2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-數(shù)列專題十五（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列高考復(fù)習(xí)專題十五知識(shí)點(diǎn)一由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值,等比中項(xiàng)的應(yīng)用,利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)典例1、已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和的最小值．典例2、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的最大值及取得最大值時(shí)的值.

隨堂練習(xí)：已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，是的前項(xiàng)和，已知對(duì)于都成立，求的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)二由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值,等比中項(xiàng)的應(yīng)用,利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)典例3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求出的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和最小時(shí)n的取值

隨堂練習(xí)：記為公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值．典例4、設(shè)等比數(shù)列的公比，且滿足，，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，均成立，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值.

隨堂練習(xí)：公差非零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若是，的等比中項(xiàng)，．（1）求；（2）數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列的公差為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在請(qǐng)說明理由．典例5、已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng).

隨堂練習(xí)：在數(shù)列{an}中，（n∈N*），.（1）求；（2）設(shè)為的前n項(xiàng)和，求的最小值．典例6、已知數(shù)列的前n項(xiàng)積.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前n項(xiàng)為，求的最小值.

隨堂練習(xí)：已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.（3）令，問數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最??？最小值是多少？典例7、設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值及此時(shí)的值；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

隨堂練習(xí)：在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且,．（1）求的最小值；（2）若數(shù)列滿足____________，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列高考復(fù)習(xí)專題十五答案典例1、答案：（1）證明見解析，；（2）.解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即∴，∴，∴∴，所以是等差數(shù)列，（2），，∵，∴是等差數(shù)列∴，當(dāng)時(shí)，隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，的值最小，值為.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，=經(jīng)檢驗(yàn)，滿足此式，所以（2）由（1）可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)，得，當(dāng)或時(shí)，的值最小，值為.典例2、答案：（1）證明見解析；（2）前16項(xiàng)或前17項(xiàng)和最大，最大值為.解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，滿足，故的通項(xiàng)公式為，∴.故數(shù)列是以32為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）令，即，解得，故數(shù)列的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)和最大，此時(shí).隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析，（2）或解（1）∵，∴，∵∴，∴，∴，又由，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；所以，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也符合，所以.（2），時(shí)，，，，，，∴或5時(shí)，，∴或.典例3、答案：（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，數(shù)列前n項(xiàng)和取得最小值.解:（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；顯然是，也滿足，所以；(2)因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和又，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2），最小值為解：（1）因?yàn)?，且，，成等比?shù)列，所以，即，解得即（2）當(dāng)或時(shí)，有最小值典例4、答案：（1）；（2）49.解:（1）由題意，等比數(shù)列滿足，，，成等差數(shù)列，可得，兩式相減得，即，代入，可得，解得或（舍），所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）對(duì)任意正整數(shù)n，均成立，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，兩式相減得，由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也滿足此式，數(shù)列為等差數(shù)列，故數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為49.隨堂練習(xí)：答案：（1）60（2）存在最大值66解：（1）記等差數(shù)列的公差為，由題知，整理得因?yàn)樗钥山獾盟裕?）由（1）可知因?yàn)閿?shù)列的公差為，所以因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，有最大值典例5、答案：（1）；（2）.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得：，；（2）；當(dāng)取3或4時(shí)，取得最大項(xiàng).隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取得最小值為－242；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取最小值為－243解：（1）∵（n∈N*），①②②－①得，.又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23，∴a2＝－19，同理得，a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，…是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．從而（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，故當(dāng)n＝22時(shí)，Sn取得最小值為－242.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.故當(dāng)n＝21或n＝23時(shí)，Sn取得最小值－243.綜上所述：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn取得最小值為－242；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn取最小值為－243.典例6、答案：（1）（2）解：（1）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也符合.故的通項(xiàng)公式為.（2），，是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，的最小值為.隨堂練習(xí)：答案：（1），；（2）證明見解析；（3）數(shù)列的前9或前10項(xiàng)的和最小，最小值為解：（1）由已知得，，，；，，化簡(jiǎn)得，，又由已知得，，（2）由題意得，，①令，得，②得，，化簡(jiǎn)得，，進(jìn)而得到，，又由為正項(xiàng)數(shù)列得，，故有，，所以，，故數(shù)列是等差數(shù)列，由（1）得，，所以，（3）由（2）得，，明顯地，為等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，故有，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，的對(duì)稱軸為，因?yàn)闉檎麛?shù)，明顯地，取或時(shí)，有最小值，故最小值為，，所以，數(shù)列的前9或前10項(xiàng)的和最小，最小值為.典例7、答案：（1）；（2）當(dāng)，取得最大值；（3）.解:（1）由題意知，，所以所以，當(dāng)時(shí)，符合通項(xiàng)公式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得，由等差數(shù)列的求和公式，可得∴當(dāng)，