別從地、地同時(shí)出發(fā)前往地．甲車(chē)速度始終保持不變，乙車(chē)中途休息一段時(shí)間，繼續(xù)行駛．下圖表示甲、乙兩車(chē)之間的距離（）與時(shí)間（）的函數(shù)關(guān)系．下列結(jié)論正確的是（

）A．甲車(chē)行駛與乙車(chē)相遇 B．，兩地相距C．甲車(chē)的速度是 D．乙車(chē)中途休息分鐘【答案】A【分析】本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得兩地之間的距離為（）兩車(chē)行駛了小時(shí)，同時(shí)到達(dá)地，如圖所示，在小時(shí)時(shí)，兩車(chē)同向運(yùn)動(dòng)，在第2小時(shí)，即點(diǎn)時(shí)，兩車(chē)距離發(fā)生改變，此時(shí)乙車(chē)休息，點(diǎn)的意義是兩車(chē)相遇，點(diǎn)意義是乙車(chē)休息后再出發(fā)，∴乙車(chē)休息了1小時(shí)，故D不正確，設(shè)甲車(chē)的速度為，乙車(chē)的速度為，根據(jù)題意，乙車(chē)休息后兩車(chē)同時(shí)到達(dá)地，則甲車(chē)的速度比乙車(chē)的速度慢，∵即在時(shí)，乙車(chē)不動(dòng)，則甲車(chē)的速度是，∴乙車(chē)速度為，故C不正確，∴的距離為千米，故B不正確，設(shè)小時(shí)兩輛車(chē)相遇，依題意得，解得：即小時(shí)時(shí)，兩車(chē)相遇，故A正確故選：A．二、填空題11．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：故答案為：．12．因式分解：．【答案】【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．13．如圖，在正六邊形中，，，垂足為點(diǎn)I．若，則．【答案】/50度【分析】本題考查了正六邊形的內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，即，則可求得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵正六邊形的內(nèi)角和，每個(gè)內(nèi)角為：，，，，，，，，，，．故答案為：．14．計(jì)算：．【答案】/【分析】本題考查分式的加減，根據(jù)同分母分式的加減法則解題即可．【詳解】．故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)，．則滿足的的取值范圍．【答案】或【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象解答即可求解，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，∴滿足的的取值范圍為或，故答案為：或．16．將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對(duì)折，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E．若，，，則．【答案】【分析】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出，然后證明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解題即可．【詳解】解：在中，，由折疊可得，，又∵是矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，，∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，故答案為．三、解答題17．某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批型節(jié)能燈，一年用電千瓦·時(shí)．后購(gòu)進(jìn)一批相同數(shù)量的型節(jié)能燈，一年用電千瓦·時(shí)．一盞型節(jié)能燈每年的用電量比一盞型節(jié)能燈每年用電量的倍少千瓦·時(shí)．求一盞型節(jié)能燈每年的用電量．【答案】千瓦·時(shí)【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列方程是關(guān)鍵，并注意檢驗(yàn)．根據(jù)兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時(shí)，則一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時(shí)整理得解得經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解．答：一盞型節(jié)能燈每年的用電量為千瓦·時(shí).18．為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校在八年級(jí)男生中試行“每日鍛煉，每月測(cè)試”的引體向上訓(xùn)練活動(dòng)，設(shè)定6個(gè)及以上為合格．體育組為了解一學(xué)期的訓(xùn)練效果，隨機(jī)抽查了20名男生2至6月份的測(cè)試成績(jī)．其中，2月份測(cè)試成績(jī)?nèi)绫?，6月份測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D1（尚不完整）．整理本學(xué)期測(cè)試數(shù)據(jù)得到表2和圖2（尚不完整）．2月份測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表個(gè)數(shù)人數(shù)表1本學(xué)期測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表1平均數(shù)/個(gè)眾數(shù)/個(gè)中位數(shù)/個(gè)合格率2月3月4月5月6月表2請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息，解答下列問(wèn)題：(1)將圖1和圖2中的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出a，b，c的值；(2)從多角度分析本次引體向上訓(xùn)練活動(dòng)的效果；(3)若將此活動(dòng)在鄰校八年級(jí)推廣，該校八年級(jí)男生按400人計(jì)算，以隨機(jī)抽查的20名男生訓(xùn)練成績(jī)?yōu)闃颖?，估算?jīng)過(guò)一學(xué)期的引體向上訓(xùn)練，可達(dá)到合格水平的男生人數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析，(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)總?cè)藬?shù)減去引體向上為其他個(gè)數(shù)的人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)題意求得合格率，補(bǔ)充折線統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)的定義，即可得出的值；（2）根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，合格率，分析；（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體即可求解．【詳解】（1）解：月測(cè)試成績(jī)中，引體向上個(gè)的人數(shù)為根據(jù)表2可得，；（2）解：本次引體向上訓(xùn)練活動(dòng)的效果明顯，從平均數(shù)和合格率看，平均數(shù)和合格率逐月增加，從中位數(shù)看，引體向上個(gè)數(shù)逐月增加，從眾數(shù)看，引體向上的個(gè)數(shù)越來(lái)越大，（答案不唯一，合理即可）（3）解：（人）答：估算經(jīng)過(guò)一學(xué)期的引體向上訓(xùn)練，可達(dá)到合格水平的男生人數(shù)為人【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，折線統(tǒng)計(jì)圖，統(tǒng)計(jì)表，樣本估計(jì)總體，以及求平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的意義；掌握相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量的意義是解題的關(guān)鍵．19．某校九年級(jí)學(xué)生開(kāi)展利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)之一是測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角．測(cè)量報(bào)告如下表（尚不完整）課題測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角成員組長(zhǎng)：×××

組員：×××，×××，×××測(cè)量工具竹竿，米尺測(cè)量示意圖說(shuō)明：是一根筆直的竹竿．點(diǎn)是竹竿上一點(diǎn)．線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到地面的距離．是要測(cè)量的傾斜角．測(cè)量數(shù)據(jù)…………(1)設(shè)，，，，，，，，請(qǐng)根據(jù)表中的測(cè)量示意圖，從以上線段中選出你認(rèn)為需要測(cè)量的數(shù)據(jù)，把表示數(shù)據(jù)的小寫(xiě)字母填寫(xiě)在“測(cè)量數(shù)據(jù)”一欄．(2)根據(jù)（）中選擇的數(shù)據(jù)，寫(xiě)出求的一種三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程．(3)假設(shè)，，，根據(jù)（）中的推導(dǎo)結(jié)果，利用計(jì)算器求出的度數(shù)，你選擇的按鍵順序?yàn)開(kāi)_______．【答案】(1)，，，；(2)，推導(dǎo)見(jiàn)解析；(3)．【分析】（）根據(jù)題意選擇需要的數(shù)據(jù)即可；（）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，得到，即得，得到，再根據(jù)正弦的定義即可求解；（）根據(jù)（）的結(jié)果即可求解；本題考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：需要的數(shù)據(jù)為：，，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵，∴，∴∴，即∴，∴；（3）解：∵，∴按鍵順序?yàn)?，故答案為：?0．感悟如圖1，在中，點(diǎn)，在邊上，，．求證：．應(yīng)用（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線上取點(diǎn)，點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），使得，且（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線上取一點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，使得，且（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：證明，即可求得；應(yīng)用（1）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，；應(yīng)用（2）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接．【詳解】感悟：∵，∴．在和中∴．∴．應(yīng)用：（1）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，，圖形如圖所示．（2）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，圖形如圖所示．根據(jù)作圖可得：，又，∴，∴.21．定義我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)A，B之間的距離．特別的，當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．應(yīng)用如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)A從表示的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度？(2)求點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值．【答案】(1)過(guò)4秒或6秒(2)3【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，根據(jù)“點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度”列方程求解即可；（2）先求出點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為，然后分，，三種情況討論，利用絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，根據(jù)題意，得，解得或6，答，經(jīng)過(guò)4秒或6秒，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）解：由（1）知：點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，即，綜上，，∴點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值為3．22．如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C，D在上，且．點(diǎn)E是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)F．的平分線交射線于點(diǎn)H，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)角平分線的定義得到是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，即可得到，然后根據(jù)角平分線的定義得到，然后得到即可證明切線；（2）設(shè)的半徑為，根據(jù)，可以求出，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接，則，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為，則，∵，即，解得，∴，，又∵∴，∴，即，解得．23．如圖，在菱形中，，，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作，交射線于點(diǎn)，連接．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處停止．設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)求證：；(2)求與的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；(3)求為何值時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)．【分析】（）設(shè)與相交于點(diǎn)，證明，可得，，利用三角形外角性質(zhì)可得，即得，即可求證；（）過(guò)點(diǎn)作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三線合一可得，即可由三角形面積公式得到與的函數(shù)表達(dá)式，最后由，可得自變量的取值范圍；（）證明為等邊三角形，可得，可知線段的長(zhǎng)度最短，即的長(zhǎng)度最短，當(dāng)時(shí)，取最短，又由菱形的性質(zhì)可得為等邊三角形，利用三線合一求出即可求解；本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，∵四邊形為菱形，∴，，，∵∴，在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于，則，∵，∴，∵四邊形