2025年高考科學復習創(chuàng)新方案數(shù)學提升版第三章第5講含答案

2025年高考科學復習創(chuàng)新方案數(shù)學提升版第三章第5講含答案第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)[課程標準]1.通過對有理數(shù)指數(shù)冪aeq\f(m,n)(a>0，且a≠1，m，n為整數(shù)，且n>0)、實數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，且a≠1，x∈R)含義的認識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．1．根式的概念根式的概念符號表示備注如果eq\x(\s\up1(01))xn＝a，那么x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個eq\x(\s\up1(02))正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個eq\x(\s\up1(03))負數(shù)eq\r(n,a)零的n次方根是零當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有eq\x(\s\up1(04))兩個，它們互為eq\x(\s\up1(05))相反數(shù)±eq\r(n,a)(a＞0)負數(shù)沒有偶次方根2.分數(shù)指數(shù)冪(1)aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(2)a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(1,a\s\up7(\f(m,n)))＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．3．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝eq\x(\s\up1(09))ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝eq\x(\s\up1(10))ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝eq\x(\s\up1(11))arbr(a>0，b>0，r∈Q)．4．指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)eq\x(\s\up1(12))y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是底數(shù)．說明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)．5．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域為R，值域為eq\x(\s\up1(13))(0，＋∞)函數(shù)圖象過定點eq\x(\s\up1(14))(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，恒有y>1;當x<0時，恒有0<y<1當x>0時，恒有0<y<1；當x<0時，恒有y>1eq\x(\s\up1(15))增函數(shù)eq\x(\s\up1(16))減函數(shù)1．(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)．2.eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)且n>1，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n為偶數(shù)且n>1.))3．底數(shù)對函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的函數(shù)值的影響如圖(a1>a2>a3>a4)，不論是a>1，還是0<a<1，在第一象限內(nèi)底數(shù)越大，函數(shù)圖象越高．4．當a>0，且a≠1時，函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖象關于y軸對稱．1．(人教A必修第一冊習題4.1T1改編)化簡eq\r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y答案D解析因為x<0，y<0，所以eq\r(4,16x8y4)＝eq\r(4,24·（x2）4y4)＝|2x2y|＝－2x2y.2．(人教A必修第一冊習題4.1T7(1)改編)已知5m＝10，5n＝2，則5eq\s\up7(\f(3m-2n,2))＝()A．2eq\r(10) B．3eq\r(10)C．20 D．5eq\r(10)答案D解析5eq\s\up7(\f(3m-2n,2))＝eq\r(\f(53m,52n))＝eq\r(\f(（5m）3,（5n）2))＝eq\r(\f(103,22))＝eq\r(52×10)＝5eq\r(10).3．函數(shù)f(x)＝ax－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的圖象過定點A，則點A的坐標為________．答案(2023，2024)解析令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故點A的坐標為(2023，2024)．4．(人教A必修第一冊習題4.2T6改編)設a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，則a，b，c的大小關系為________．答案b<a<c解析因為函數(shù)y＝0.99x在R上單調(diào)遞減，所以0.993.3>0.994.5，即a>b，又因為0.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a<c.綜上可知，b<a<c.5．已知函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，則a的值為________．答案eq\f(1,2)或eq\f(3,2)解析當0＜a＜1時，a－a2＝eq\f(a,2)，∴a＝eq\f(1,2)；當a＞1時，a2－a＝eq\f(a,2)，∴a＝eq\f(3,2).綜上所述，a＝eq\f(1,2)或eq\f(3,2).考向一指數(shù)冪的運算例1求值與化簡：(1)8eq\s\up7(\f(2,3))×100－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))－eq\s\up7(\f(3,4))；(2)eq\f((a\s\up7(\f(2,3))b－1)－\s\up7(\f(1,2))a－\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),\r(6,ab5))(a>0，b>0)；(3)eq\r(3,a\s\up7(\f(9,2))\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－7)\r(3,a13))(a>0)；(4)已知a>0，aeq\s\up7(\f(1,2))＋a－eq\s\up7(\f(1,2))＝3，求eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)的值．解(1)原式＝(23)eq\s\up7(\f(2,3))×(102)-eq\s\up7(\f(1,2))×(2－2)－3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(4)))-eq\s\up7(\f(3,4))＝22×10－1×26×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－3)＝eq\f(432,5).(2)原式＝eq\f(a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,2))a－\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),a\s\up7(\f(1,6))b\s\up7(\f(5,6)))＝a－eq\s\up7(\f(1,3))－eq\s\up7(\f(1,2))－eq\s\up7(\f(1,6))beq\s\up7(\f(1,2))＋eq\s\up7(\f(1,3))－eq\s\up7(\f(5,6))＝eq\f(1,a).(3)原式＝(aeq\s\up7(\f(9,2))a－eq\s\up7(\f(3,2)))eq\s\up7(\f(1,3))÷(a－eq\s\up7(\f(7,3))aeq\s\up7(\f(13,3)))eq\s\up7(\f(1,2))＝(a3)eq\s\up7(\f(1,3))÷(a2)eq\s\up7(\f(1,2))＝a÷a＝1.(4)將aeq\s\up7(\f(1,2))＋a－eq\s\up7(\f(1,2))＝3兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.將a＋a－1＝7兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47，所以eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq\f(47＋1,7＋1)＝6.指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算．(2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先化成假分數(shù)．(4)若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答．(5)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\r(6,a9))))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6,\r(3,a9))))eq\s\up12(4)＝________．答案a4解析原式＝[(aeq\s\up7(\f(9,6)))eq\s\up7(\f(1,3))]4[(aeq\s\up7(\f(9,3)))eq\s\up7(\f(1,6))]4＝a2·a2＝a4.2．已知3a＋2b＝1，則eq\f(9a·3b,\r(3a))＝________．答案eq\r(3)解析因為3a＋2b＝1，所以eq\f(3,2)a＋b＝eq\f(1,2)，所以原式＝eq\f(（32）a·3b,（3a）\s\up7(\f(1,2)))＝32a＋b－eq\s\up7(\f(1,2))a＝3eq\s\up7(\f(2,3))a＋b＝3eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\r(3).3．化簡：eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up7(\f(1,4))b\s\up7(\f(1,2))）4a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,3)))(a>0，b>0)．解原式＝eq\f(（a3b2a\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(2,3))）\s\up7(\f(1,2)),ab2a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,3)))＝aeq\s\up7(\f(3,2))＋eq\s\up7(\f(1,6))－1＋eq\s\up7(\f(1,3))·b1＋eq\s\up7(\f(1,3))－2－eq\s\up7(\f(1,3))＝ab－1＝eq\f(a,b).4．計算：0.027－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up7(\f(1,2))－(eq\r(2)－1)0.解原式＝(0.33)－eq\s\up7(\f(1,3))－72＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up7(\f(1,2))－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.考向二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應用例2(1)(多選)已知實數(shù)a，b滿足等式2023a＝2024b，則下列關系式有可能成立的是()A．0<b<a B．a(chǎn)<b<0C．0<a<b D．a(chǎn)＝b答案ABD解析在同一坐標系下畫出y＝2023x與y＝2024x的圖象，結(jié)合圖象可知A，B，D可能成立．故選ABD.(2)若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析①當0<a<1時，y＝|ax－1|的圖象如圖1.因為y＝2a與y＝|ax－1|的圖象有兩個交點，所以0<2a<1，所以0<a<eq\f(1,2)；②當a>1時，y＝|ax－1|的圖象如圖2，而此時直線y＝2a不可能與y＝|ax－1|的圖象有兩個交點．綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).處理指數(shù)圖象問題的策略(1)抓住特殊點指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(0，1)，與直線x＝1的交點坐標為(1，a)．(2)巧用圖象變換常見的變換有：①函數(shù)y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的圖象可由指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|個單位長度得到；②函數(shù)y＝ax＋b的圖象可由指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到；③函數(shù)y＝a|x|的圖象關于y軸對稱，當x≥0時，其圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的圖象相同；當x<0時，其圖象與x≥0時的圖象關于y軸對稱．1.(2023·天津濱海七校二模)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋1|)的圖象大致為()答案B解析作出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≥0，,2x，x<0))的圖象，如圖所示，將y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的圖象向左平移1個單位得到f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋1|)的圖象．故選B.2．定義區(qū)間[x1，x2](x1<x2)的長度為x2－x1.已知函數(shù)y＝2|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，2]，則區(qū)間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案B解析如圖是函數(shù)y＝2|x|在值域為[1，2]上的圖象．使函數(shù)y＝2|x|的值域為[1，2]的定義域區(qū)間中，長度最小的區(qū)間為[－1，0]或[0，1]，長度最大的區(qū)間為[－1，1]，從而由定義可知區(qū)間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為2－1＝1.故選B.多角度探究突破考向三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用角度比較指數(shù)冪的大小例3(1)(2023·淮南一模)設a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up7(\f(３,７))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))eq\s\up7(\f(4,７))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up7(\f(4,７))，則a，b，c的大小關系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案A解析∵函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(4,７))是(0，＋∞)上的增函數(shù)，eq\f(3,7)<eq\f(4,7)，∴b<c.∵函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up12(x)是R上的減函數(shù)，eq\f(3,7)<eq\f(4,7)，∴a>c.綜上，a>c>b.故選A.(2)(2023·沈陽模擬)若p：0<a<b；q：4a－4b<5－a－5－b，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析設f(x)＝4x－5－x，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a<b，所以0<a<b是4a－4b<5－a－5－b的充分不必要條件．故選A.比較指數(shù)式大小的方法比較兩個指數(shù)式的大小時，盡量化成同底或同指．(1)當?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小．(2)當指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大?。换驑?gòu)造同一冪函數(shù)，然后利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大?。?3)當?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，常借助1，0等中間量進行比較．1.下列各式比較大小正確的是()A．1.72.5>1.73 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))<2－eq\s\up7(\f(4,3))C．1.70.3<0.93.1 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))答案D解析∵y＝1.7x為增函數(shù)，∴1.72.5<1.73，故A不正確；∵2－eq\s\up7(\f(4,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(4,3))，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)為減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(4,3))＝2－eq\s\up7(\f(4,3))，故B不正確；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C不正確；∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)為減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))，又y＝xeq\s\up7(\f(2,3))在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))，故D正確．2．(2024·宿遷模擬)設eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<1，那么()A．a(chǎn)a<ab<ba B．a(chǎn)a<ba<abC．a(chǎn)b<aa<ba D．a(chǎn)b<ba<aa答案C解析∵eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<1且y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上是減函數(shù)，∴0<a<b<1，∴指數(shù)函數(shù)y＝ax在R上是減函數(shù)，∴ab<aa，∴冪函數(shù)y＝xa在R上是增函數(shù)，∴aa<ba，∴ab<aa<ba.故選C.角度解簡單的指數(shù)方程或不等式例4(1)已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________．答案eq\f(1,2)解析①當a<1時，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝eq\f(1,2)；②當a>1時，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，無解．綜上可知，a＝eq\f(1,2).(2)(2023·邯鄲一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集為________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)≤1，令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)，因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)均為R上的減函數(shù)，則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞)．1．解指數(shù)方程的依據(jù)af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)?f(x)＝g(x)．2．解指數(shù)不等式的思路方法對于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，則需分a>1與0<a<1兩種情況討論；而對于形如ax>b的不等式，需先將b轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解．1.若x滿足不等式2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)，則函數(shù)y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)答案B解析將2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)化為x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2－3≤2x≤21，所以函數(shù)y＝2x的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).2．方程4x＋|1－2x|＝11的解為________．答案x＝log23解析當x≥0時，原方程化為4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0，∴(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23；當x<0時，原方程化為4x－2x－10＝0，令t＝2x，則t2－t－10＝0(0<t<1)．由求根公式得t＝eq\f(1±\r(41),2)均不符合題意，故x<0時，方程無解．綜上，原方程的解為x＝log23.角度指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例5(1)(2023·大慶二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，則()A．f(0.1)>f(0.2)B．函數(shù)f(x)有一個零點C．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)D．函數(shù)f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))對稱答案D解析函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)的定義域為R.對于A，函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)＝1－eq\f(2,2＋4x)，函數(shù)y＝4x在R上為增函數(shù)，易得f(x)在R上為增函數(shù)，則有f(0.1)<f(0.2)，A錯誤；對于B，f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，有4x>0，則有f(x)>0，所以f(x)沒有零點，B錯誤；對于C，f(1)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，f(－1)＝eq\f(4－1,2＋4－1)＝eq\f(1,9)，所以f(1)≠f(－1)，f(x)不是偶函數(shù)，C錯誤；對于D，因為f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，所以f(1－x)＝eq\f(41－x,2＋41－x)＝eq\f(4,2·4x＋4)＝eq\f(2,4x＋2)，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函數(shù)f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))對稱，D正確．故選D.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3)(a∈R)．若a＝－1，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________；若f(x)的值域是(0，＋∞)，則a＝________．答案[－2，＋∞)0解析當a＝－1時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x2－4x＋3)，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2]上單調(diào)遞減，在[－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－2，＋∞)．令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(h（x）)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(h（x）)的值域為(0，＋∞)．應使h(x)＝ax2－4x＋3的值域為R，因此只能a＝0(因為若a≠0，則h(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)，故f(x)的值域為(0，＋∞)時，a的值為0.指數(shù)函數(shù)綜合問題的處理策略(1)涉及最值(或值域)的問題，通常要先對函數(shù)解析式進行變形，然后逐步求函數(shù)的最值．(2)涉及單調(diào)性的問題，一方面要注意底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響；另一方面要注意借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．1.若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案B解析由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|2x－4|)，由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減．故選B.2．(2023·銀川校聯(lián)考二模)已知函數(shù)f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，則其值域為________．答案[－5，31]解析令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的圖象關于直線t＝2對稱，開口向上，∴g(t)在[1，2)上單調(diào)遞減，在(2，8]上單調(diào)遞增，且|8－2|>|2－1|，∴當t＝2時，函數(shù)取得最小值，即g(t)min＝－5，當t＝8時，函數(shù)取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域為[－5，31]．課時作業(yè)一、單項選擇題1．化簡eq\f(2c,3a)eq\r(4,\f(81a5b2,16c4))(a>0，c<0)的結(jié)果為()A．±eq\r(4,ab2) B．－eq\r(4,ab2)C．－eq\r(ab2) D.eq\r(ab2)答案B解析原式＝eq\f(2c,3a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81a5b2,16c4)))eq\s\up7(\f(1,4))＝eq\f(2c,3a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34a5b2,24c4)))eq\s\up7(\f(1,4))＝eq\f(2c,3a)·eq\f(3a（ab2）\s\up7(\f(1,4)),－2c)＝－eq\r(4,ab2).故選B.2．(a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2)2x＋5的解集為()A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)答案D解析∵a2－a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,4)>1，∴－x－1<2x＋5，∴x>－2.故選D.3．(2024·滁州模擬)函數(shù)f(x)＝xa－2與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)在(0，＋∞)上均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)∈(0，2) B．a(chǎn)∈[0，1)C．a(chǎn)∈[1，2) D．a(chǎn)∈(1，2]答案C解析函數(shù)f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可得a－2<0，即a<2；函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))eq\s\up12(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可得0<eq\f(a,4)<1，解得0<a<4，若函數(shù)f(x)＝xa－2與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)均單調(diào)遞減，可得0<a<2，由題意可得所求區(qū)間真包含于(0，2)，結(jié)合選項，函數(shù)f(x)＝xa－2與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是a∈[1，2)．故選C.4．(2023·南昌模擬)草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強機體免疫力．草莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛．根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為4個等級，其等級x(x＝1，2，3，4)與其對應等級的市場銷售單價y(單位：元/千克)近似滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝eax＋b.若花同樣的錢買到的1級草莓比4級草莓多1倍，且1級草莓的市場銷售單價為24元/千克，則3級草莓的市場銷售單價最接近(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3,2)≈1.26，eq\r(3,4)≈1.59)()A．30.24元/千克 B．33.84元/千克C．38.16元/千克 D．42.64元/千克答案C解析由題意可知eq\f(e4a＋b,ea＋b)＝e3a＝2，ea＝eq\r(3,2)，由ea＋b＝24，則e3a＋b＝ea＋b·e2a＝24e2a＝24×eq\r(3,4)≈38.16.故選C.5．(2023·唐山模擬)不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤eq\r(x)的解集是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))答案B解析在同一坐標系中作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\r(x)的圖象，如圖所示，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＝eq\r(x)得x＝eq\f(1,2)，結(jié)合圖象知，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤eq\r(x)的解集是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).6．(2024·鹽城模擬)設函數(shù)f(x)＝3x＋b，函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))答案A解析由函數(shù)f(x)＝3x＋b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)·3b<eq\f(2,3)×3－1＝eq\f(2,9)，又因為eq\f(2,3)·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))).故選A.7．若關于x的方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)＋a－2＝0有解，則a的取值范圍是()A．[0，1) B．[1，2)C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)＋a－2＝0有解等價于2－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)有解．因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)的值域為(0，1]，所以0<2－a≤1，解得1≤a<2.8．(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2.記a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，則()A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b答案A解析函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2是由函數(shù)y＝eu和u＝－(x－1)2復合而成的復合函數(shù)，y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．易知f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))，又eq\f(\r(2),2)＜2－eq\f(\r(6),2)＜eq\f(\r(3),2)＜1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，所以b＞c＞a.故選A.二、多項選擇題9．(2024·福建師大附中高三月考)已知函數(shù)f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的圖象過原點，且無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＋y＝0C．若x＜y＜0，則f(x)＜f(y)D．f(x)的值域為[0，2)答案ABD解析∵f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的圖象過原點，∴a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋b＝0，∴a＋b＝0，故A正確；由f(x)的圖象無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，則b＝2，又a＋b＝0，則a＝－2，則f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2，其定義域為R，∵f(－x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，在(－∞，0)上為減函數(shù)，∴若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＝－y，x＋y＝0，故B正確；∵f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，∴當x＜y＜0時，f(x)＞f(y)，故C錯誤；∵0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)≤1，∴－2≤－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)<0，∴0≤－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2＜2，∴f(x)的值域為[0，2)，故D正確．故選ABD.10．(2023·淄博模擬)關于函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的性質(zhì)，下列說法中正確的是()A．函數(shù)f(x)的定義域為RB．函數(shù)f(x)的值域為(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一個實根D．函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形答案ACD解析函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的定義域為R，所以A正確；因為y＝4x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,4x＋2)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一個實根，所以B不正確，C正確；因為f(x＋1)＋f(－x)＝eq\f(1,4x＋1＋2)＋eq\f(1,4－x＋2)＝eq\f(1,4·4x＋2)＋eq\f(4x,2·4x＋1)＝eq\f(1,2)，所以f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))對稱，所以D正確．故選ACD.11．(2024·武漢質(zhì)量評估)若實數(shù)a，b滿足2a＋3a＝3b＋2b，則下列關系式中可能成立的是()A．0<a<b<1 B．b<a<0C．1<a<b D．a(chǎn)＝b答案ABD解析設f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均為增函數(shù)，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．當x∈(－∞，0)時，f(x)<g(x)；當x∈(0，1)時，f(x)>g(x)；當x∈(1，＋∞)時，f(x)<g(x)．由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象可知(圖略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，則b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故選ABD.三、填空題12．(2023·長沙一模)使得“2x>4x2”成立的一個充分條件是________．答案0<x<eq\f(1,4)(答案不唯一)解析由于4x2＝22x2，故2x>4x2等價于x>2x2，解得0<x<eq\f(1,2)，使得“2x>4x2”成立的一個充分條件只需為集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))))的子集即可，故答案可以為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,4))))).13．(2024·皖江名校模擬)已知函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域為[1，＋∞)，則a的取值范圍為________，f(－4)與f(1)的大小關系是________．答案(1，＋∞)f(－4)>f(1)解析因為|x＋1|≥0，函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域為[1，＋∞)，所以a>1.由于函數(shù)f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，且它的圖象關于直線x＝－1對稱，則函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．14．已知函數(shù)y＝9x＋m·3x－3在區(qū)間[－2，2]上單調(diào)遞減，則m的取值范圍為________．答案(－∞，－18]解析設t＝3x，則y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因為x∈[－2，2]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9)).又函數(shù)y＝9x＋m·3x－3在區(qū)間[－2，2]上單調(diào)遞減，即y＝t2＋mt－3在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9))上單調(diào)遞減，故有－eq\f(m,2)≥9，解得m≤－18.所以m的取值范圍為(－∞，－18]．四、解答題15．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3(a>0，且a≠1)．(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范圍，使f(x)>0在定義域上恒成立．解(1)由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，∴函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，對于定義域內(nèi)任意x，有f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－x－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ax,1－ax)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．(2)由(1)知f(x)為偶函數(shù)，∴只需討論x>0時的情況．當x>0時，要使f(x)>0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3>0，即eq\f(1,ax－1)＋eq\f(1,2)>0，即eq\f(ax＋1,2（ax－1）)>0，則ax>1.又x>0，∴a>1.∴當a∈(1，＋∞)時，f(x)>0在定義域上恒成立．16．(2024·莆田模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x＋b,3x＋1)是定義域為R的奇函數(shù)．(1)求實數(shù)b的值，并證明函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；(2)已知a>0且a≠1，若對于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋eq\f(3,2)≥ax2－2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)因為函數(shù)f(x)＝eq\f(3x＋b,3x＋1)是定義域為R的奇函數(shù)，則f(0)＝eq\f(1＋b,2)＝0，解得b＝－1，此時f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1).對任意的x∈R，3x＋1>0，即函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＝eq\f(3x（3－x－1）,3x（3－x＋1）)＝eq\f(1－3x,1＋3x)＝－f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，符合題意．任取t1，t2∈R且t1<t2，則0<3t1<3t2，所以f(t1)－f(t2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3t1＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3t2＋1)))＝eq\f(2（3t1－3t2）,（3t1＋1）（3t2＋1）)<0，則f(t1)<f(t2)，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．(2)由(1)可知，函數(shù)f(x)在[1，3]上為增函數(shù)，對于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋eq\f(3,2)≥ax2－2，則ax2－2－eq\f(3,2)≤f(1)＝eq\f(1,2)，所以ax2－2≤2，因為x2∈[1，3]，所以x2－2∈[－1，1]．當0<a<1時，則有a－1≤2，解得eq\f(1,2)≤a<1；當a>1時，則有a≤2，此時1<a≤2.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，2]．第6講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)[課程標準]1.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.了解對數(shù)函數(shù)的概念，能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.3.知道對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)(a＞0，且a≠1)．1．對數(shù)的定義如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作eq\x(\s\up1(01))x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對數(shù)的運算法則如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(02))logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(03))logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．對數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)eq\x(\s\up1(04))y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．4．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域eq\x(\s\up1(05))(0，＋∞)值域R定點過點eq\x(\s\up1(06))(1，0)單調(diào)性eq\x(\s\up1(07))增函數(shù)eq\x(\s\up1(08))減函數(shù)函數(shù)值正負當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1時，y＜0當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞05.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝eq\x(\s\up1(09))logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線eq\x(\s\up1(10))y＝x對稱．1．對數(shù)的性質(zhì)(a＞0，且a≠1)(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.2．換底公式及其推論(1)logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)logab·logba＝1，即logab＝eq\f(1,logba)(a，b均大于0且不等于1)；(3)logab·logbc·logcd＝logad；(4)logambn＝eq\f(n,m)logab.3．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù)．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．1．(人教A必修第一冊習題4.3T5改編)設alog34＝2，則4－a＝()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,6)答案B解析由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝eq\f(1,9).故選B.2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故選C.3．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的圖象必過定點________．答案(－1，－2)解析由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函數(shù)f(x)的圖象必過定點(－1，－2)．4．(人教B必修第二冊4.2.2練習BT3改編)求值：lg5×lg20＋(lg2)2＝________．答案1解析原式＝lg5×lg(22×5)＋(lg2)2＝lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2×lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝[lg(5×2)]2＝1.5．(人教A必修第一冊習題4.4T1(2)改編)函數(shù)y＝eq\r(log\s\do9(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析由logeq\s\do7(\f(2,3))(2x－1)≥0得logeq\s\do7(\f(2,3))(2x－1)≥logeq\s\do7(\f(2,3))1，所以0<2x－1≤1，解得eq\f(1,2)<x≤1.故函數(shù)y＝eq\r(log\s\do7(\f(2,3))（2x－1）)的定義域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).考向一對數(shù)的化簡與求值例1(1)下列運算正確的是()A．2logeq\s\do7(\f(1,5))10＋logeq\s\do7(\f(1,5))0.25＝2B．log427×log258×log95＝eq\f(8,9)C．lg2＋lg50＝10D．log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－eq\f(5,4)答案D解析對于A，2logeq\s\do7(\f(1,5))10＋logeq\s\do7(\f(1,5))0.25＝logeq\s\do7(\f(1,5))(102×0.25)＝logeq\s\do7(\f(1,5))52＝－2，A錯誤；對于B，log427×log258×log95＝eq\f(lg33,lg22)×eq\f(lg23,lg52)×eq\f(lg5,lg32)＝eq\f(3×3,2×2×2)＝eq\f(9,8)，B錯誤；對于C，lg2＋lg50＝lg100＝2，C錯誤；對于D，log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(5,4)，D正確．(2)(2024·銀川模擬)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x）（x≤1），,2x－1（x>1），))則f(1)＋f(log26)＝()A．4 B．5C．6 D．7答案A解析因為log26>1，所以f(1)＋f(log26)＝1＋log2(2－1)＋2log26－1＝1＋0＋2log23＝1＋3＝4.故選A.(3)(多選)(2023·海南華僑中學模擬)已知a＝lg2，b＝lg3，則()A．102a＋b＝7 B．2a＋b＝lg12C.eq\f(1,a＋2b)＝log1810 D．log365＝eq\f(1－a,2a＋2b)答案BCD解析因為a＝lg2，b＝lg3，所以10a＝2，10b＝3，所以102a＋b＝(10a)2×10b＝4×3＝12，A錯誤；2a＋b＝lg4＋lg3＝lg12，B正確；eq\f(1,a＋2b)＝eq\f(1,lg2＋2lg3)＝eq\f(1,lg18)＝log1810，C正確；log365＝eq\f(lg5,lg(4×9))＝eq\f(lg5,2lg2＋2lg3)＝eq\f(1－a,2a＋2b)，D正確．故選BCD.對數(shù)運算的策略1.(2023·衡水中學模擬)在某款計算器上計算logab時，需依次按下“l(fā)og”“(”“a”“，”“b”“)”6個鍵．某同學使用該計算器計算logab(a>1，b>1)時，誤將“l(fā)og”“(”“b”“，”“a”“)”這6個鍵依次按下，所得到的值是正確結(jié)果的eq\f(4,9)，則()A．2a＝3b B．a(chǎn)3b2＝1C．a(chǎn)2＝b3 D．a(chǎn)3＝b2答案D解析由題意可知logba＝eq\f(4,9)logab，∴(logba)2＝eq\f(4,9)，又a>1，b>1，∴l(xiāng)ogba>0，logba＝eq\f(2,3)，∴a＝beq\s\up7(\f(2,3))，即a3＝b2.故選D.2．(2024·廣東重點中學聯(lián)考)已知4a＝3b＝6，則eq\f(2a＋b,ab)＝________．答案2解析由題意可得a＝log46，b＝log36，則eq\f(1,a)＝log64，eq\f(1,b)＝log63，故eq\f(2a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝log64＋2log63＝log64＋log69＝log636＝2.考向二對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用例2(1)(2024·濰坊模擬)若函數(shù)f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是()答案A解析由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，因為f(x)＝ax－eq\f(1,ax)為減函數(shù)，所以0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)為(－2，＋∞)上的減函數(shù)，g(－1)＝0，排除B，C，D，故選A.(2)若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax.當a>1時不滿足條件，當0<a<1時，畫出兩個函數(shù)的大致圖象，如圖所示．可知，只需兩圖象在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交點即可，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2≥logaeq\f(1,2)，則0<a≤eq\f(\r(2),2)，所以實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).利用對數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類熱點問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其對數(shù)型函數(shù)的圖象，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．1.函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的圖象大致為()答案A解析由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱．設g(x)＝loga|x|，先畫出x>0時g(x)的圖象，然后根據(jù)g(x)的圖象關于y軸對稱，畫出x<0時g(x)的圖象，最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移1個單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A.2．設x1，x2，x3均為實數(shù)，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，則()A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3答案D解析畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的圖象，如圖所示，由圖象知x2<x1<x3.多角度探究突破考向三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用角度比較對數(shù)值的大小例3(1)(2024·安徽A10聯(lián)盟模擬)設a＝2log3eq\f(1,2)，b＝log25，c＝log35，則()A．c<a<b B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．a(chǎn)<c<b答案D解析因為log3eq\f(1,2)<0，所以0<a<1，又b＝log25>log24＝2，1＝log33<c＝log35<log39＝2，所以a<c<b.故選D.(2)(多選)若實數(shù)a，b，c滿足loga2<logb2<logc2，則下列關系中可能成立的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b答案BCD解析由loga2<logb2<logc2的大小關系，可知a，b，c有如下四種可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函數(shù)的圖象(如圖所示)．由圖象可知B，C，D可能成立．(3)(多選)(2023·新課標Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案ACD解析解法一：由題意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，對于A，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因為Lp1≥Lp2，則Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正確；對于B，Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因為Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，則20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，當且僅當Lp2＝50時，等號成立，故B錯誤；對于C，因為Lp3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正確；對于D，由選項A可知，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，則20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.解法二：因為Lp＝20×lgeq\f(p,p0)隨著p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up7(\f(Lp,20))，因為Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up7(\f(40,20))＝100p0，故C正確；假設p2＞10p3，則p010eq\s\up7(\f(Lp2,20))＞10p010eq\s\up7(\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，該式不可能成立，故B錯誤；因為eq\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010\s\up7(\f(Lp2,20)),p010\s\up7(\f(Lp1,20)))＝10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp1,20))+2≥1，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.比較對數(shù)值大小的方法1.(多選)(2024·惠州模擬)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\f(1,3)，則下列關系式中，正確的是()A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)>cC．c>a D．a(chǎn)＋b＝2答案AC解析a＝log2e>log22＝1，即a>1，b＝ln2<lne＝1，即b<1，c＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23>log2e＝a，所以c>a>b，a＋b＝log2e＋ln2＝eq\f(1,ln2)＋ln2，由基本不等式知D錯誤．故選AC.2．(多選)對于0<a<1，下列四個不等式中成立的是()A．loga(1＋a)<logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) B．loga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))C．a(chǎn)1＋a<a1＋eq\s\up7(\f(1,a)) D．a(chǎn)1＋a>a1＋eq\s\up7(\f(1,a))答案BD解析∵0<a<1，∴a<eq\f(1,a)，從而1＋a<1＋eq\f(1,a)，∴l(xiāng)oga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，a1＋a>a1＋eq\s\up7(\f(1,a)).故選BD.3．(2023·聊城二模)已知a＝eq\f(2,ln4)，b＝eq\f(ln3,ln2)，c＝eq\f(3,2)，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a答案D解析∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝eq\f(2,ln4)－eq\f(3,2)