2025年高考數(shù)學一輪專題復(fù)習-空間向量和立體幾何專題七（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復(fù)習專題七知識點一錐體體積的有關(guān)計算,證明線面垂直,已知面面角求其他量典例1、如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點、作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點．（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積．隨堂練習：已知平面四邊形，，（如圖1所示），現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，點為線段的中點，為線段上一點，（如圖2所示）．（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．

典例2、如圖，在三棱柱中，平面，四邊形為菱形．（1）證明：平面；（2）若，，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．

隨堂練習：如圖所示，在三棱錐中，，為的中點.（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求三棱錐的體積.典例3、如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，G為的重心，M為線段的中點，與交于點F．（1）當時，證明：平面；（2）當平面與平面所成銳二面角為時，求三棱錐的體積．

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點．（1）證明：平面；（2）若，且二面角的大小為30°，求四棱錐的體積．

知識點二證明線面垂直,面面角的向量求法典例4、如圖，在四棱錐中，底面是矩形且，M為的中點，，．（1）證明：平面；（2）若，與平面所成的角為45°，求二面角的正弦值．隨堂練習：如圖，四邊形是正方形，平面，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．典例5、已知四棱錐中，底面，平面平面，，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，分別為的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．典例6、如圖，已知等邊中，E，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點，N為BC邊上一點，且，將沿EF折到的位置，使平面平面，M為EF中點.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

隨堂練習：如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.1、證明：平面；2、若為上一點，且三棱錐的體積是三棱錐體積的2倍，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】1、證明見解析2、空間向量和立體幾何高考復(fù)習專題七答案典例1、答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）由題設(shè)，底面圓，又是切線與圓的切點，∴底面圓，則，且，而，∴平面.（2）由題設(shè)，若，可構(gòu)建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個法向量，則，令，則，又面的一個法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積．隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：因為，所以為等邊三角形，因為為的中點，所以．因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因為平面，所以平面．（2）如圖所示以為坐標原點，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，．所以，，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，有，即．平面的一個法向量．設(shè)二面角的平面角為，則，解得，即為中點．此時，又因為，所以．典例2、答案：（1）證明見解析；（2）.解:（1）因為四邊形為菱形，所以．因為平面，平面，所以．又因為，平面，平面，所以平面．（2）以B為坐標原點，分別以，BC所在的直線為x軸和z軸，以過B點垂直平面的直線為y軸，建立空間直角坐標系如圖所示．設(shè)，則，，，．所以，．設(shè)平面的法向量為，則即令，得．由條件知為平面的一個法向量．設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角．則，解得．所以．隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）在三棱錐中，，O為的中點.，且，連接，，得，則，又，得，，平面ABC.（2）如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系由已知得，，取平面的一個法向量設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，取，得，二面角為，解得：（舍去）或，則，所以，典例3、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）延長交于N，連接，因為G為的重心，所以點N為的中點，且，因為，故，所以，故，故，因為平面，所以，因為底面為矩形，所以，又因為，所以平面，故，因為，所以，又因為，所以平面，所以平面.（2）以C為原點，以所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)點G到平面的距離為，則，故，設(shè)平面的法向量為，則,即，取，則，即，設(shè)平面的法向量為，則,即，取，則，則，所以，解得，又，故點G到平面的距離為，因為，所以，所以.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）．解：（1）因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，又底面為矩形，所以，平面，平面，平面，所以，又側(cè)面是正三角形，M是的中點，所以，，，平面，所以平面．（2）取中點O，過點O作的平行線連接，由（1）同理知平面，以O(shè)為原點，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，，，記平面的法向量，則，，從而，則可得，因為平面，則平面的法向量跟共線，可取，因為二面角的大小為30°，，解得，所以四棱錐的體積為．典例4、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）因為在和Rt中，，，所以，因為，，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面．（2）因為，所以，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，則，所以，由勾股定理知：，可如圖建立空間直角坐標系，所以，，，，所以，，由（1）知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則有，即，取，得，所以，設(shè)二面角的大小為，則．隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）四邊形是正方形，有，而平面，平面，則，又，平面，所以平面.（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，即有，，，由（1）知是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面與平面夾角為，則有所以平面與平面夾角的余弦值為.典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明；因為平面平面，平面平面，在平面內(nèi)作，則平面，平面，所以.因為PA⊥底面ABCD，平面，所以,平面，則平面，因為,∴平面.（2）由（1）可知平面,平面,所以，以A為原點分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，則，所以設(shè)平面的法向量為，則,即,令，則取.設(shè)平面的法向量為，則,即,令,則取.所以，由圖可知所求二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）如圖，取中點，連接，則,因為平面平面，且平面平面，平面所以平面,因為平面，所以,又因為F為CD的中點，所以，又，平面PGB，所以平面，平面，所以，，為的中點，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）不妨設(shè)正方形的邊長為2，以點為坐標原點，為軸，垂直于的直線為軸，為軸建立空間坐標系，則,，設(shè)平面與平面的法向量分別為，夾角為，則不妨設(shè),所以，，所以.典例6、答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）證明：因為為等邊的邊的中點，所以是等邊三角形，且，，因為是的中點，所以，，又由于平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，且，則四邊形是平行四邊形，則，在正中，知，所以，而，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）設(shè)等邊的邊長為4，取中點，連接，由題設(shè)知，由（1）知平面，又平面，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則由，得，令，則，平面的一個法向量為，所以，顯然，二面角的平面角為銳角，二面角的平面角的余弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）在梯形ABCD中取AD中點N，連接CN，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為，所以，所以點在以為直徑的圓上，所以