一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系1

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系等式與不等式一二知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程的解集1.思考什么是一元二次方程其解的情況如何提示:形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做一元二次方程.當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根;當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)根;當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí),方程無(wú)實(shí)根.一二2.填空

一二3.做一做關(guān)于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情況是

(

)A.兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根B.兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)根.答案:C一二知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1.思考(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩根x1,x2,其大小如何并求出x1+x2與x1x2的大小.(2)解方程x2-x-2=0,你能發(fā)現(xiàn)該方程的兩根與其系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系一二一二2.填空當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時(shí),其兩根x1,x2滿(mǎn)足如下關(guān)系:3.做一做一元二次方程3x2-6x-7=0的兩根和為

.

解析:設(shè)3x2-6x-7=0的兩根分別為x1,x2,答案:2探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)求一元二次方程的解集例1求方程x2+5x-2=0的解集.分析:利用公式法求解一元二次方程的兩根.解:∵x2+5x-2=0,探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

一元二次方程的常見(jiàn)解法(2)配方法:用配方法解一元二次方程的一般步驟是:①化二次項(xiàng)系數(shù)為1:用二次項(xiàng)系數(shù)去除方程兩邊,將方程化為x2+px+q=0的形式;②移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移至方程右邊,將方程化為x2+px=-q的形式;③配方:方程兩邊同時(shí)加上“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”,使方程左邊成為含有未知數(shù)的完全平方形式,右邊是一個(gè)常數(shù),把方程化為(x+m)2=n(n≥0)的形式;④用直接開(kāi)平方法解變形后的方程.探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)(3)因式分解法①平方差公式法;②完全平方公式法;③提取公因式法;④十字相乘法.(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為:探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究本例中兩根之積為多大探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-3=0.(1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m,判斷方程根的情況,并說(shuō)明理由;(2)若x=-1是這個(gè)方程的一個(gè)根,求m的值和方程的另一個(gè)根.分析:(1)根據(jù)判別式的意義判斷根的情況;(2)根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求方程的另一個(gè)根.解:(1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.(2)設(shè)方程的另一個(gè)根為x2,∴-1×x2=-3,解得x2=3.∵-1+3=m,∴m=2.探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

一元二次方程根的情況1.一元二次方程的判別式方程ax2+bx+c=0(a,b,c為實(shí)數(shù),且a≠0):當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,則有:(2)以?xún)蓚€(gè)實(shí)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練

已知關(guān)于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2.(1)求k的取值范圍;(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)整體代入法求代數(shù)式的值典例

若a是方程x2+x-2019=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則2a2+2a-1的值是

.

解析:∵a是方程x2+x-2

019=0的根,∴a2+a-2

019=0,即a2+a=2

019.∴2a2+2a-1=2×2

019-1=4

037.答案:4037方法點(diǎn)睛

根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2+a=2

019,然后利用整體代入法計(jì)算即可,而不需求出方程的根.探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)1.下列方程中,無(wú)實(shí)數(shù)根的方程是(

)A.x2+1=0 B.x2+x=0C.x2+x-1=0 D.x2=0解析:A.∵Δ=-4×1=-4<0,∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根;B.∵Δ=12>0,∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;C.∵Δ=12-4×1×(-1)=5>0,∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;D.∵Δ=0,∴方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根.故選A.答案:A探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)2.若關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是(

)A.m≤3且m≠2 B.m<3C.m≤3 D.m<3且m≠2解析:∵關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1即(m-2)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根,∴m-2≠0且Δ≥0,即22-4×(m-2)×1≥0,解得m≤3,∴m的取值范圍是m≤3且m≠2.故選A.答案:A探究一探究二思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)3