陜西省西安市東儀中學2025年高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題理試題含解析_第1頁
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文檔簡介

陜西省西安市東儀中學2025年高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題理試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項和,則()A.36 B.72 C. D.2.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務,要求是:任務A必須排在前三項執(zhí)行,且執(zhí)行任務A之后需立即執(zhí)行任務E,任務B、任務C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種3.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.4.以下四個命題:①兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1;②在回歸分析中,可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果,越小,模型的擬合效果越好;③若數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為4;④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù),其線性回歸方程,則“滿足線性回歸方程”是“,”的充要條件;其中真命題的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.15.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.7.若函數(shù)函數(shù)只有1個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.閱讀如圖的程序框圖,若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是()A. B. C. D.9.閱讀下面的程序框圖,運行相應的程序,程序運行輸出的結(jié)果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.810.已知等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.11.若復數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.12.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知單位向量的夾角為,則=_________.14.已知角的終邊過點,則______.15.已知,滿足,則的展開式中的系數(shù)為______.16.某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為,現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高三年級為12人,則抽取的樣本容量為________人.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長(單位:),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.(1)試估計的值;(2)設表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學期望和方差;②若隨機變量滿足,則認為.假設當時,燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計,在一場燈光展中,處于最佳燈光亮度的時長(結(jié)果保留為整數(shù)).附:①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商;②若,則,,.18.(12分)某商場為改進服務質(zhì)量,隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下:滿意不滿意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)?(2)為答謝顧客,該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動.據(jù)統(tǒng)計,在此期間顧客購買該商品的支付情況如下:支付方式現(xiàn)金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付,1/2的顧客按6折支付,1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應事件發(fā)生的概率,記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為,求的分布列和數(shù)學期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,其中女性有55名,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)?非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63520.(12分)已知函數(shù)()的圖象在處的切線為(為自然對數(shù)的底數(shù))(1)求的值;(2)若,且對任意恒成立,求的最大值.21.(12分)設數(shù)列是等差數(shù)列,其前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:.22.(10分)如圖,三棱柱中,平面,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)是與的等比中項,可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學生的計算能力,是中檔題.2.B【解析】

分三種情況,任務A排在第一位時,E排在第二位;任務A排在第二位時,E排在第三位;任務A排在第三位時,E排在第四位,結(jié)合任務B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項不同的任務分別為A、B、C、D、E、F,如果任務A排在第一位時,E排在第二位,剩下四個位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個空位中插入B、C,此時共有排列方法:;如果任務A排在第二位時,E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務A排在第三位時,E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.本題考查了排列組合問題,考查了學生的邏輯推理能力,屬于中檔題.3.A【解析】

由的解集,可知及,進而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因為,所以的解集為,故選:A.本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學生的計算求解能力與推理能力,屬于基礎題.4.C【解析】

①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進行判斷,

②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進行判斷,

③根據(jù)方差關(guān)系進行判斷,

④根據(jù)點滿足回歸直線方程,但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點,而回歸直線必過樣本中心點,可進行判斷.【詳解】①若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,故①正確;

②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;

③若統(tǒng)計數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因為點滿足回歸直線方程,但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點,即,不一定成立,而回歸直線必過樣本中心點,所以當,時,點必滿足線性回歸方程;因此“滿足線性回歸方程”是“,”必要不充分條件.故④錯誤;

所以正確的命題有①③.

故選:C.本題考查兩個隨機變量的相關(guān)性,擬合性檢驗,兩個線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系,以及兩個變量的線性回歸方程,注意理解每一個量的定義,屬于基礎題.5.B【解析】

分別比較復數(shù)的實部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【詳解】因為時,所以,,所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.故選:B.本題考查復數(shù)的幾何意義,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.6.B【解析】

由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù),可得,時,,單調(diào)遞增,∵,故不等式的解集等價于不等式的解集..∴.故選:B.本題主要考查了利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性解不等式,屬于中檔題.7.C【解析】

轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點,求導研究臨界狀態(tài)相切時的斜率,數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點.記,則過原點作的切線,設切點為,則切線方程為,又切線過原點,即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C本題考查了導數(shù)在函數(shù)零點問題中的應用,考查了學生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.8.C【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,帶入依次計算可得輸出為25時的值,進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知,則,,,,,此時輸出,因而不符合條件框的內(nèi)容,但符合條件框內(nèi)容,結(jié)合選項可知C為正確選項,故選:C.本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應用,完善程序框圖,屬于基礎題.9.C【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程,寫出每執(zhí)行一次的運行結(jié)果,屬于基礎題.【詳解】初始值,第一次循環(huán):,;第二次循環(huán):,;第三次循環(huán):,;第四次循環(huán):,;第五次循環(huán):,;第六次循環(huán):,;第七次循環(huán):,;第九次循環(huán):,;第十次循環(huán):,;所以輸出.故選:C本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運行結(jié)果,屬于基礎題.10.D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.本題考查了等差數(shù)列的計算,意在考查學生的計算能力.11.D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選:D本題主要考查復數(shù)的運算和模的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12.D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

因為單位向量的夾角為,所以,所以==.14.【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過點,∴,,∴,故答案為:.本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎題.15.1【解析】

根據(jù)二項式定理求出,然后再由二項式定理或多項式的乘法法則結(jié)合組合的知識求得系數(shù).【詳解】由題意,.∴的展開式中的系數(shù)為.故答案為:1.本題考查二項式定理,掌握二項式定理的應用是解題關(guān)鍵.16.【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設抽取的樣本為,則由題意得,解得.故答案為:本題考查了分層抽樣的知識,算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)①,,②72【解析】

(1)將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應的頻率,然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù),將此平均數(shù)除以(個小時),即可得到的估計值;(2)①利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解;②先根據(jù)條件計算出的取值范圍,然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對稱性,求解出在滿足取值范圍下對應的概率.【詳解】(1)平均時間為(分鐘)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳時間長度為72分鐘.本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型(長度模型)、二項分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計算,屬于綜合性問題,難度一般.(1)如果,則;(2)計算正態(tài)分布中的概率,一定要活用正態(tài)分布圖象的對稱性對應概率的對稱性.18.(1)有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān);(2)67元,見解析.【解析】

(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式,結(jié)合臨界值即得解;(2)的可能取值為40,60,80,1,根據(jù)題意依次計算概率,列出分布列,求數(shù)學期望即可.【詳解】(1)由題得,所以,有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān).(2)由題意可知的可能取值為40,60,80,1.,,,.則的分布列為4060801所以,(元).本題考查了統(tǒng)計和概率綜合,考查了列聯(lián)表,隨機變量的分布列和數(shù)學期望等知識點,考查了學生數(shù)據(jù)處理,綜合分析,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.19.(1)無關(guān);(2),.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而可得列聯(lián)表如下:非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算,得.因為3.030<3.841,所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知X~B(3,),從而X的分布列為X0123PE(X)=np==.D(X)=np(1-p)=20.(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】(1)對求導得,根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線為,列出方程組,即可求出的值;(2)由(1)可得,根據(jù)對任意恒成立,等價于對任意恒成立,構(gòu)造,求出的

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